Integral Calculus Formula Sheet

Integral Calculus Formula Sheet 

Derivative Rules: 

 

0

d c

dx



 

 

1

n

n

d x nx

dx





 

 





sin

cos

d

x

x

dx







sec

sec tan

d

x

x

x

dx







2

tan

sec

d

x

x

dx



 





cos

sin

d

x

x

dx

 





csc

csc cot

d

x

x

x

dx

 





2

cot

csc

d

x

x

dx

 

 

 

ln

x

x

d

a

a

a

dx



 

 

x

x

d

e

e

dx



 

 





 





d

d

cf x

c

f x

dx

dx



 

 

 





 





 





d

d

d

f x

g x

f x

g x

dx

dx

dx







   





f g

f g f g











  

 

2

f g fg

f

g

g







 





 

 

 

 









 





 







d f g x

f g x g x

dx

 

 

Properties of Integrals: 

( )

( )

kf u du

k f u du







 





( )

( )

( )

( )

f u

g u du

f u du

g u du













 

( )

0

a

a

f x dx





 

( )

( )

b

a

a

b

f x dx

f x dx

 





 

( )

( )

( )

c

b

c

a

a

b

f x dx

f x dx

f x dx











 

1

( )

b

ave

a

f

f x dx

b

a







 

0

( )

2

( )

a

a

a

f x dx

f x dx









 if f(x) is even 

( )

0

a

a

f x dx







 if f(x) is odd 

( )

( )

( ( ))

( )

( )

f b

b

a

f a

g f x f x dx

g u du









 

udv

uv

vdu









 

 

Integration Rules: 

du

u

C

 



 

1

1

n

n

u

u du

C

n











 

ln

du

u

C

u







 

u

u

e du

e

C







 

1

ln

u

u

a du

a

C

a







 

sin

cos

u du

u

C

 





cos

sin

u du

u

C







2

sec

tan

u du

u

C







2

csc

cot

u

u

C

 





csc cot

csc

u

u du

u

C

 





sec tan

sec

u

u du

u

C







 

2

2

1

arctan

du

u

C

a

u

a

a

 





 



 



2

2

arcsin

du

u

C

a

a

u

 





 

 





2

2

1

sec

u

du

arc

C

a

a

u u

a

 





 



 



 

 

Fundamental Theorem of Calculus: 

 

 

 

'







x

a

d

F

x

f t dt

f x

dx

 

where 

 

f t

 is a continuous function on [a, x]. 

 

 

 







b

a

f x dx

F b

F a , 

where F(x) is any antiderivative of f(x).

 

 

Riemann Sums: 

1

1

n

n

i

i

i

i

ca

c

a











1

1

1

n

n

n

i

i

i

i

i

i

i

a

b

a

b







 





 

 

1

( )

lim

(

)

b

n

n

i

a

f x dx

f a i x

x







  





 

n

a

b

x







 

1

1

n

i

n







 

1

(

1)

2

n

i

n n

i









 

2

1

(

1)(2

1)

6

n

i

n n

n

i











 

2

3

1

(

1)

2

n

i

n n

i









 









 



 



height of  th rectangle

width of  th rectangle

i

i

i





 

Right Endpoint Rule: 























n

i

n

a

b

n

a

b

n

i

i

a

f

x

x

i

a

f

1

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

)

(

 

Left Endpoint Rule: 

(

)

(

)

1

1

(

(

1)

)(

)

(

) (

(

1)

)

n

n

b a

b a

n

n

i

i

f a

i

x

x

f a

i









    

 





 

Midpoint Rule: 









(

1)

(

)

(

1)

(

)

2

2

1

1

(

)(

)

(

) (

)

n

n

i

i

b a

i

i

b a

n

n

i

i

f a

x

x

f a

 



 









  







 

 

Net Change: 

Displacement: 

( )

b

a

v x dx



 

Distance Traveled: 

( )

b

a

v x dx



 

0

( )

(0)

( )

t

s t

s

v x dx







 

0

( )

(0)

( )

t

Q t

Q

Q x dx









 

Trig Formulas: 





2

1

2

sin ( )

1 cos(2 )

x

x





 

sin

tan

cos

x

x

x



 

1

sec

cos

x

x



 

cos(

)

cos( )

x

x

 

 

2

2

sin ( ) cos ( )

1

x

x









2

1

2

cos ( )

1 cos(2 )

x

x





 

cos

cot

sin

x

x

x



 

1

csc

sin

x

x



 

sin(

)

sin( )

x

x

  

 

2

2

tan ( ) 1 sec ( )

x

x

 

 

Geometry Fomulas: 

Area of a Square: 

2

A

s



 

Area of a Triangle: 

1

2

A

bh



 

Area of an 

Equilateral Trangle:

2

3

4

A

s



 

Area of a Circle: 

2

A

r





 

Area of a 

Rectangle: 

A

bh



 

 

 

Areas and Volumes: 

Area in terms of x (vertical rectangles): 

(

)

b

a

top bottom dx





 

Area in terms of y (horizontal rectangles): 

(

)

d

c

right

left dy





 

General Volumes by Slicing: 

Given: Base and shape of Cross‐sections 

( )

b

a

V

A x dx





 if slices are vertical 

( )

d

c

V

A y dy





 if slices are horizontal 

 

Disk Method: 

For volumes of revolution laying on the axis with 

slices perpendicular to the axis 





2

( )

b

a

V

R x

dx







 if slices are vertical 





2

( )

d

c

V

R y

dy







 if slices are horizontal 

Washer Method: 

For volumes of revolution not laying on the axis with 

slices perpendicular to the axis 









2

2

( )

( )

b

a

V

R x

r x

dx











 if slices are vertical 









2

2

( )

( )

d

c

V

R y

r y

dy











 if slices are horizontal 

Shell Method: 

For volumes of revolution with slices parallel to the 

axis 

2

b

a

V

rhdx







 if slices are vertical 

2

d

c

V

rhdy







 if slices are horizontal 

 

Physical Applications: 

Physics Formulas 

Associated Calculus Problems 

Mass: 

Mass = Density * Volume      (for 3‐D objects) 

Mass = Density * Area           (for 2‐D objects) 

Mass = Density * Length       (for 1‐D objects) 

Mass of a one‐dimensional object with variable linear 

density: 



(

)

( )

b

b

distance

a

a

Mass

linear density

dx

x dx











 

 

Work: 

Work = Force * Distance 

Work = Mass * Gravity * Distance   

Work = Volume * Density * Gravity * Distance 

Work to stretch or compress a spring (force varies): 



'

(

)

( )

b

b

b

Hooke s Law

a

a

a

for springs

Work

force dx

F x dx

kx

dx













 

Work to lift liquid: 

(

)(

)(

) (

)

9.8* * ( ) * (

)

(

)

d

c

volume

d

c

Work

gravity density distance area of a slice dy

W

A y

a

y dy

in metric



















Force/Pressure: 

Force = Pressure * Area 

Pressure = Density * Gravity * Depth 

Force of water pressure on a vertical surface: 

(

)(

)(

) (

)

9.8* * (

) * ( )

(

)

d

c

area

d

c

Force

gravity density depth width dy

F

a

y

w y dy

in metric















 

 

Integration by Parts: 

 

Knowing which function to call u and which to call dv takes some practice.  Here is a general guide: 

 

 

u 

 

Inverse Trig Function  

(

1

sin

, arccos ,

x

x



etc

) 

 

 

 

 

Logarithmic Functions  

(

log 3 , ln(

1),

x

x

 etc

) 

 

 

 

 

Algebraic Functions  

(

3

,

5,1 / ,

x x

x



etc

) 

 

 

 

 

Trig Functions  

 

(

sin(5 ), tan( ),

x

x

etc

) 

 

 

dv 

 

Exponential Functions  

(

3

3

, 5 ,

x

x

e

etc

) 

Functions that appear at the top of the list are more like to be u, functions at the bottom of the list are more like to be dv. 

 

Trig Integrals: 

Integrals involving sin(x) and cos(x): 

Integrals involving sec(x) and tan(x): 

1.  If the power of the sine is odd and positive: 

Goal:  

cos

u

x



 

i.  Save a 

sin( )

du

x dx



   

ii.  Convert the remaining factors to 

cos( )

x

(using 

2

2

sin

1 cos

x

x

 

.)   

1.  If the power of  

sec( )

x

is even and positive:  

Goal:

tan

u

x



 

i.  Save a 

2

sec ( )

du

x dx



   

ii.  Convert the remaining factors to 

tan( )

x

 (using 

2

2

sec

1

tan

x

x

 

.)   

2.  If the power of the cosine is odd and positive:

Goal:

sin

u

x



 

i.  Save a 

cos( )

du

x dx



 

ii.  Convert the remaining factors to 

sin( )

x

(using 

2

2

cos

1 sin

x

x

 

.)   

2.  If the power of 

tan( )

x

is odd and positive: 

Goal:

sec( )

u

x



 

i.  Save a 

sec( ) tan( )

du

x

x dx



 

ii.  Convert the remaining factors to 

sec( )

x

 (using 

2

2

sec

1

tan

x

x

 

.)   

3.  If both  sin( )

x

 and  cos( )

x

have even powers: 

Use the half angle identities:  

i. 





2

1

2

sin ( )

1 cos(2 )

x

x





              

ii. 





2

1

2

cos ( )

1 cos(2 )

x

x





 

 

If there are no sec(x) factors and the power of 

tan(x) is even and positive, use 

2

2

sec

1

tan

x

x

 

to convert one 

2

tan x

to 

2

sec x

 

 

Rules for sec(x) and tan(x) also work for csc(x) and 

cot(x) with appropriate negative signs

If nothing else works, convert everything to sines and cosines. 

 

Trig Substitution: 

Expression 

Substitution 

Domain 

Simplification 

2

2

a

u



 

sin

u

a





 

2

2







  

 

2

2

cos

a

u

a







 

2

2

a

u



 

tan

u

a





 

2

2







  

 

2

2

sec

a

u

a







 

2

2

u

a



 

sec

u

a





 

0

,

2



  

 



 

2

2

tan

u

a

a







 

 

 

Partial Fractions: 

Linear factors: 

Irreducible quadratic factors:

2

1

1

1

1

1

1

( )

...

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

m

m

m

P x

A

B

Y

Z

x r

x r

x r

x r

x r







 













 

2

2

2

2

2

1

2

1

1

1

1

1

( )

...

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

m

m

m

P x

Ax

B

Cx

D

Wx

X

Yx

Z

x

r

x

r

x

r

x

r

x

r















 













 

If the fraction has multiple factors in the denominator, we just add the decompositions.