Rtf template

П1.2 Сведения по конечным полям 
В современной криптографии (а также в теории чисел, в теории 
помехоустойчивого кодирования и др.) активно используется математический 

---

64 
аппарат теории конечных полей (полей Галуа), в частности – модулярная 
арифметика (арифметика остатков).
Приведем кратко основные понятия и сведения, относящиеся к конечным 
полям, а также несколько простых примеров. Подробные сведения о конечных 
полях можно найти в [3, 4, 7, 9, 18, 23]. 
Группа
– это множество, для каждой пары элементов которого определена 
операция сложения (
аддитивная
группа) или умножения (
мультипликативная
группа). Свойства операций подчиняются аксиомам: 
1.
Группа 
G
является 
замкнутой
по операции: 
,
a b G


элемент 
*
c
a b

также 
принадлежит группе (* – общее обозначение операций). 
2.
Группа 
G
является 
ассоциативной
: 




, ,
*
*
*
*
.
a b c G
a b
c
a
b c



3.
Группа 
G
содержит 
нейтральный
элемент 
e
(аналог нуля для сложения или 
единицы для умножения): 
*
*
a e
e a
a


. 
4.
Каждый элемент группы имеет 
обратный
: 
1
1
:
*
a G
a
a
a
e


 


. 
Если группа имеет свойство 
коммутативности
, она называется 
коммутативной
или 
абелевой
: 
,
*
*
a b G a b
b a



. 
Примеры групп
: множество целых чисел с операцией сложения; множество 
положительных рациональных чисел с операцией умножения; группа элементов 
преобразований кубика Рубика; множество из 0 и 1 с операцией сложения по 
модулю 2. 
Понятие группы связано с фундаментальными свойствами симметрии и 
поэтому оказывается универсальным аппаратом для изучения структур 
математических объектов самого разного происхождения. 
Кольцо
– это абелева группа с дополнительными свойствами: определены 
две операции (сложение и умножение) со следующими аксиомами: 
1.
Относительно сложения кольцо является 
абелевой
группой. 
2.
Относительно умножения кольцо 
R
является 
замкнутым
: 

---

65 
,
a b
R c
ab
R




. 
3.
Дистрибутивность
: 


, ,
.
a b c
R a b c
ab ac


 

4.
Ассоциативность
: 
   
, ,
.
a b c
R a bc
ab c


