The Foundations: Logic and Proofs 20. Determine whether these are valid arguments a

EXAMPLE 10
A Constructive Existence Proof
Show that there is a positive integer that can be written as
the sum of cubes of positive integers in two different ways.
Solution:
After considerable computation (such as a computer search) we find that
1729
=
10
3
+
9
3
=
12
3
+
1
3
.

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1.8 Proof Methods and Strategy
97
Because we have displayed a positive integer that can be written as the sum of cubes in two
different ways, we are done.
There is an interesting story pertaining to this example. The English mathematician G. H.
Hardy, when visiting the ailing Indian prodigy Ramanujan in the hospital, remarked that 1729,
the number of the cab he took, was rather dull. Ramanujan replied “No, it is a very interesting
number; it is the smallest number expressible as the sum of cubes in two different ways.”
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