Международный научно-образовательный электронный журнал «образование и наука в XXI веке». Выпуск №10 (том 1)

Задача 3.
Перестановки.
Возьмем слово из n различных букв и составим все его анаграммы, 
т. е. будем переставлять буквы всеми возможными способами. На самом деле задача о 
перестановке различных букв является частным случаем задачи о размещении букв без 
повторений, когда число мест совпадает с числом букв. 
На первое место ставим любую из n букв, на второе – любую из (n-1) оставшихся и т. д. 
Последняя оставшаяся буква определяется однозначно. Получаем формулу для числа 
перестановок: P
k
=n(n-1)∙∙∙2∙1=1∙2∙∙∙(n-1)n=n! 
Задача 4.
Сочетания.
Сколькими способами можно выбрать k букв из алфавита, 
содержащего n букв? 
Сейчас нам не надо выписывать слова, т. е. располагать буквы в определенном порядке, а 
просто выбрать k различных букв. Эту задачу можно считать промежуточной к задаче 
перечисления всех k-буквенных слов с различными буквами. Действительно, чтобы получить 
все k-буквенные слова с различными буквами, можно поступить так: сначала выбрать те k 
букв, которые войдут в слово (пусть это можно будет сделать С
k
способами), а затем 
переставить все эти буквы (это можно сделать k! способами). В итоге мы получим все k-
буквенные слова с разными буквами, число которых B
k
мы уже знаем. Итак, B
k
=C
k 
∙k!, т. е. 
C
k
=
𝐵
𝑘
𝑘!
= 
𝑛(𝑛−1)∙⋯∙(𝑛−𝑘+1)
𝑘!
= 
𝑛∙⋯∙(𝑛−𝑘+1)∙⋯∙1
𝑘!(𝑛−𝑘)!
= 
𝑛!
𝑘!(𝑛−𝑘)!
. 
Обычно в записи этих чисел указывают оба индекса n и k и записывают их так: 
С
𝑛
𝑘
= 
𝑛!
𝑘!(𝑛−𝑘)!
. 
Отметим еще раз, чем отличается выборка k предметов от их размещения: при размещении 
мы учитываем их порядок, а при выборке – нет. Выборки часто называют сочетаниями. 
Задача 5.
Перестановки с повторениями.
Сколькими способами можно составить 
анаграммы из слова, содержащего n букв, но такого, что некоторые его буквы могут 
повторяться?
Пусть всего есть k различных букв, причем первая повторяется n
1
раз, вторая – n
2
раз, k-ая – 
n
k
раз 
( тогда n
1
+n
2
+…+n
k
=n – общее число букв в слове). Подсчитаем общее число n-буквенных 
слов с различными буквами ( это число на известно – n!), сначала взяв все слова с 
указанными повторениями букв (это то число D
k
, которое нам нужно найти), а затем сделав 
одинаковые буквы разными (например, записав их разными шрифтами). Ясно, что при этом 
получим из одного слова n! различных слов. Поступая так со всеми k буквами, получим 
D
k
∙n
1
!∙n
2
!...n
k
!=n!, т. е.
D
k
=
𝑛!
𝑛!∙⋯∙𝑛
𝑘
!
= 
(𝑛
1
+ ⋯+𝑛
𝑘
)!
𝑛
1
!∙⋯∙𝑛
𝑘
!
. 
Решение задач. 
Общее число слов. 
1.
В лифте, останавливающемся на семи этажах, едут 10 человек. Каждый из них 
независимо друг от друга может сойти на любом этаже. Сколько способов 
существует? 
Ответ: 7
10
.
2.
 
На рояле 88 клавиш. Сколькими способами можно извлечь последовательность из 
семи звуков? 
Ответ: 88
7
. 

---

115 
3.
 
Номер машины состоит из трех букв 26-буквенного алфавита и четырех цифр. 
Сколько существует различных номеров машины (возможен номер ааа0000)? 
Ответ: 
26
3
∙10
4
. 
4.
В алфавите 32 буквы, 10 из которых гласные. Сколько существует пятибуквенных 
«слов», начинающихся с гласной буквы? («Слово» - это любая последовательность 
букв). Ответ: 10∙32
4
. 
5.
Сколько можно составить шестибуквенных «слов» из алфавита в 32 буквы таких, что 
никакие две одинаковые буквы не стояли бы рядом?