Речной гидродинамики

А.3. Неотрицательный конечно-разностный алгоритм 
для одномерных уравнений диффузионной волны
При решении некоторых задач гидравлики открытых потоков можно 
применять упрощенные уравнения Сен-Венана в так называемом диффузи-
онном приближении [Cunge, Holly, Verway, 1980; Маханов, Семенов, 1994, 
1996], когда в уравнении движения пренебрегают полной производной от 
расхода воды по времени, тем самым предполагая, что гравитационные силы 
уравновешиваются силами трения (уравнение неразрывности при этом не 
меняется). Уравнения мелкой воды в рассматриваемом приближении опи-
сывают весьма широкий класс течений, в том числе кривые подпора и спада 
спокойного потока, распространение волн половодья, течения на поймах и 
другие. Двумерные двухслойные уравнения диффузионной волны выведе-
ны в п. 1.3.2 монографии и использовались при решении ряда практических 
задач (главы 5, 6, 8). Весьма эффективным оказывается применение урав-
нения диффузионной волны при расчете склонового стока с водосборных 
бассейнов как альтернатива более ранним подходам, основанным на реше-
нии уравнения кинематической волны [Кучмент, 1972; Кучмент, Демидов, 
Мотовилов, 1983; Корень, 1991].
В задачах склонового стока моделируются тонкие слои жидкости (глу-
бина может обращаться в ноль), стекающие по поверхностям с большими 
уклонами, причем шаги расчетной сетки и перепады уровней на ячейке мо-
гут на несколько порядков превосходить глубину потока. Это может приво-
324
Модели мелкой воды в задачах речной гидродинамики

---

дить к неустойчивости численного счета и возникновению отрицательных 
глубин, когда уровень поверхности жидкости опускается ниже поверхности 
земли, что не имеет под собой физической основы. Поэтому для таких задач 
актуальным является разработка так называемых «неотрицательных» алго-
ритмов, автоматически обеспечивающих неотрицательность глубин во все 
время счета. 
Для полных двумерных уравнений мелкой воды А.Н. Милитеевым и 
М.С. Сладкевичем [Милитеев, Сладкевич, 1983; Лятхер, и др., 1986] была 
предложена явная по времени разностная схема на прямоугольной сетке, 
теоретически гарантирующая (и на практике обеспечивающая) свойство не-
отрицательности глубин при любых соотношениях расчетных параметров 
течения. Для одномерных и двумерных уравнений диффузионной волны 
С.С. Махановым и А.Ю. Семеновым [Маханов, Семенов, 1994, 1996] был 
предложен полностью неявный алгоритм на прямоугольных сетках, обла-
дающий тем же свойством. При этом неотрицательность достигалась при-
менением итераций, число которых на каждом шаге по времени достигало 
многих десятков. Ниже описывается гибридный (явно-неявный) «неотри-
цательный» метод решения уравнений диффузионной волны, наиболее фи-
зичный и эффективный для рассматриваемого класса задач. Для простоты 
выкладок изложение ведется для одномерной системы уравнений в простей-
шем случае русла (полосы склона) единичной ширины, однонаправленного 
(в положительном направлении оси 0X) потока, неотрицательных уклонов 
дна, неотрицательных осадков и равномерной сетки, однако метод обобща-
ется на полные одномерные и двумерные уравнения и неравномерные и тре-
угольные расчетные сетки. При выполнении некоторого дополнительного 
ограничения (см. [Маханов, Семенов, 1994, 1996]) величина осадков также 
может быть отрицательной (испарение). Уравнения мелкой воды с учетом 
сделанных допущений принимают вид:
Выберем аппроксимацию уравнения неразрывности в форме «левый 
уголок»
(A.26)
где 
τ
– шаг по времени, Δ – шаг равномерной сетки, символ "~" помечает 
величины, взятые с нижнего слоя по времени, символ “^“ обозначает вели-
чины с верхнего слоя по времени, а величины без верхних индексов могут 
на каждом шаге по времени уточняться итерационно. 
Приложение А. Численные алгоритмы решения одномерных уравнений мелкой воды
(A.25)
325

---

Выберем шаг по времени τ из условия Куранта: 
, где макси-
мум берется по всем узлам сетки. Тогда аппроксимация (26) обеспечивает 
неотрицательность глубин, что становится очевидным, если преобразовать 
(А.26) с учетом выбора τ к виду
(A.27)
Действительно, если все величины с нижнего слоя по времени неотрица-
тельны, то из (А.27) следует, что глубина на верхнем слое по времени также 
неотрицательна. С использованием дискретного аналога первого уравнения 
(А.25) представим скорость в i-ом узле сетки в виде
(A.28)
где 
I
i
– заданные неотрицательные величины, а способ интерполяции глу-
бин обеспечивает дивергентность по импульсу на горизонтальном дне.
Подставляя (А.28) в (А.26), получим
Группируя члены, получим
или
(A.29)
Записывая (А.29) для каждого полуцелого узла сетки, получим систему 
алгебраических уравнений относительно глубин потока в полуцелых узлах 
на верхнем слое по времени, имеющую трехдиагональную матрицу коэф-
фициентов, которая может быть решена методом прогонки [Самарский, 
1977; Роуч, 1980].
326