28
Yevklidning «Negizlar»i 10-kitobida ta'kidlangan. Bu kashfiyotlar Pifogor
nazariyasiga zid edi. Pifogorchi Gippas Metapontskiy (eramizdan avvalgi V asr)
ishini davom ettirgan Teodor Kirenskiy 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17
kvadrat birlik yuzali kvadratlarning tomoni birlik kvadratning tomoni bilan
o`lchovdosh emasligini, Tietet esa umumiyroq, ya'ni, yuzasi to`liq kvadratga teng
bo`lmagan istalgan natiral songa teng yuzali kvadratning
tomoni tomoni birlik
kvadratning tomoni bilan o`lchovdosh emasligini ta'kidlagan.
2.1.1-§ IRRATSIONAL SONLAR
Qadimgi Misrda va Vavilonda XX asr ilgari nisbatlar (ratsional sonlar) bilan
ifodalashning imkoni bo`lmagan, o`lchab bo`lmas kesmalar ma’lum bo`lgan (
,
, π…).
O`lchab bo`lmas kesmalarni haqiqatda mavjudligini ochish aniq ma’lum
emas, ya’ni isbotlanmagan edi. Bular quyidagilarda sodir bo`lgan:
geometrik hisoblashlarda kvadratning tomoni va diagonali orasida umumiy
o`lchov birligini topish;
muzika nazariyasida oktavani teng ikkiga bo`lish, 1 va 2 sonlarining o`rta
geometrigini topishga keltirilish;
arifmetikada kvadratga oshirish bilan ikkini hosil qiluvchi kasrni topish;
Bu yerda mulohazalar hozirda biz
deb biladigan songa teng kattalikni
topish haqida borgan. Ikkita kesmaning kvadratning tomoni va diagonali o`rtasida
umumiy o`lchov birligi bo`yicha bog`lanishni ifodalab bo`lmasligi usha davrgacha
bo`lgan
matematikaning, shuningdek qadimgi grek matematikasining krizisiga
aylangan edi.
Kesmalarning bir meyor o`lchov birliklari bilan o`lchanmasligi qadimgi grek
matematikasining
rivojlanishiga
to`sqinlik
qila
olmadi.
Greklar
bu
nomutanosiblikni mutanosib holda hisobga oladigan kesmalarning nisbatlari
29
nazariyasini ishlab chiqishgan. Ular bu kattaliklarni uzunliklari bo`yicha
taqqoslashni bu nisbatlar o`rtasida geometrik shaklda xuddi son singari arifmetik
amallar bajarishni bilishganlar.
Hindlar irratsional sonlarni sonlarning yangi ko`rinishi
sifatida qabul
qilishgan va ular ustida ratsional sonlar ustida bajariladigan amallar singari
hisoblash ishlarini olib borishgan. Masalan, hind matematigi Bxaskara maxrajdagi
irratsionallikni surat va maxrajni shu irratsionallikka ko`paytirish bilan maxrajdagi
irratsionallikni yo`qotgan. Unda quyidagi ifodalarni uchratamiz:
Trigonometriya mustaqil fan sifatida taraqqiy etishi bilan, XIII asr ozorboyjn
olimi Nasiriddin at-Tusiy (1201 – 1274 yilar) o`zaro bir o`lchovda
hisoblab
bo`lmaydigan miqdorlarni: “Bu munosabatlarning har birini boshqasi bilan bir
xildagi birliklarda ifodalash mumkin bo`lgan miqdorlar”-son sifatida
ta’riflagan.
Songa shu kabi bahoni Umar Hayyom ham berib o`tgan edi.
Yevropada geometrik birgalikda o`lchovdosh bo`lmagan sonlar o`rta
asrlarda birmuncha e’tibordan chetda qolgan bo`lsada, irratsional sonlardan
ayrimlari ma’lum simvollar bilan belgilangan holda mavjud bo`lgan.
Ularni
“Haqiqiy emas”, “kar” kabi nomlashan.
Dekart geometriyasining (1637y) paydo bo`lishi bilan irratsional, manfiy son
tushunchasi
qo`llanila
boshlandi.
Dekart
g`oyalari
son
tushunchasini
umumlashtirishga olib keldi. Matematikaga noma’lum miqdorlar kiritildi.
R.Dekartning «Geometriya» asari paydo bo`lishi bilan irratsional sonni
tushunish osolashdi. Son o`qida irratsional son ham ratsional sonlar bilan birga
nuqta sifatida tasvirlandi. Bu bilan Yevropada XVI-XVII asrda sonlarni haqiqiy
sonlar bilan kengaytirishga harakatlar boshlandi.
Dekart sonlarni kesma bilan
ifodalash bilan son va geometrik miqdor orasidagi uzilishni tikladi va algebra va
geometriya o`rtasida ko`prik yasadi. N'yuton, Eyler, Lambert, Bolsano, Koshi,
Veyershtrass va Dedekindlar o`z haqiqiy sonlarni tushuntirishda katta izlanishar
olib borishdi.
30
XVIII asrda irratsional son bo`yicha uchta tushuncha mavjud edi:
irratsional son
butun yoki kasr sondan n-ildiz chiqarishda hosil qilingan son
(ildizdan chiqarilganda “aniq” butun yoki kasr miqdor bo`lmagan hol) tushuniladi;
irratsional son
unga istalgancha ratsional yaqinlashish mumkin bo`lgan
miqdor
chegarasi;
irratsional son
bir kattalikni shu jinsdagi ikkinchi kattalikka nisbatining
birliklarda hisoblash mumkin bo`lmagan sonlari.
Keyinchalik Eyler va Lambert irratsional sonni cheksiz nodavriy o`nli
kasrlar ko`rinishida ifodalanadigan sonlar deb ko`rsatishgan. (masalan, π =
3,141592…).
Irratsional son
lar o`zining keyingi rivojlanishini XIX asrning ikkinchi
yarmida Dedikind, Kantor va Veyershtrasning matematik
analiz masalalarini
yechish natijalari bilan bo`g`liq.
Ratsional va irratsional sonlar 3-darajali umumlashmasi Haqiqiy sonlarni
kelib chiqishini ta’minladi.
Do'stlaringiz bilan baham: 
