|
3.2 – rasm.
41
3.3 – rasm.
[ ]
p
r
L
r
r
r
⋅
=
.
(3.3)
L vektorining yo‘nalishini, M ga o‘xshab
o‘ng vint qoidasi asosida topiladi. 0 nuqtaga
joylashtirilgan
o‘ng
vint
r
r
dan
R
yo‘nalishiga burilganda vintning ilgarilanma
harakati
L
r
ning yo‘nalishini ko‘rsatadi
L
r
ning modulini
lp
p
r
p
r
L
=
=
)
sin(
r
r
(3.4)
deb yozish mumkin.
3.2- . Qattiq jismning aylanish o‘qiga nisbatan inersiya momenti.
Shteyner teoremasi
Qattiq jismning aylanma harakatini o‘rganishda inersiya
momenti tushunchasidan foydalanamiz. Qattiq jism i-elementar
bo‘lakchasining massasi (
∆
m
i
) bilan aylanish o‘qidan 0 nuqtagacha
bo‘lgan masofa (r
i
) kvadratining ko‘paytmasi
2
i
i
Zi
r
m
I
∆
=
(3.5)
ni i - elementar bo‘lakchaning OZ o‘qqa nisbatan inersiya momenti deb
ataladi (3.1-rasm). n-ta elementar bo‘lakchalardan tashkil topgan
sistemaning inersiya momenti elementar inersiya momentlarining
yig‘indisiga teng, ya’ni
∑
=
∆
=
n
i
i
i
Z
r
m
I
1
2
(3.6)
SI da inersiya momenti kg
.
m
2
(kilogramm-metr kvadrat) larda
o‘lchanadi. Qattiq jism uchun (3.6) ni quyidagicha yozish mumkin:
∫
=
V
dm
r
I
2
(3.7)
Integral qattiq jism egallagan butun hajm bo‘yicha olinadi. Jismning
berilgan nuqtadagi zichligi
ρ
= const, ya’ni jism bir jinsli bo‘lsa,
∫
=
V
dV
r
I
2
ρ
(3.8)
hosil bo‘ladi.
42
(3.8) ifoda har qanday qattiq jismning istalgan o‘qqa nisbatan
inersiya momentini aniqlash imkoniyatini beradi. Misol tariqasida ba’zi
jismlarning inersiya momentlarini aniqlashni ko‘raylik.
1. Devori juda yupqa trubaning halqa markazidan o‘tgan o‘qqa
nisbatan inersiya momenti
2
R
m
I
=
2. Devorlari qalin trubaning markazidan o‘tgan o‘qqa nisbatan
inersiya momenti
(
)
2
2
2
1
2
1
R
R
m
I
+
=
Trubaning R
1
va R
2
ichki va tashqi devorlarining radiuslari.
3. Butun silindr (disk) ning markazidan o‘tgan o‘qqa nisbatan
inersiya momenti
2
2
1
R
m
I
=
4. Butun sharning massalar markazidan o‘tuvchi o‘qqa nisbatan
inersiya momenti
2
5
2
R
m
I
=
5. Sferaning massalar markazidan o‘tuvchi o‘qqa nisbatan
inersiya momenti
2
3
2
R
m
I
=
6. l - uzunlikdagi ingichka sterjenning uzunligiga tik va massalar
markazidan o‘tuvchi OZ o‘qqa nisbatan inersiya momenti (3.4-rasm).
2
12
1
l
m
I
=
3.4 – rasm.
3.5 – rasm.
43
7.
l
uzunlikdagi ingichka sterjenning uzunligiga tik va uning bir uchidan
o‘tuvchi OZ o‘qqa nisbatan inersiya momenti (3.5-rasm).
2
3
1
l
m
I
=
Agar berilgan jismning massalar markazidan o‘tuvchi o‘qqa
nisbatan inersiya momenti aniqlangan bo‘lsa, bu o‘qqa parallel istalgan
o‘qqa nisbatan inersiya momenti aniqlash uchun Shteyner teoremasidan
foydalanamiz. U quyidagicha ta’riflanadi: berilgan jismning istalgan
o‘qqa nisbatan inersiya momenti, I shu o‘qqa parallel va S - jism
massalar markazidan o‘tuvchi o‘qqa nisbatan inersiya momenti I
c
bilan jism massasining o‘qlar orasidagi masofa kvadratiga
ko‘paytmasining yig‘indisiga teng:
2
a
m
I
I
c
+
=
(3.9)
3.3- . Aylanma harakat qilayotgan qattiq jismning kinetik
energiyasi
3.1-rasmga qarasak OZ o‘q atrofida aylanayotgan qattiq jismning
biror i-bo‘lakchasining kinetik energiyasi
2
2
i
i
ki
m
W
υ
∆
=
∆
(3.10)
tenglama bilan ifodalanishini bilamiz. Bu yerda
∆
m
i
va
υ
i
- mos
ravishda i-bo‘lakchaning massasi va chiziqli tezligidir. Chiziqli tezlik
bilan burchakli tezlik o‘rtasidagi bog‘lanishni eslasak (
υ
i
=
ω
r
i
) va buni
(3.10) ga qo‘ysak
2
2
2
ω
i
i
ki
r
m
W
∆
=
∆
(3.11)
hosil qilamiz.
Qattiq jism kinetik energiyasi uni tashkil etuvchi hamma
bo‘lakchalar kinetik energiyalarining yig‘indisidan iborat
∑
∑
∆
=
∆
=
2
2
2
1
i
i
ki
k
r
m
W
W
ω
(3.12)
(3.6) ga asosan
z
i
i
I
r
m
=
∆
∑
2
jismning aylanish o‘qiga nisbatan inersiya
momenti ekanligini e’tiborga olsak,
44
2
2
ω
Z
k
I
W
=
(3.13)
ifoda hosil bo‘ladi.
Demak, qo‘zg‘almas o‘q atrofida aylanayotgan qattiq jismning
kinetik energiyasi shu jismning aylanish o‘qiga nisbatan inersiya
momentining burchak tezlik kvadratiga ko‘paytmasining yarmiga
teng.
Agar jism qo‘zg‘aluvchan o‘qqa nisbatan aylanma harakat qilsa,
ya’ni ham aylanma, ham ilgarilanma harakat qilsa, uning kinetik
energiyasi aylanma va ilgarilanma harakat kinetik energiyasining
yig‘indisi orqali aniqlanadi.
2
2
2
2
м
Z
k
m
I
W
υ
ω
+
=
(3.14)
bunda
υ
m
- massa markazi ilgarilanma harakatning tezligi.
3.4- . Aylanma harakat dinamikasining
asosiy qonuni
3.1-rasmdagi aylanayotgan qattiq jismning tekshirilayotgan
elementar bo‘lakchasi impulsining OZ o‘qqa nisbatan momenti (L
zi
) (3.4)
munosabatga asoslanib hisoblanadi.
ω
ω
2
i
i
i
i
i
i
i
zi
r
m
r
r
m
r
P
L
∆
=
∆
=
=
(3.15)
Bu ifodani qattiq jismning barcha elementar bo‘lakchalari uchun qo‘llab,
so‘ng ularning yig‘indisini olsak, jism impulsining OZ o‘qqa nisbatan
momentini hosil qilamiz:
2
1
1
i
n
i
i
n
i
Zi
Z
r
m
L
L
∑
∑
=
=
∆
=
=
ω
.
(3.16)
Bunda
ω
=sonst bo‘lganligi uchun yig‘indi belgisidan tashqariga
chiqarib yozdik. (3.16) bilan (3.6) ifodani birlashtirib
ω
z
z
I
L
=
(3.17)
ni hosil qilamiz.
Shunday qilib, qattiq jism impulsining qo‘zg‘almas aylanish
o‘qiga nisbatan momenti jismning shu aylanish o‘qqa nisbatan
inersiya momenti bilan burchak tezlik ko‘paytmasiga teng ekan.
45
Ikkinchi tomondan L
zi
= [ r
i
R
i
] ekanligini eslab, unda vaqt
bo‘yicha differensiallash amalini bajarsak:
]
[
i
i
Z
P
r
dt
d
dt
dL
=
(3.18)
r=const bo‘lganda
i
F
dt
i
dP
=
ga teng deb olib bularni (3.18) ga qo‘yamiz
va yig‘indiga o‘tib quyidagini hosil qilamiz:
∑
∑
=
=
=
=
n
i
Zi
n
i
i
i
Z
M
F
r
dt
dL
1
1
]
[
(3.19)
(3.17) va (3.19) ifodalarni solishtirsak
Z
Z
M
I
dt
d
=
)
(
ω
yoki
ε
Z
I
M
=
(3.20)
Bu yerda
dt
d
ω
ε
=
teng bo‘lib, burchak tezlanishdir.
(3.20) munosabat qattiq jismning qo‘zg‘almas o‘q atrofidagi
Do'stlaringiz bilan baham: | 
