Yordamida ifodalanishi

---

AYLANMA SIRT YUZASI TA`RIFI VA UNING ANIQ INTEGRAL
YORDAMIDA IFODALANISHI 
Reja: 
1.
 
Aylanma sirt yuzasi ta’rifi. 
2.
 
Aylanma sirt yuzini aniq integral yordamida hisoblash 
 
Aylanma sirt yuzini hisoblash.
Aytaylik, 
( )
f x
funksiya 
[ ; ]
a b
kesmada 
aniqlangan, nomanfiy, va uzluksiz hosilaga ega bo‘lsin. Uning grafigi bo‘lgan 
AB
egri chiziqni 
Ox
o‘qi atrofida aylantirish natijasida aylanma sirt hosil bo‘ladi (21-
rasm). Shu sirtning yuzini aniq integral yordamida aniqlaymiz. Buning uchun 
[ ; ]
a b
ning biror bo‘linishini olamiz: 
0
1
1
...
...
k
k
n
a
x
x
x
x
x
b


  

 

. 
Bo‘linish nuqtalaridan 
Oy
o‘qqa paralel to‘g‘ri chiziqlarni o‘tkazib, ularni 
AB
yoygacha davom ettiramiz. Buning natijasida 
AB
yoy ham 
N
k
(x
k
;f(x
k
))
nuqtalar yordamida 
n
ta bo‘lakka bo‘linadi. Endi 
A=N
0
, N
1
, …,N
n
=B
nuqtalarni 
ketma-ket tutashtirib, siniq egri chiziq hosil qilamiz. 
 
21-rasm 

---

AB
yoyni 
Ox
o‘qi atrofida aylantirish natijasida hosil bo‘ladigan aylanma 
sirtning yuzi deb siniq chiziqni 
Ox
o‘qi atrofida aylantirishdan hosil bo‘ladigan 
sirt yuzining 
N
k-1
N
k
vatarlar eng kattasining uzunligi nolga intilgandagi limitini 
qabul qilamiz. 
Ma’lumki,
2
2
1
1
1
(
)
( (
)
(
))
k
k
k
k
k
k
N
N
x
x
f x
f x







vatar uzunligi nolga intilganda 
0
k
x
 
va aksincha. Shuning uchun kelgusida 
limitni 
1
max
0
k
k n
x

 

 
uchun ko‘rib o‘tamiz. 
N
k-1
N
k
vatarni 
Ox
o‘qi atrofida aylantirganda kesik konus 
sirti hosil bo‘ladi va uning yuzi 
1
1
2
(
)
2
( )
2
k
k
k
k
k
f x
f x
S
N
N






Shu tarzda hosil qilingan yuzlarning 
n
tasini qo‘shsak, siniq chiziq 
yordamida hosil qilingan sirt yuzi 
P
n
kelib chiqadi: 
1
1
1
(
)
(
)
2
,
2
n
k
k
n
k
k
k
k
k
f x
f x
P
l
l
N
N







 

. 
Uni boshqacha ko‘rinishda yozish mumkin: 
1
1
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
(
),
2
2
n
n
k
k
k
k
n
k
k
k
k
k
f x
f x
f x
f x
P
s
s
l









 
  


bunda 
k
s

mos ravishda 
N
k-1
va 
N
k
nuqtalar orasidagi yoy uzunligi. 
Ma’lumki, 
0
k
x
 
da 
0
k
s
 
Shuningdek, 
1
(
)
( )
2
k
k
f x
f x


bo‘linma 
1
(
)
k
f x

va 
( )
k
f x
lar orasidagi son bo‘lib, 
f(x)
funksiya uzluksiz bo‘lganidan, 
shunday 
1
(
;
)
k
k
k
x
x



mavjudki, 
1
(
)
( )
( )
2
k
k
k
f x
f x
f





---

bo‘ladi. 
max ( )
a x b
M
f x
 

deb belgilaylik. 
0


da 
P
n
ning tarkibidagi ikkinchi 
qo‘shiluvchi 
1
1
1
1
1
1
(
)
(
)
0
2
(
)
2
(
)(
)
2
2
(
)
2
0,
n
n
k
k
k
k
k
k
k
k
k
n
n
n
k
k
k
k
k
k
k
f x
f x
s
l
f
s
l
M
s
l
M
s
l













  

   



  

 











chunki 
0
1
1
lim
n
n
k
k
k
k
l
s
L




 
 


(yuqoridagi shartlarda 
AB
yoyning to‘g‘rilanuvchiligi nazarda tutilgan). 
Demak,
0
0
1
lim
2 lim
(
)
2
( )
b
n
n
k
k
k
a
P
f
s
f x ds









 


bo‘ladi, ya’ni aylanma sirtning yuzi
2
2
( )
2
( ) 1
( )
b
b
a
a
S
f x ds
f x
f x dx








formula bilan ifodalanadi. 
Agar to‘g‘rilanuvchi yoy tenglamasi
( ),
( )
x
t
y
t




 

(
)
t


 
parametrik 
ko‘rinishda berilgan bo‘lib, 
( )
t

va 
( )
t

lar uzluksiz hosilalarga ega bo‘lsa, u 
holda sirtning yuzi
2
2
2
( )
( )
( )
a
S
t
t
t dt

 







bo‘ladi. Shunga o‘xshash, agar egri chiziq
( ),
r
f
   

 
tenglama bilan berilgan bo‘lib, 
( )
f


uzluksiz funksiya bo‘lsa,
2
2
2
( )sin
( )
( )
a
S
f
f
f
d












---

formulani keltirib chiqaramiz. 
Misol
. Radiusi 
R
bo‘lgan sfera sirtining yuzini toping. 
Yechish
. I usul. Aylana tenglamasi parametrik ko‘rinishda quyidagicha 
yoziladi: 
cos ,
sin , 0
2
x
R
t
y
R
t
t



 
 

chorak aylanani 
Ox
o‘qi atrofida aylantirish natijasida yarim sfera hosil bo‘ladi. 
Bu holda 0
2
t

 
bo‘ladi, shuning uchun 
2
2
2
2
2
2
2
0
0
2
sin
(
sin )
( cos )
2
sin
2
cos
2
2
2
0
S
R
t
R
t
R
t dt
R
tdt
R
t
R











 



. 
Demak, 
2
4
S
R


. 
II 
usul. 
Qutb 
koordinatalar 
sistemasida 
aylana 
tenglamasi 
, 0
2
r
R



 
. Shuning uchun
2
2
2
2
2
2
2
0
0
2
sin
0
2
sin
2
,
4
.
2
S
R
R
d
R
d
R
S
R






 








