|
1
Parabolik tipdagi tenglamalar uchun chekli ayimalar sxemalarini yasash.
Masalaning qo’yilishi. Issiqlik o’tkazuvchanglik tenglamasi uchun aniq va
aniqmas sxemalar yasash
Parabolik turdagi tenglamalarni to’rlar usuli bilan yechganda kelib
chiqadigan ayirmali sxemalarni yasash va uni tekshirish bilan shug’ullanamiz.
Mayli bizga, G={0 +
(1)
Parabolik tenglamaning (issiqliq o’tkazgichlik tenglamasining)
(2)
boshlang’ich shart va
(3)
Chegaraviy shartlarni qanaotlantiradigan
u(x,t)
yechimini aniqlash talab qilinsin.
Bu yerda,
u(x), u(t),
berilgan funksiyalar; (1), (2) va (3) -lardan ko’rinib
turganidek, masalaning yechimi mavjud va birdan-bir. Endi,
u(x,t)
barcha zarur
hosilalarga ega deb faraz qilamiz.
Ayirmali sxema yasash uchun G sohani x va t koordinatalari bo’yicha mos
tarzda h=l/M,
=T/N bo’lgan to’g’ri to’rtburchak shaklida to’r yasaymiz:
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
to’r
sohasining
tugunlarida aniqlangan
U
h
funksiyani
izlaymiz.
U
h
funksiya
U
funksiyaning
ko’rinishidagi qiymati bo’ladi.
Endi
to’rda aniqlangan y(x,t)
funksiya
uchun
= y ( x
i
, t
k
)
belgilash kiritamiz.
Endi (1) tenglamani taqriblash uchun
va
hosilalarini
(ih, gk)
nuqtada
2
|
(4)
|
, (5)
|
, (6)
taqribiy formulalar bilan almashtiramiz. Ayirmali sxemani tuzish uchun (4) bilan
(6) ni (1) dagi hosilalarning o’rniga qo’yamiz va (2) va (3) dagi boshlang’ich va
chegaraviy shartarni approksimatsiya qilamiz. Natijada quyidagi ayirmali masala
paydo bo’ladi:
(
)
,
⃐⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
⃐⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
(7)
;
;
⃐⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
(8)
;
⃐⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
Agar (6) dagi k ni (k+1) ga almashtirib, natijani va (4)-ni (1) ga qo’ysak,
quyidagi ayirmali masalaga ega bo’lamiz:
(
)
,
⃐⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
⃐⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
; (9)
;
;
⃐⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
(10)
;
⃐⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
;
Bu yerda
sifatida quyidagi ifodalarning birini olish mumkin:
∫
∫
∫
Shunday qilib, (l) -(3) parabolik tenglamaning approksimatsiyasi sifatida biz,
(7),(8) va (9),( 10) ayirmali tenglamalarga ega bo’ldik.
Bazibir
L(u)=f
differensial tenglamaning
tugunida
L
h
(u
h
)= f
h
ayirmali masala bilan almashtirishda qatnashadigan qismi andoza deyiladi.
3
Yuqoridagi (8) va (9) ayirmali sxemalar 2-chizmada ko’rsatilgan andozalarga
(shablonlarga) mos keladi.
Bunda, a) ikki qatlamli aniq sxema;
b) ikki qatlamli aniq emas sxema;
Endi (7), (8) ayirmali sxemaning approksimatsiyasining tartibini
aniqlaymiz. Buning uchun (7) ga differensial tenglamaning aniq yechimini
qo’yamiz.
Ko’rinib turganidek,
|
|
( )
|
|
Shuning uchun ham
|
|
Agar
deb olsak, unda (7), (8) Ayirmali masala
approksimatsiya xatoligining tartibi
o(r+h
2
)
bo’ladi. Sababi, boshlang’ich va
chegaraviy shartlar aniq bajariladi. Shunga o’xshash ko’rsatish mumkin, (l)-(3)
masalaning (9),(10) ayirmali sxema bilan approksimatsiyasi tartibi
Shuni aytib o’tish kerak, (7), (8) va (9), (10) sxemalar (l)-(3) tenglamani bir
bir xil xatolik bilan approksimatsiya qilsa ham , ular o’rtasida katta o’zgachalik
4
mavjud. Haqiqatdan ham,(7)-dan quyidagi tenglik kelib chiqadi:
(11)
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
) bizga ma’lum bo’lganidan, birin-birin barcha
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
)
va boshqalarni aniqlash mumkin. Shunday qilib
,
funksiyalarni (11) formula
bo’yicha oshkor tarzda topish mumkin. Shuning uchun ham, (7),(9) sxema oshkor
deyiladi.
Endi (8)-tenglamani o’zgartirib, quyidagicha yozamiz:
(
)
⃐⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
) (12)
( )
( )
Barcha
⃐⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
) ma’lum bo’lganida, Bu qatnaslar
⃐⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
) noma’lumlarga qarata chiziqli algebraik tenglamalar sistemasidaan
iborat. Shuning uchun ham, (9),(10) sxema oshkor emas deyiladi. (12)-sistemani
quyidagicha yozish mumkin:
A
⃗ ⃑⃗
(13)
Bunda,
⃗
- noma’lum vektor,
A =
[
]
,
⃑⃗
vektorning koordinatalari bo’lsa
=
{
Bunda A matritsası uch diagonalli bo’lgani uchun (13)-sistemani haydash
usuli bilan yechish mumkin.
5
Endi (7), (8) va (9), (10) sxemalarni o’z ichiga olgan umumiy sxemani ko’rib
chiqamiz. Quyidagi
|
belgilashni kiritib, quyidagilarga ega bo’lamiz:
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
) (14)
Bu sxemada
[ ]
o’zgarmas son massa deyiladi.
Xususiy holda, (14)-dan
da (7)- va
da (9)- kelib chiqadi.
(14),(8) sxema massaviy sxema deyiladi. Bu sxema faqat
bo’lgandagina
oshkor sxema bo’ladi. 0<
<
1 bo’lganda oshkor emas bo’ladi. (9),(10) sxema
boshqa oshkor emas sxemalardan farqlanish uchun haqiqiy oshkor emas sxema
deyiladi.
Agar
bo’lsa, biz quyidagi 6 nuqtalı simmetrik sxema deb ataluvchi
sxemani tuzamiz:
(
)
Bu sxema 2-chizmadagi olti nuqtalı andoza bo’yicha
tuziladi. Endi (l)-(3) differensial masalani (14)-
ayirmali sxema bilan approksimasiya qilganda paydo
bo’ladigan xatolikni aniqlaymiz.
Buning uchun (14)-masalaning yechimini
ko’rinishida
yozamiz, bu yerda
u(x,t)
funksiya (1),(3) differensial masalaning aniq yechimi.
Xatolik uchun quyidagi tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:
(
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )
,
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
(
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )
(16)
6
Tenglikning o’ng tarafida qatnashgan
túrdagi funksiya quyidagiga teng:
|
|
Bu funksiya (1),(3) masala yechimidagi (14)-sxema approksimatsiyasining
xatoligi. Bu xatolik tartibini aniqlash uchun (17)-ifodada qatnashadigan barcha
funksiyalarni
(
)
nuqta atrofida Teylor qatoriga yoyamiz:
|
(
⁄
)
|
(
)
|
(
⁄
)
|
|
(
⁄
)
|
(
⁄
)
[
]|
(
⁄
)
Shunga o’xshash
|
[
]|
(
⁄
)
Bu ifodalarni (17)-ga qo’ysak
[
]|
(
⁄
)
quyidagi tenglikni keltirib chiqaramiz. Endi
dan foydalansak, unda
(
⁄ ) [
]|
(
⁄
)
kelib chiqadi.
Demak,
⁄
deb olsak, unda
agar,
bo’lsa va
teng bo’ladi, agar
bo’lsa.
7
Shuning bilan, (15)-olti nuqtalı simmetrik sxema
uchun
teng.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
