Science and education scientific journal

Постановка задачи. Материалы и методы исследования. 
Рассмотрим 
математическую модель объекта управления, состояние которого определяется 
n
-вектором 
)
(
t
x
x
=
,
0
t
t

, удовлетворяющего дифференциальному включению 
,
,
u 
,
)
,
,
(
)
(
Q
q
V
q
u
t
B
x
t
A
x


+


(1) 
где 
)
(
t
A
– заданная 
n
n

-матрица, 
u
– 
m
-вектор управления, 
q
– 
некоторый 

-вектор(параметр системы), 
n
R
)
,
,
(

q
u
t
B
, 
m
R
V

, 

R
Q

.
Будем считать, что в рассматриваемой модели параметр управления 
u
реализуется в виде 
m
-вектор-функции 
)
(
t
u
u
=
, 
0
t
t

, а параметр 
q
постоянный 
в течении всего процесса управления.
В качестве допустимых управлений 
)
(
t
u
u
=
будем выбирать каждую 
измеримую ограниченную функцию 
]
,
[
),
(
1
0
t
t
t
t
u
u

=
, принимающую почти 
всюду (п.в.) на отрезке времени 
]
,
[
1
0
t
t
значения из компакта 
.
m
R
V

"Science and Education" Scientific Journal
December 2020 / Volume 1 Issue 9
www.openscience.uz
10

---

Обозначим через 
)
(
T
U
– множество всех допустимых управлений 
)
(
t
u
u
=
, 
определенных на отрезке 
]
,
[
1
0
t
t
T
=
, а через 
)
,
,
(
0
q
u
x
H
T
– множество всех 
абсолютно непрерывных траекторий 
)
(
t
x
x
=
системы (1), соответствующих 
управлению 
)
(
T
U
u

, параметру 
Q
q

и начальной точке 
n
R
x

0
.
Рассмотрим множество


q)
u,
,
(x
H
)
x(
),
(
:
R
q)
u,
,
x
,
(
0
T
n
0
T


=

=




x
X
,
]
,
[
1
0
t
t
T
=


. 
Данное множество представляет собой как геометрическое место 
всевозможных точек из пространства состояний 
n
R
системы (1), которые 
достижимы абсолютными непрерывными траекториями этой системы с 
начальным условием 
0
0
)
(
x
t
x
=
в фиксированный момент времени 
T


. 
Используем обозначения: 
)
(
Y

– совокупность всех непустых компактов 
линейно нормированного пространства 
Y
; 
)
(
Y
C

– совокупность всех непустых 
выпуклых компактов пространства 
Y
. 
Систему управления (1) будем изучать в следующих предположениях:
1) элементы матрицы 
0
),
(
t
t
t
A

, измеримы и 
0
),
(
)
(
t
t
t
a
t
A


, где функция 
)
(
t
a
суммируема на каждом конечном отрезке 
)
,
[
]
,
[
0
1
0
+

=
t
t
t
T
;
2) 
)
(
)
,
,
(
n
R
C
q
v
t
B


, 
Q
V
t
q
v
t


+


)
,
[
)
,
,
(
0
;
3) для любых 
0
1
t
t

многозначное отображение 
)
,
,
(
)
,
,
(
q
v
t
B
q
v
t
→
измеримо 
по 
]
,
[
1
0
t
t
t

и непрерывно по 
Q
V
q
v


)
,
(
почти для всех 
)
,
[
0
+

t
t
, причем 
существует 
суммируемая 
на 
]
,
[
1
0
t
t
T
=
 
функция 
)
(
t

такая, 
что 


)
(
)
,
,
(
:
t
q
v
t
b
Sup





, 
Q
V
T
q
v
t



)
,
,
(
;
4) 
для 
любых 
0
t
t

график 
многозначного 
отображения 

V
v
q
v
t
B
q
V
t
B
q

=
→
)
,
,
(
)
,
,
(
,
Q
q

, выпуклый;
5) множества 
)
(
m
R
V


, 
)
(

R
С
Q


Согласно результатам работ [6,7] при выполнении этих условий 
справедливы соотношения: 
))
(
(
)
,
,
(
0
T
C
C
q
u
x
H
n
T


, 
)
(
)
,
,
,
(
0
n
T
R
C
q
u
x
X



. 
Пусть задано выпуклое и замкнутое множество 
n
R
t
M

)
(
, непрерывно 
зависящее от времени 
0
t
t

. Цель управления системой (1) состоит в переводе 
её из заданного начального состояния 
)
(
0
0
t
M
x

в некоторое конечное 
состояние 
)
(
1
1
t
M
x

, 
0
1
t
t

, т.е. выполнялось условие


)
(
)
,
,
,
(
1
0
1
t
M
q
u
x
t
X
T

. 
(2) 
Множество начальных точек 
)
(
0
0
t
M
x

, для которых возможно 
выполнение условия (2) при некотором управлении 
)
(
T
U
u

и параметра 
Q
q

, 
"Science and Education" Scientific Journal
December 2020 / Volume 1 Issue 9
www.openscience.uz
11

---

называется множеством М – управляемости системы (1). Некоторые свойства 
множества М – управляемости дифференциальных включений изучены в [6,9].
Пусть начальное состояние 
0
x
системы (1) подвижное, т.е. 
D
x

0
, 
n
R
D

, 
причем 

=
)
(
0
t
M
D

. Предположим, что существуют пары 
Q
D
q
x


)
~
,
~
(
0
такие, 
что начальная точка 
D
x

0
~
является элементом множества М – управляемости 
системы (1) при 
Q
q

~
. Тогда качество управления системой (1) можно оценить 
по быстродействию, т.е. возможна постановка следующей задачи оптимального 
управления:
найти начальную точку 
D
x

*
0
, управления 
)
(
*
T
U
u

и параметра 
Q
q

*
, 
которые минимизирует время выполнения соотношения (2) 
)
,
,
(
0
1
1
q
u
x
t
t
=
, т.е. 
)
,
,
(
)
,
,
(
inf
*
*
*
0
1
0
1
,
,
*
1
0
q
u
x
t
q
u
x
t
t
q
u
x
=
=
. 
Тройку 
)
,
,
(
*
*
*
0
q
u
x
, состоящую из оптимальной начальной точки 
D
x

*
0
, 
оптимального управления 
)
(
*
T
U
u

и оптимального значения параметра 
Q
q

*
, 
назовем решением поставленной задачи быстродействия. Момент времени 
*
1
t
, 
являющийся наименьшим из моментов 
)
,
,
(
0
1
1
q
u
x
t
t
=
, для которых справедливо 
условие (2), назовем оптимальным временем быстродействия. 
Положим 

Q
T
U
T
q
u
x
t
X
X



=
)
(
D
u,q)
,
(x
0
T
0
)
,
,
,
(
Q)
U(T),
D,
(t,
, 
]
,
[
1
0
t
t
T
t
=

. (3) 
Легко заметить, что условие выполнения соотношения (2) при некоторых 
D
x

0
, 
)
(
T
U
u

и 
Q
q

, равносильно соотношению 


)
M(t
Q)
U(T),
D,
,
(t
1
1
T

X
.
(4) 
Пусть 
)
,
(
s
t
F
– фундаментальная матрица решений уравнения 
x
t
A
x
)
(
=

, 
E
t
t
F
=
)
,
(
, 
E
– единичная 
n
n

- матрица. 
Лемма 1.
Пусть система (1) удовлетворяет условиям 1) – 5) и 
)
(
n
R
C
D


. 
Тогда при каждом 
]
,
[
1
0
t
t
T
t
=

множество 
Q)
U(T),
D,
(t,
T
X
)
(
n
R
C


, причем 
справедливо представление

Q
q
t
0
T
0
q)ds
V,
s)B(s,
,
F(
)D
t
,
F(
Q)
U(T),
D,
(t,


+
=
t
t
t
X
.
(5) 
В дальнейшем используем понятия опорной функции множества и 
опорного множества по направлению [5].
Опорной функцией множества 
n
R
P

называется функция 
)
,
(


P
C
→
, 
определенная равенством 
)
,
(
sup
)
,
(


p
P
C
P
p

=
. 
Множество 
)}
,
(
)
,
(
:
{
)
,
(
P
p
C
p
P
p
P
G
=

=


называется 
опорным 
к 
множеству 
n
R
P

в направлении 
n
R


, 
0


.
Положим: 
"Science and Education" Scientific Journal
December 2020 / Volume 1 Issue 9
www.openscience.uz
12

---

]
t
,
[t
T
t
M(t),
Q)
U(T),
D,
(t,
)
(
1
0
T
=

−
=

X
t
, (6) 
)
),
(
(
)
,
(



t
C
t

=
– опорная функция множества 
)
(
t

.
Используя формулу (5) и свойства опорных функций, имеем: 
)
),
(
(
)ds
q),
V,
s)B(s,
,
C(F(
sup
)
)D,
t
F(t,
(
)
(t,
0
t
0





−
+
+
=


t
M
C
t
C
t
Q
q
. (7) 
Лемма 2.
При выполнении условий 1) –5) и условия компактности 
множества 
D
функция 
)
(t,


является непрерывной на 
n
R
t

+
)
,
[
0
и выпуклой 
по 
n
R


. 
Лемма 3.
В дополнении к условиям 1) – 5) будем предполагать, что при 
каждом 
0
t
t

, 
Q
q

, 
0
,




n
R
, опорное множество 
)
),
,
,
(
(

q
V
t
B
G
состоит из 
единственного элемента и опорная функция 
)
),
,
,
(
(

q
V
t
B
С
строго вогнута по 
Q
q

. Тогда, при каждом 
]
,
[
1
0
t
t
T
t
=

множество 
Q)
U(T),
D,
,
(
T
t
X
, определенное 
равенством (3), является строго выпуклым компактом из 
n
R
. 
Основные результаты. 
Будем предполагать, что выполняются условия 1)–
5) и 
)
(
n
R
C
D


. 
Теорема 1. 
Оптимальное время 
*
1
t
является минимальным корнем 
уравнения 
0
,
0
)
(
t
t
t

=

, где 
)
,
(
inf
)
(
1




t
t
=
=
. 
Доказательство. 
В силу постановки задачи быстродействия оптимальное 
время 
*
1
t
определяется как минимальное число 
0
1
t
t

, при котором справедливо 
соотношение (4), которое равносильно включению 
)
(
0
1
t


,
(8) 
где множество 
)
(
t

определяется равенством (6). 
Используя лемму 1, выпуклость и замкнутость множества 
)
(
t
M
, 
утверждаем, что множество 
)
(
t

выпукло и замкнуто при 
0
t
t

. Следовательно, 
соотношение (8) эквивалентно неравенству
0
)
,
(
inf
1
1

=



t
,
(9) 
где функция 
)
,
(


t
определяется равенством (7). 
Как уже заметили, оптимальное время 
*
1
t
определяется соотношением 
}
),
(
0
:
min{
0
1
1
1
*
1
t
t
t
t
t



=
. 
Поскольку соотношение (8) равносильно неравенству (9), то оптимальное 
время 
*
1
t
является минимальным числом 
0
*
1
t
t

, при котором справедливо 
неравенство (9). Итак,
0
)
,
(
inf
)
(
*
1
1
*
1

=
=




t
t
. 
"Science and Education" Scientific Journal
December 2020 / Volume 1 Issue 9
www.openscience.uz
13

---

Из леммы 2 легко следует, функция 
)
,
(
inf
)
(
1




t
t
=
=
непрерывна при 
0
t
t

. 
Если предположим, что 
0
)
(
*
1

t

, то в силу непрерывности функции 
)
(
t

при 
достаточно малых 
0


имеем 
0
)
(
*
1

−


t
, т.е. справедливо включение 
)
(
0
*
1

−


t
, которое означает, что соотношение (8) справедливо при 

−
=
*
1
1
t
t
. А 
это противоречит оптимальности 
*
1
t
.
Итак, 
0
)
(
*
1
=
t

. Если предположим, что уравнение 
0
,
0
)
(
t
t
t

=

имеет корень 
*
1
1
~
t
t

, то равенство 
0
)
~
(
1
=
t

означает, что 
)
~
(
0
1
t


, т.е. получим противоречие 
относительно оптимальности 
*
1
t
. Теорема доказана. 
Теорема 2. 
Предположим, что 
*
1
t
– минимальный корень уравнения 
0
,
0
)
(
t
t
t

=

, а вектор 
1
,
*
*
=



n
R
, удовлетворяет условию
)
,
(
min
)
,
(
*
1
1
*
*
1





t
t
=
=
.
Тогда тройка 
Q
T
U
D
q
u
x



)
(
)
,
,
(
*
*
*
*
0
(
]
,
[
*
1
0
*
t
t
T
=
), удовлетворяющая 
условиям
)
,
)
,
(
(
max
)
,
)
,
(
(
*
0
0
*
1
*
*
0
0
*
1
0


x
t
t
F
x
t
t
F
D
x

=
,
(10) 
)
),
,
,
(
)
,
(
(
max
)
),
),
(
,
(
)
,
(
(
*
*
*
1
*
*
*
*
1


q
v
t
B
t
t
F
C
q
t
u
t
B
t
t
F
C
V
v

=
п.в. на 
*
T
, (11) 



=
*
1
0
*
1
0
)
),
,
,
(
)
,
(
(
max
)
),
,
,
(
)
,
(
(
*
*
1
*
*
*
1
t
t
Q
q
t
t
dt
q
V
t
B
t
t
F
C
dt
q
V
t
B
t
t
F
C


, (12) 
составляет решение задачи быстродействия, а 
*
1
t
является оптимальным 
временем быстродействия. 
Доказательство.
В силу теоремы 1 
*
1
t
является оптимальным временем 
быстродействия. Поэтому равенство
0
)
,
(
min
)
,
(
*
1
1
*
*
1
=
=
=





t
t
 
Означает, что множества 
)
(
*
1
t
M
и 
Q)
),
U(T
D,
,
(
*
*
1
T
*
t
X
(
]
,
[
*
1
0
*
t
t
T
=
) имеют 
общие граничные точку и общую гиперплоскость 


=
)
,
(
*
x
, где
)
),
(
(
)
,
Q)
),
U(T
D,
,
(
(
*
*
1
*
*
*
1
T
*



−
−
=
=
t
M
C
t
X
C
. 
Из условий (10), (11), (12) можно вывести, что
)
),
),
(
,
,
(
(
)
,
)
q
,
u
,
x
,
(
(
*
*
*
1
*
*
*
*
0
*
1
T
*
*



Q
T
U
D
t
X
C
t
X
C
T
=
=
. 
Значит, гиперплоскость 


=
)
,
(
*
x
является опорной также для множества 
)
q
,
u
,
x
,
(
*
*
*
0
*
1
T
*
t
X
и 
)
(
*
1
t
M
. 
В силу леммы 3 множество 
Q)
),
U(T
D,
,
(
*
*
1
T
*
t
X
строго выпукло. Поэтому 
гиперплоскость 


=
)
,
(
*
x
содержит единственную граничную точку множества 
Q)
),
U(T
D,
,
(
*
*
1
T
*
t
X
. Так как 
*
1
t
– оптимальное время, эта же точка является также 
точкой множества 
)
(
*
1
t
M
. Как уже заметили, гиперплоскость 


=
)
,
(
*
x
является 
"Science and Education" Scientific Journal
December 2020 / Volume 1 Issue 9
www.openscience.uz
14

---

опорной также для множества 
)
q
,
u
,
x
,
(
*
*
*
0
*
1
T
*
t
X
. Поэтому, учитывая 
соотношение 
)
),
(
,
,
(
X
)
q
,
u
,
x
,
(
*
*
1
T
*
*
*
0
*
1
T
*
*
Q
T
U
D
t
t
X

, утверждаем, что множества 
)
q
,
u
,
x
,
(
*
*
*
0
*
1
T
*
t
X
и 
)
(
*
1
t
M
имеют общие граничные точки. Значит, учитывая 
оптимальность времени 
*
1
t
, заключаем, что тройка 
Q
T
U
D
q
u
x



)
(
)
,
,
(
*
*
*
*
0
является решением задачи быстродействия. Теорема доказана.
Заключение.
В работе изучена одна задача управления ансамблем 
траекторий 
динамической 
системы, 
описываемой 
управляемым 
дифференциальным включением с дополнительным параметром. В данной 
системе начальное состояние также предполагалось неточно заданным. 
Изучены некоторые вспомогательные свойства ансамбля траекторий. Далее на 
их основе получены условия оптимальности. Они позволяют составлению 
соотношений, из 
которых 
можно определить оптимальное 
время 
быстродействия, оптимальное управление и оптимальное значение параметра 
системы. Полученные условия оптимальности составляют теоретическую 
основу алгоритма построения решения рассмотренной задачи быстродействия.