x
,
:
,
,
n
f
C
88
1
2
1
2
,
,
,
A A B B
– известные квадратные матрицы порядка
(
)
n n
, причем такие,
что прямоугольные матрицы
1
2
( ,
)
A A
и
1
2
( ,
)
B B
имеют ранги:
1
2
,
rang A A
n
,
1
2
,
rang B B
n
,
0
– фиксированный малый параметр при старшей произ-
водной. Требуется определить
:
,
n
y
C
так, чтобы выполнялись задан-
ные условия (1) - (2).
Построим модификацию метода унитарной прогонки для решения ли-
нейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго по-
рядка с пограничным слоем, которая позволяет преобразовать исходную
задачу в виде совокупности трех задач Коши.
Для начала введем в рассмотрение регулирующие матрицы-
множители
1
( , )
M x
и
2
( , )
M x
, представленные в виде матриц, и в дальней-
шем рассматриваем вместо
( )
y x
и
( )
y x
преобразованные вектор-функции
1
( , ) ( )
M x
y x
и
2
( , ) ( )
M x
y x
. Эти матрицы составляют с решением и его гра-
диентом единые блоки.
Также введем вспомогательные вектор-функции
( ), ( )
r x s x
, определен-
ные на заданном отрезке
[ , ]
, и матрицы
( ),
1, 4
i
W x
i
по правилу:
*
*
1
2
3
1
( )
( )
( , ) ( )
( , ) ( )
r x
W x M x
y x
W
M x
y x
, (3)
*
*
2
2
4
1
( )
( )
( , ) ( )
( , ) ( )
s x
W
x M x
y x
W
M x
y x
. (4)
В формулах (3), (4) «звездочкой» помечен переход к транспонирован-
ной и комплексно-сопряженной матрице.
За счет построенных таким образом решения системы
1
( , ) ( )
M x
y x
и его
градиента
2
( , ) ( )
M x
y x
можно обеспечить нормальное поведение их на всем
заданном отрезке, а, главное, в зонах пограничных слоев.
Будем рассматривать случай, когда пограничный слой расположен на
правом граничном условии, то есть вблизи точки
x
.
Ограничения на матрицы
( ),
1, 4
i
W x i
определяем таким образом, чтобы
квадратная матрица
1
2
3
4
( )
( )
( )
( )
( )
W x
W x
W x
W x
W x
для
,
x
обладала свойством унитарности. Свойство унитарности
возможно при выполнении следующих условий:
*
*
1
1
2
2
( )
( )
( )
( )
,
W x W x
W x W x
E
*
*
3
3
4
4
( )
( )
( )
( )
,
W x W x
W x W x
E
*
*
1
3
2
4
( )
( )
( )
( )
0,
W x W x
W x W x
89
*
*
3
1
4
2
( )
( )
( )
( )
0.
W x W x
W x W x
Построив произведения матриц
*
WW
и
*
W W
, получим, что
*
*
WW
W W
E
,
что и доказывает унитарность матриц.
Для получения граничных условий применяем линейные преобразо-
вания [3]. Это нужно для того, чтобы преобразованные векторы вместе с
n
векторами составили ортонормированную систему 2
n
векторов. При этом
используем процесс ортонормирования по Шмидту. Получим первое гра-
ничное условие (2) по формулам:
*
1
1
( )
W
V
,
*
3
2
( )
W
V
.
Определив значения матриц
1
3
( ),
( )
W
W
, получим значение вектора
( )
r
.
Итак, начальные значения для матриц
1
3
( ),
( )
W x W x
и вектора
( )
r x
найдены.
В прямом ходе метода прогонки находим эти матрицы и вектор
( )
r x
, как
решения задач Коши
1
1
*
1
2
2
1
2
1
3
1
(
)
A
W
M
M
W
M M W
W G
,
*
1
1
( )
W
V
.
1
*
1
*
3
2
2
1
1
1
3
3
(
)
B
W
M
M
W
M M W
W G
,
*
3
2
( )
W
V
.
Вектор
( )
r x
найдем, как решение задачи Коши для уравнения
*
1
2
( )
f
r x
Gr W M
,
( )
r
.
Здесь матрица
G
уже найдена. Это позволяет осуществить перенос гра-
ничного условия из точки
во все остальные точки отрезка
,
, и в ко-
нечном итоге получим значение в точке
x
, то есть точки, вблизи кото-
рой расположен пограничный слой. Но, так как сюда перешло новое уже
теперь начальное для задачи Коши условие:
*
2
3
( )
W
V
и
*
4
4
( )
W
V
,
то обратный ход метода прогонки уже осуществляем без проблем.
Решаем задачи Коши:
90
1
1
*
*
2
2
2
2
2
1
4
1
2
(
)
A
W
M
M
W
M M W
W H
W I
,
*
2
3
( )
W
V
.
1
*
1
*
*
4
1
2
4
1
1
4
3
4
(
)
B
W
M
M
W
M M W
W H
W I
,
*
4
4
( )
W
V
Остается только найти вектор
( )
s x
. Его легко получить, решив дифферен-
циальное уравнение:
*
2
2
( )
( )
( )
f
s x
H x r
I x s W M
,
( )
s
.
Окончательно искомое решение находим по формулам:
1
1
2
( , ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
M x
y x
W x r x
W x s x
,
2
3
4
( , ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
M x
y x
W x r x
W x s x
.
Итак, исходная граничная задача была переформулирована в сово-
купность задач Коши. Следует отметить, что матрицы
( ),
1, 4
i
W x
i
и век-
тор-функции
( ), ( )
r x
s x
, входящие в полученные задачи Коши, являются
благоприятными в вычислительном отношении. Для самих задач Коши
существует много хорошо работающих известных методик [4]. Регулиру-
ющие множители
1
( , )
M x
и
2
( , )
M x
, составляющие единые блоки с реше-
нием системы и его градиентом, вычисляются точно [5].
Список литературы
1.
Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы
решения задач с пограничным слоем. М.:Мир, 1983. 186 с.
2.
Соловьева И. Ф. О решении систем линейных о. д. у. второго порядка с
пограничным
слоем
//
Труды БГТУ. Сер. физ.-мат. науки и информати-
ка, 2001. Вып. IX. С. 7-11.
3.
Холл, Д. Современные численные методы решения обыкновенных
дифференциальных уравнений /Д. Холл, Д. Уатт; пер. с англ. – М.: Мир,
1979. – 312 с.
4.
Деккер, К. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелиней-
ных дифференциальных уравнений / К. Деккер, Я. Вервер; пер. с англ. –
М.: Мир, 1983. – 200 с.
5.
Соловьева И. Ф. Особенности решения граничных задач с пограничным
слоем // Труды БГТУ. № 2(194): Физ.-мат. науки и информатика. 2017.
С. 20 – 24.
91
УДК 519.6
РАЗРАБОТКА ИНТЕРАКТИВНЫХ ОБУЧАЮЩИХ ЗАДАНИЙ
СРЕДСТВАМИ WEB-СЕРВИСА LEARNINGAPPS.ORG
П.Д. Сорокина
Научный руководитель: Семенова Т.С. преподаватель кафедры ТиМПО
Кузбасский государственный технический университет
имени Т.Ф. Горбачева г. Кемерово
В настоящее время возрастает роль информационных технологий,
которые охватывают дополнительные возможности для повышения каче-
ства и эффективности процесса обучения.
Актуальность работы состоит в том, что использование комплекса
интерактивных заданий позволит сделать процесс обучение более увлека-
тельным и интересным, а также окажет помощь при закреплении материа-
ла, что имеет особо значимую ценность в связи со сложившейся ситуацией
в стране и мире при переводе образовательного процесса в дистанционную
форму.
Преимущество интерактивных заданий – возможность классифици-
ровать задачи для разных групп обучающиеся в зависимости от их способ-
ностей, что позволяет с одинаковым успехом увлечь процессом отлични-
ков и неуспевающих, а также обучающиеся с ограниченными возможно-
стями здоровья, создав максимально комфортные условия работы для всех.
Благодаря работе с разными задачами у учителя исчезает проблема
«усреднения знаний», что дает возможность развивать способности каждо-
го конкретного учащегося максимально широко.
Благодаря наличию интерактивных заданий отпадает необходимость
в использовании дополнительных методических материалов и обучающих
пособий (специальные тетради, атласы, карты, схемы, таблицы и т.д.). Весь
материал можно визуализировать на экране.
Достоинства этого комплекса интерактивных заданий:
•
во-первых, мобильность;
•
во-вторых, доступность связи с развитием компьютерных сетей;
•
в-третьих, адекватность уровня развития современных научных зна-
ний.
С другой стороны, создание комплекса интерактивных обучающих
заданий способствует также решению и такой проблемы, как постоянное
обновление информационного материала. В них также может содержаться
большое количество упражнений и примеров, подробно иллюстрироваться
в динамике различные виды информации. Кроме того, при помощи ком-
плекса интерактивных обучающих заданий осуществляется контроль зна-
ний - компьютерное тестирование.
92
Цель проекта – разработать комплекс интерактивных обучающих за-
даний средствами Web-сервиса Learning.org по дисциплине
«Информати-
ка», предназначенных для закрепления пройденного материала
Задачи проекта:
•
изучить возможности Web-сервиса Learning.org;
•
подготовить презентационный материал по темам дисциплины «Ин-
форматика»;
•
разработать задания в соответствии с пройденными темами.
Для разработки интерактивных заданий был выбран веб-сервис
LearningApps, потому что:
Do'stlaringiz bilan baham: |