13-ma‟ruza Tasodifiy miqdor tushunchasi. Diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonuni. Uzluksiz tasodifiy miqdor ehtimollarining taqsimot funksiyasi. Uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi

1-Teorema

. Taqsimotning zichlik funksiyasi quyidagi xossalarga ega: 

1) 

 { 

 

       

 

}    

 

 

 

 

      

; 

2) 

 

  

  

          

; 

3) Zichlik funksiya uzluksiz bo’lgan nuqtalarda  

 {              }          

 

►1) Taqsimot funksiyasining 4-xossasiga binoan 

 { 

 

       

 

}      

 

       

 

  

 

Bundan  esa  uzluksiz  tasodifiy  miqdorning  ta’rifiga  va  xosmas  integralning  xossalariga 

ko’ra 

   

 

       

 

     

 

 

  

          

 

 

  

          

 

 

 

 

       

 

2) Xususiy holda 

 

 

    

 va 

 

 

    

 bo’lganda 

{ 

 

       

 

}

 hodisa muqarrar bo’ladi 

va shu sababli ikkinchi tasdiq o’rinli. 

3) Taqsimot funksiyasining 4-xossasiga binoan 

 {              }                            

 

Differensiallanuvchi  funksiyaning  orttirmasi  yetarli  kichik

  

 larda  uning  differensialiga 

teng: 

                 

 

      

◄ 

Ayrim uzluksiz  tasodifiy miqdorlar 

Biz quyida amaliyotda ko’p uchraydigan ayrim uzluksiz tasodifiy miqdorlarni qarab 

chiqamiz.  Bu  yerda  keltiriladigan

    

 funksiyalar  taqsimot  funksiyasi  bo’lishi  o’tgan 

mavzudagi 1-Mulohazadan kelib chiqadi va uni tekshirib o’tirmaymiz. 

Tekis taqsimot.

 Agar tasodifiy miqdor taqsimotining zichlik funksiyasi 

       {

 

     

                          

                                 

 

𝑦   𝑓 𝑥 

 

𝐹 𝑥

 

 

 

𝑥

 

 

𝑥

 

𝑦

 

 

 

1-rasm 

---

111 

 

tenglik  bilan  berilsa,  bunday  tasodifiy  miqdorni 

[    ]

 kesmada 

tekis  taqsimlangan 

tasodifiy miqdor

 deb ataymiz. 

 

    

taqsimot funksiyasini (1) formulaga ko’ra topamiz. Agar 

     

 bo’lsa,  

        

 

  

          

 

  

       

, 

agar 

         

 bo’lsa, 

        

 

  

          

 

  

       

 

 

 

     

    

     

     

  

 

va nihoyat 

     

 bo’lsa, 

        

 

  

          

 

  

       

 

 

 

     

      

 

 

       

 

bo’ladi. Shunday qilib ularni umumlashtircak 

       {

                     

     

     

              

                    

 

taqsimot funksiyasini hosil qilamiz. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tekis  taqsimlangan  tasodifiy  miqdor 

    

 zichlik  funksiyasi  va 

    

 taqsimot 

funksiyasining grafiklari 2 va 3-rasmlarda berilgan. 

 

Tekis  taqsimlangan  tasodifiy  miqdorning 

[    ]

 kesmaning  ichida  yotgan 

  

 

   

 

 

 

oraliqqa  tushish  ehtimoli 

   

 

       

 

      

 

   

 

         

 tenglik  bilan  aniqlanadi, 

ya’ni  bu  ehtimol   

  

 

   

 

 

 oraliq  uzunligiga  proporsional.  Demak  tekis  taqsimot  nuqtani 

[    ]

 kesmaga tashlanganda hisoblanadigan geometrik ehtimol bilan bir xil ekan. 

Eksponensial taqsimot.

 Agar tasodifiy miqdor taqsimotining zichlik funksiyasi 

       {

                    

  

   

         

 

tenglik  bilan  aniqlansa,  bunday  tasodifiy  miqdor 

eksponensial

  (

ko’rsatkichli

) 

qonun 

bo’yicha  taqsimlangan  tasodifiy  miqdor  deb  ataladi,  bu  yerda 

       

eksponensial 

taqsimotning parametri. 

 

Eksponensial  qonun  bo’yicha  taqsimlangan  tasodifiy  miqdorning  taqsimot 

funksiyasini (1) formula bo’yicha topamiz. Agar 

     

  bo’lsa, 

𝑓 𝑥 

 

 

𝑏   𝑎

 

𝑎

 

𝑏

 

𝑥

 

 

 

2-rasm 

𝑎

 

𝑏

 

𝑥

 

 

 

 

 

𝐹 𝑥 

 

3-rasm 

---

112 

 

        

 

  

          

 

  

        

 

va agar 

     

 bo’lsa, 

        

 

  

          

 

  

       

 

 

  

   

       

   

|

 

 

       

   

 

bo’ladi. Ularni umumlashtirib 

       {

                         

     

   

         

 

taqsimot funksiyasining formulasini hosil qildik. 

Eksponensial  taqsimlangan  tasodifiy  miqdor 

    

 zichlik  funksiyasi  va 

    

 

taqsimot funksiyasining grafiklari 4 va 5-rasmlarda berilgan. 

Eksponensial  taqsimlangan  tasodifiy  miqdor  faqat  musbat  qiymatlarni  qabul  qilishi 

mumkin. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Eksponensial  taqsimot  bilan  Puasson  taqsimoti  bir-biriga  bog’liq.  Agar  birorta 

hodisaning  ketma-ket  yuz  berishlari  orasidagi  vaqt  oraliqlari  o’zaro  bog’liq  bo’lmagan 

eksponensial  taqsimlangan  (bir  xil 

 

 parametrli)  tasodifiy  miqdor  bo’lsa,  u  holda  bu 

hodisaning 

 

 vaqt  oralig’ida  yuz  berishlari  soni 

  

 parametrli  Puasson  taqsimotli  diskret 

tasodifiy miqdor bo’ladi. 

Normal taqsimot 

Taqsimotning zichlik funksiyasi 

 

   

     

 

 √  

 

 

     

 

  

 

 

                    

 

ko’rinishga  ega  bo’lgan  tasodifiy  miqdor 

normal

  (

gauss

) 

qonuni 

bo’yicha  taqsimlangan 

tasodifiy miqdor deyiladi.  

 

Bu  funksiya  uchun  zichlikning  2-xossasi  bajarilishini  tekshiramiz.  Buning  uchun 

Puasson integrali deb ataluvchi 

 

 

  

 

  

 

     √ 

 

integraldan foydalanamiz: 

 

 

  

 

 √  

 

 

     

 

  

 

     |

   

     

√  

       √    

                            

|  

√  

 √  

 

 

  

 

  

 

    

 

4-rasm 

𝑓 𝑥 

 

𝑥

 

  

 

𝜆

 

5-rasm 

𝑥

 

  

 

 

 

𝐹 𝑥 

4-

---

113 

 

 

 

√ 

√      

 

 

 

   

   

funksiyaning  boshlang’ichini  elementar  funksiyalar  orqali  ifodalab 

bo’lmaydi. Shuning uchun normal taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi 

 

   

     

 

 √  

 

 

  

 

 

     

 

  

 

  

 

ko’rinishda bo’ladi. 

 

 

 va 

 

 parametrlarning  turli  qiymatlarida  normal  taqsimotning 

 

   

   

 zichlik 

funksiyasi va 

 

   

   

 taqsimot funksiyasining grafiklari 6 va 7-rasmlarda keltirilgan.

 

Rasmlardan  ko’rinib  turibdiki, 

 

parametr  normal  taqsimot  zichlik  funksiyasining 

simmetriya  markazini  aniqlar  ekan,  ya’ni  normal  taqsimot  zichlik  funksiyasining  grafigi 

     

 to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik bo’ladi, 

   

esa tasodifiy miqdor qiymatlarining 

simmetriya  markaziga  nisbatan  sochilishini  aniqlar  ekan.  Agar 

     

 va 

     

 bo’lsa, 

taqsimot 

normal  standart  taqsimot 

deb  ataladi  va  taqsimot  funksiyasini 

    

 orqali, 

zichlik funksiyasini esa 

    

 orqali belgilanadi. Standart normal taqsimot funksiyasini va 

zichligini Muavr-Laplasning lokal va integral formulalarida ko’rgan edik. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 va 

 

 parametrli  normal  taqsimlangan  tasodifiy  miqdorni 

     [    ]

 orqali 

belgilaymiz. 

Bir  o’zgaruvchili  funksiyalarning  integral  kursidan  ma’lumki

   

  

 

  

  

 integralni 

elementar  funksiyalar  orqali  ifodalab  bo’lmaydi.  Shuning  uchun  ko’pgina  oily 

matematikaga  oid  adabiyotlarda  standart  normal  taqsimot  funksiyasining  qiymatlari 

berilgan.  2-ilovadan  foydalanib  ixtiyoriy 

 

 va 

 

 parametrli  normal  qonun  bo’yicha 

taqsimlangan tasodifiy miqdorning 

      

 oraliqga tushish ehtimolini topishni ko’rsatamiz. 

Taqsimot  zichlik  funksiyasining  1)  xossasiga  binoan 

 

 va 

 

 parametrli  normal 

qonun bo’yicha taqsimlangan 

 

 tasodifiy miqdorning 

      

 intervalga tushish ehtimoli 

 {         }    

 

 

 

   

       

 

 √  

 

 

 

 

 

     

 

  

 

  

 

tenglik bilan aniqlanadi. Bu yerda

             

 almashtirish olsak, so’ngi integralni 

6-rasm 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

𝜑

𝑚 𝜎

 𝑥 

 

𝑥

 

𝑚     

 

𝜎      

 

𝑚    

 

𝜎    

 

𝑚    

 

𝜎    

 

7-rasm 

𝑚     

 

𝜎      

 

   

𝑚    

 

𝜎    

 

   

𝑚    

 

𝜎    

 

   

 

 

𝑥

 

 

 

  

 

  

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

𝑚 𝜎

 𝑥 

 

---

114 

 

 {         }  

 

       

       

 

√  

 

  

 

  

    

 

       

       

      

 

ko’rinishda yozish mumkin. Bundan esa oxirgi asosiy 

 {         }    

 

               

 

           

                (3) 

formulani hosil qilamiz. 

Veybulla taqsimoti.

 Agar tasodifiy miqdor ehtimollarining zichlik funksiyasi 

       {

                                                                 

   

   

 

   

 

                           

 

ko’rinishda  bo’lsa,  bunday  tasodifiy  miqdor 

Veybulla  qonuni

  bo’yicha  taqsimlangan 

deyiladi. Bu tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi 

       {

                                                         

     

   

 

                           

 

ko’rinishda bo’lishini oson tekshirish mumkin. 

 

Veybulla  taqsimotlari  oilasi  ikki 

      

parametrli  bo’lib,  ular  musbat  tasodifiy 

miqdorlarni aniqlaydi. 

 

Ko’pgina  texnik  jihozlarning  buzilmasdan  ishlash  vaqti  Veybulla  taqsimotiga 

bo’ysinadi. Agar 

     

 bo’lsa, Veybulla taqsimoti eksponensial taqsimotga aylanadi.  

     

 bo’lganda 

       {

                                            

    

   

 

                    

 

Releya taqsimotiga ega bo’lamiz. 

Gamma-taqsimot.

  Ko’pgina  texnik  jihozlarning  buzilmasdan  ishlash  vaqtini 

tasvirlovchi boshqa bir taqsimot 

gamma-taqsimot

 bo’lib, uning zichlik funksiyasi 

       {

                                                      

 

 

 

 

  

  

 

 

 

   

                    

 

    

 

ko’rinishda bo’ladi, bu yerda 

  

 

     

  

 

 

 

 

  

  

 

bo’lib,  u  Eyler  gamma-funksiasi  deb  ataladi.  Bu  funksiya  ushbu  muhim  xossalarga  ega: 

  

 

      

 

  

 

 

 va butun 

 

 uchun 

               

 bo’ladi. 

 

 

     

natural  son  bo’lsa, 

   

tartibli 

Erlang  taqsimotini

  hosil  qilamiz.  Agar 

 

     

, 

   

toq son va 

       

 bo’lsa, matematik statistikada juda ko’p qo’llaniladigan 

       {

                                              

 

 

   

      

 

 

   

 

 

 

 

         

 

 

 

 (

xi  kvadrat

)  taqsimotni  hosil  qilamiz,  bu  yerda 

   

parametr 

 

 

 

taqsimotning  erkinlik 

darajasi

  deb  ataladi.  Nihoyat, 

 

   

 bo’lsa,  yuqorida  qaralgan  eksponensial  taqsimotni 

hosil qilamiz. 

---

115 

 

1-Misol

. 

 

 tasodifiy miqdor taqsimotining zichlik funksiyasi 

       {

                      

                        

 

tenglik bilan berilgan bo’lsa, 

1)

 

 

 koeffisiyentni toping; 

2)

 

    

 taqsimot zichlik funksiyasining grafigini yasang; 

3)

 

    

 taqsimot funksiyasini toping va uning grafigini yasang; 

4)

 

  

 tasodifiy miqdorning 

        

 oraliqqa tushish ehtimolligini toping. 

►1. 

 

 koeffisiyentni topish uchun zichlik funksiyasining 2-xossasidan foydalanamiz: 

 

  

  

          

   

    

                     

 

va bundan 

       

 qiymatni topamiz. 

2. 

    

 taqsimot zichlik funksiyasining grafigi 8-rasmda tasvirlangan. 

3. 

    

 taqsimot funksiyasini (1) formulaga ko’ra topamiz: 

agar 

        

 bo’lsa,  

        

 

  

          

 

  

       

; 

agar 

         

 bo’lsa, 

        

 

  

          

    

  

       

 

    

 

 

             

 

 

            

 

agar 

       

 bo’lsa, 

        

 

  

          

    

  

       

   

    

 

 

               

 

   

       

 

bo’ladi. Bu uchta ifodani birlashtirib taqsimot funksiyasining 

      

{

 

 

 

                                  

 

 

 

 

 

                    

 

 

 

                          

 

 

 

formulasini hosil qilamiz, uning grafigi 9-rasmda tasvirlangan. 

4. 

 

 tasodifiy  miqdorning 

        

 oraliqqa  tushish  ehtimolligini  taqsimot  funksiyasining 

4-xossasiga binoan topamiz: 

  ,       

 

 

-     (

 

 

)         

 

 

  .(   

 

 

   )              /  

√ 

 

 

 

 

 

---

116 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8-rasm 

 𝑥

 

 

𝜋

 

 

 

𝜋

 

 

𝜋

 

 

𝜋

 

 

   

 

𝑓 𝑥 

 

𝑥

 

9-rasm 

  

 

 

𝜋

 

 

 

𝜋

 

 

𝜋

 

 

𝜋

 

 

𝑥

 

𝐹 𝑥