|
8-masala.
(8.1-8.15). Bir jinsli
l
egri chiziq og‘irlik markazining
koordinatalarini toping:
:
l
)
cos
1
(
),
sin
(
t
a
y
t
t
a
x
sikloidaning bir arkasi.
Yechish.
Sikloidaning birinchi arkasi
a
x
to‘g‘ri chiziqqa nisbatan
simmetrik bo‘ladi. Shu sababli sikloida og‘irlik markazining abssissasi
a
x
c
bo‘ladi.
Sikloida og‘irlik markazining ordinatasini
m
ydl
y
b
a
c
,
b
a
dl
m
formula bilan topamiz.
Bunda
dt
t
a
t
t
a
dl
)
cos
1
(
)
sin
(
2
dt
t
t
a
2
2
2
sin
)
cos
1
(
.
2
sin
2
cos
2
2
dt
t
a
dt
t
a
Egri chiziq bir jinsli bo‘lgani uchun uning zichligi
const
bo‘ladi.
U holda
2
0
dl
m
;
8
2
cos
4
2
sin
2
2
0
2
0
a
t
a
dt
t
a
15
2
0
2
2
0
2
2
sin
2
sin
2
2
2
sin
)
cos
1
(
2
dt
t
t
a
dt
t
t
a
a
2
0
3
2
2
0
2
2
2
cos
3
1
2
cos
8
2
cos
2
cos
1
8
t
t
a
t
d
t
a
;
3
32
3
1
3
1
1
1
8
2
2
a
a
.
3
4
8
3
32
2
a
a
a
y
c
Demak,
3
4
;
a
a
C
.
8-masala.
(8.16-8.25). Berilgan chiziqlar bilan chegaralangan bir jinsli
D
yassi figura og‘irlik markazining koordinatalarini toping:
:
D
1
b
y
a
x
to‘g‘ri chiziq va koordinata o‘qlari bilan chegaralangan.
Yechish.
To‘g‘ri chiziq tenglamasidan topamiz:
.
b
x
a
b
y
Quyidagi formulalarni qo‘llaymiz:
,
m
xydx
x
b
a
c
,
2
1
2
m
dx
y
y
b
a
c
b
a
ydx
m
.
U holda
;
2
2
2
0
2
0
ba
ba
ba
bx
x
a
b
dx
b
x
a
b
m
a
a
;
6
2
3
2
3
2
2
2
0
2
3
0
ba
ba
ba
x
b
x
a
b
dx
b
x
a
b
x
a
a
dx
x
a
b
x
a
b
b
dx
b
x
a
b
a
a
0
2
2
2
2
2
0
2
2
2
2
;
6
3
2
2
2
2
0
3
2
2
2
2
2
ab
x
a
b
x
a
b
x
b
a
;
3
6
2
2
a
ba
ba
x
c
.
3
6
2
2
b
ba
ab
y
c
Demak,
3
;
3
b
a
C
.
16
3-MAVZU. ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALAR
9-masala.
Differensial tenglamaning umumiy yechimini toping:
1)
0
3
4
2
2
dy
x
y
dx
y
x
; 2)
0
3
)
3
(
2
2
y
y
x
xy
.
Yechish.
1) O‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama berilgan. Uning har
ikkala tomonini
0
3
4
2
2
x
y
ga bo‘lib, o‘zgaruvchilarni ajratamiz:
0
4
3
2
2
y
ydy
x
xdx
.
Bu tenglikni integrallaymiz:
C
y
x
2
2
4
3
.
Bundan
2
2
3
4
x
C
y
yoki
4
)
3
(
2
2
x
C
y
.
2) Berilgan tenglamani
2
2
3
3
x
xy
y
y
ko‘rinishga keltiramiz. Bu ifodada
2
2
3
3
)
,
(
x
xy
y
y
x
f
bir jinsli funksiya. Demak, berilgan tenglama bir jinsli tenglama.
Tenglamada
x
x
u
y
ux
y
,
o‘rniga qo‘yish bajaramiz:
2
2
2
2
3
3
x
u
x
u
x
u
x
u
yoki
1
3
3
2
u
u
u
x
u
.
Bundan
1
3
3
3
2
2
u
u
u
u
x
u
yoki
.
1
3
u
u
x
u
O‘zgaruvchilarni ajratamiz:
.
1
3
x
dx
du
u
u
17
Tenglamani integrallaymiz:
x
dx
C
du
u
u
ln
1
3
yoki
.
|
|
ln
ln
3
|
|
ln
x
C
u
u
Bundan
xu
C
u
ln
3
.
x
y
u
o‘rniga qo‘yish bajaramiz:
y
C
x
y
ln
3
yoki
x
y
Ce
y
3
.
10-masala.
Koshi masalasini yeching:
2
1
)
0
(
,
0
cos
2
y
x
y
ytgx
y
.
Yechish.
Tenglamani
x
y
ytgx
y
cos
2
ko‘rinishda yozamiz. Bu
tenglama Bernulli tenglamasi. Bunda
2
n
.
1
2
1
y
y
z
belgilash kiritamiz va chiziqli
x
ztgx
z
cos
tenglamani hosil qilamiz.
,
uv
z
u
v
v
u
z
o‘rniga qo‘yish bajaramiz:
.
cos
)
(
x
vtgx
v
u
v
u
v
u
,
funksiyalarni topish uchun
x
v
u
vtgx
v
cos
,
0
sistemani tuzamiz.
Sistemaning birinchi tenglamasidan
x
v
cos
xususiy yechimni topamiz va
uni sistemaning ikkinchi tenglamasiga qo‘yamiz:
x
x
u
cos
cos
,
1
u
,
.
C
x
u
Berilgan tenglamaning umumiy yechimini topamiz:
,
uv
z
.
cos
)
(
x
C
x
z
Bundan
x
C
x
y
cos
)
(
1
yoki
.
cos
)
(
1
x
C
x
y
Tenglamaning xususiy yechimni topish uchun ixtiyoriy o‘zgarmasning qiymatini
18
boshlang‘ich shartdan topamiz:
C
1
2
1
yoki
2
C
.
Demak, tenglamaning izlanayotgan xususiy yechimi
.
cos
)
2
(
1
x
x
y
11-masala.
Differensial tenglamani ixtiyoriy o‘zgarmasni variatsiyalash usuli
bilan yeching:
x
y
y
3
sin
1
9
.
Yechish.
0
9
2
k
xarakteristik tenglama
i
k
3
2
,
1
ildizlarga ega.
U holda mos bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi
x
C
x
C
y
3
sin
3
cos
2
1
1
ko‘rinishda bo‘ladi.
Berilgan tenglamaning xususiy yechimini
x
x
C
x
x
C
y
3
sin
)
(
3
cos
)
(
2
1
ko‘rinishda izlaymiz.
)
(
1
x
C
va
)
(
2
x
C
funksiyalarni topish uchun
x
x
x
C
x
x
C
x
x
C
x
x
C
3
sin
1
3
cos
)
(
3
3
sin
)
(
3
,
0
3
sin
)
(
3
cos
)
(
2
1
2
1
sistemani tuzamiz va yechamiz:
.
3
3
1
)
(
,
3
1
)
(
2
1
x
ctg
x
C
x
C
Bundan
.
|
3
sin
|
ln
9
1
)
(
,
3
1
)
(
2
1
x
x
C
x
x
C
Demak, berilgan tenglamaning xususiy yechimini
x
x
x
x
y
3
sin
|
3
sin
|
ln
9
1
3
cos
3
1
va umumiy yechimi
x
x
x
x
x
C
x
C
y
3
sin
|
3
sin
|
ln
9
1
3
cos
3
1
3
sin
3
cos
2
1
19
yoki
x
x
C
x
x
C
y
3
sin
|
3
sin
|
ln
9
1
3
cos
3
1
2
1
.
12-masala.
Differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini toping:
.
cos
3
,
sin
2
1
2
2
1
1
x
y
y
y
x
y
y
y
Yechish.
1) Sistemaga mos bir jinsli tenglamani tuzamiz:
.
3
,
2
1
2
2
1
1
y
y
y
y
y
y
Sistemaning xarakteristik tenglamasini tuzamiz va yechamiz:
0
1
3
1
1
,
.
2
,
2
2
1
2
1
da
0
3
21
11
tenglikdan
11
21
3
yoki
1
11
desak,
3
21
kelib chiqadi.
2
2
da shu kabi topamiz:
.
1
,
1
22
12
U holda bir jinsli sistemaning yechimi
x
x
x
x
e
C
e
C
y
e
C
e
C
y
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
3
,
bo‘ladi. Berilgan sistemaning xususiy yechimini
x
B
x
A
y
x
B
x
A
y
sin
cos
,
sin
cos
2
2
2
1
1
1
ko‘rinishda izlaymiz.
Bundan
.
cos
sin
,
cos
sin
2
2
2
1
1
1
x
B
x
A
y
x
B
x
A
y
2
1
2
1
,
,
,
y
y
y
y
larni berilgan sistemaga qo‘yamiz
x
cos va
x
sin
lar oldidagi
koeffitsiyentlarni tenglab, topamiz:
.
5
4
,
5
1
,
5
1
,
0
2
2
1
1
B
A
B
A
20
Demak, berilgan sistemaning xususiy yechimi va umumiy yechimi:
x
x
y
x
y
sin
5
4
cos
5
1
,
sin
5
1
2
1
,
.
sin
5
4
cos
5
1
3
,
sin
5
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
x
x
e
C
e
C
y
x
e
C
e
C
y
x
x
x
x
Do'stlaringiz bilan baham: |
