Samarqand davlat universiteti birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni bir qadamli sonli

x0 

boshlangʻich shartlar beriladigan nuqta;
y0 

berilga 
x0 
nuqtada izlanayotgan funksiyaning qiymati;

---

43 
y
'
0, y
''
0,…

berilga 
x0 
nuqtada izlanayotgan funksiyaning birinchi, 
ikkinchi va hokazi (
n

1)-tartibli hosilalari qiymatlari. 
Muammoni oydinlashtirishni mashqlarda bajarib koʻraylik va quyidagi 
tadbiqlarni bajaraylik: 
 
2-misol
.
Quyidagi chegaraviy masalaning 
]
5
,
4
[


x
intervaldagi 
yechimi grafigini quring: 
2
/
'
x
e
y
y
y


, 
4
/
9
)
0
(

y
. 
Yechish.
Masalaning analitik va sonli yechimi quyidagicha:
 
> Eq:=diff(y(x),x)+y(x)=sqrt(y(x))*exp(x/2); ics:=y(0)=9/4; 
dsolve({Eq,ics}); 
:= 
Eq








d
d
x
( )
y
x
( )
y
x
( )
y
x
e






x
2
:= 
ics

( )
y 0
9
4

( )
y
x


1
4






e






x
2
2
e






x
2
e







x
2






e







x
2
2
Endu shu masalani DEplot yordamida sonli yechamiz (17-18-rasmlar): 
> Eqs:=diff(y(x),x)+y(x)=sqrt(y(x))*exp(x/2): icsc:=y(0)=9/4: 
with(DEtools): DEplot(Eqs,y(x),x=-1..2.5,y=0..5,{icsc}, 
linecolor=black,stepsize=0.05,color=black);
17-rasm. Chegaraviy masalaning 
]
5
,
4
[


x
intervaldagi yechimi 
grafigi. 
18-rasm. Chegaraviy masalaning 
]
5
,
2
;
1
[


x
intervaldagi yechimi
va yoʻnalishlari maydoni grafigi. 

---

44 
3-misol
.
Quyidagi chegaraviy 
masalani sonli yeching va na-
tijalarning grafigini quring: 
x
e
y
y



2
'
, 
1
)
0
(

y
. 
 
Yechish
: 
Masalaning 
sonli 
yechimi (19-rasm): 
> restart; with(DЕtools): 
with(DEtools): 
DEplot(diff(y(x),x+2*y(x)=exp(-
x),y(x),x=-3..4,[y(0)=1],y=-
4..10,stepsize=.005); 
19-rasm. Koshi masalasining 
]
4
;
3
[


x
kesmadagi sonli yechimi
va yoʻnalishlari maydoni grafigi. 
 
4-misol
.
Ushbu 
y' = cos(y)+t , y(1)=2 
Koshi masalasini Eyler va Runge-Kutta usullari yordamida Maple 
matematik paketida t

[1;3] oraliq uchun sonli yeching. 
Yechish.
Eyler usuli uchun dastur matni, sonli hisob natijasi grafigi va 
uning analitik yechim grafigi bilan taqqoslanishi quyidagicha (20-rasm): 
 
> 
> 
> 
Runge-Kutta usuli uchun dastur matni va sonli hisob natijasi grafigi va 
uning analitik yechim grafigi bilan taqqoslanishi quyidagicha (21-rasm): 
> 
 
> 
;
4
,
3
,
2
)
1
(
)),
(
cos(
)
(











rk
submethod
t
y
t
y
t
t
y
dt
d
RungeKutta
4.468 
> 
;
,
4
,
3
,
2
)
1
(
)),
(
cos(
)
(












plot
output
rk
submethod
t
y
t
y
t
t
y
dt
d
RungeKutta
Agar aniqlikni yanada oshirish lozim boʻlsa, u holda: 
>

;
20
,
,
4
,
3
,
2
)
1
(
)),
(
cos(
)
(










numsteps
plot
output
rk
submethod
t
y
t
y
t
t
y
dt
d
RungeKutta

---

45 
 
20-rasm. Maple dasturida Eyler usuli 
bilan olingan natijalarning aniq 
yechim bilan taqqoslangan grafigi. 
 
21-rasm. Maple dasturida Runge-
Kutta usuli bilan olingan natijalarn-
ing aniq yechim bilan taqqoslangan 
grafigi. 
5-misol
.
Ushbu 
y' = -y
2
(1+2t) , y(0)=2 
Koshi masalasini analitik usulda, Eyler va Runge-Kutta usullari yordamida 
Maple matematik paketida t

[0;1] oraliq uchun yeching. 
Yechish.
Masalani dastlab Maple dasturida analitik usulda yechamiz: 
> 
> 
> 
> 

---

46 
Endi masalani Eyler usuli yordamida sonli yechish Maple dasturi va 
uning natijasini keltiramiz: 
Ana shu analitik va sonli yechimlar natijalarini grafikda taqqoslaymiz 
(21-rasm): 
Maple dasturining Eyler usuli standart funksiyasi uchun dastur matni, 
sonli hisob natijasi grafigi va uning analitik yechim grafigi bilan 
taqqoslanishi quyidagicha (22-rasm): 

---

47 
21-rasm.
22-rasm.
Masalani Runge-Kutta usuli bilan sonli yechamiz: 

---

48 
23-rasm.
24-rasm.
21-22- va 23-24-rasmlardan ko’rinib turibdiki, aniqlik Runge-Kutta 
usulida yuqori. 
Shinday qilib, sonli hisob jarayonida quyidagi natijalarga kelindi: 

qoʻllanilgan bir qadamli usullar yetarlicha aniqlik uchun kam vaqt 
sarflaydi hamda bu usullar uchun yagona shart yetarli; 

qadamning qiymati yechimning aniqligi va tezligiga muhim taʼsir 
koʻrsatadi; 

bir qadamli usullarda hisoblash jarayonida hisob qadamini 
oʻzgartirish mumkin boʻladi; 

Eyler usuliga koʻra Runge-Kutta usuli juda ham aniqroq natijalar-
ni beradi.