Речной гидродинамики

V
и учитывая равенство 
u
= 
V
+ 
U
, полу-
чим выражение для вектора удельного расхода в верхнем слое над руслом:
где
(1.3.17)
(1.3.18)
(1.3.19)
(1.3.20)
(1.3.21)
(1.3.22)
(1.3.23)
34
Модели мелкой воды в задачах речной гидродинамики

---

Теперь с использованием выражений (1.3.21), (1.3.23), (1.3.24) уравнение 
неразрывности (1.3.17) можно привести к виду
где слагаемое в круглых скобках отлично от нуля только в границах русла, 
величины 
E
, 
D
над руслом равны 
E
S
, 
D
S
, а над поймой – 
E
F
, 
D
F
. 
Уравнение (1.3.25) в частных производных второго порядка параболи-
ческого типа относительно отметки свободной поверхности воды является 
обобщением известного диффузионного приближения для уравнений мел-
кой воды на случай двухслойного русло-пойменного потока, причем коэф-
фициенты уравнения являются нелинейными функциями 
z
и ее производной.
Уравнение (1.3.25) требует постановки граничных условий на всех гра-
ницах области течения. На части границы может быть задан уровень воды, 
а на другой части – удельный расход воды (условию непротекания через 
твердую границу соответствует нулевой расход). Таким образом, граничные 
условия записываются в виде:
где 
σ
1
, 
σ
2
– части границы области течения в плане; 
q
n
– суммарный (включая 
русла) удельный расход воды по нормали к границе (
n
).
Для решения (1.3.25) должно быть также задано начальное условие
В результате решения определяются отметки водной поверхности в лю-
бой точке плана течения в любой момент времени. Скорости течения в рус-
ле и на пойме находятся дифференцированием с использованием формул 
(1.3.21), (1.3.23), (1.3.24).
Дискретизация уравнения (1.3.25) производилась стандартной процеду-
рой Галеркина-Петрова [Сегерлинд, 1979] с финитными кусочно-линейны-
ми весовыми и базисными функциями на треугольных элементах, матрица 
при производной по времени диагонализировалась. Таким образом обе-
спечивался первый порядок аппроксимации по времени и второй – по про-
странству. Получающаяся система линейных алгебраических уравнений 
с профильной матрицей решалась методом Холесского [Сегерлинд, 1979; 
Джорж, Лю, 1984]. В силу нелинейности коэффициентов уравнения (1.3.25) 
на каждом шаге по времени осуществлялись итерации для их уточнения. 
Отметим, что использование при производной по времени стандартной 
(трехдиагональной) конечноэлементной матрицы демпфирования приводи-
ло к сложностям в расчетах нестационарных течений с переменным уров-
нем водной поверхности.
(1.3.26)
z
(
x
, 
y
, 0) = 
z
0
(
x
, 
y
) (1.3.27)
(1.3.25)
Аналогично для вектора удельного расхода над поймой имеем
(1.3.24)
где