|
14.5-§. O‘zaro perpendikulyar tebranishlarni qo‘shish
O‘zaro perpendikulyar tebranishlarning tenglamalari
)
cos(
)
cos(
2
0
2
2
1
0
1
1
α
ω
α
ω
+
=
+
=
t
A
y
t
А
х
(14.36)
ko‘rinishida yoziladi. Bunda A
1
va A
2
,
1
α
va
2
α
mos ravishda birinchi
va ikkinchi tebranishlarning amplitudalari va boshlang‘ich fazalari.
(14.36) tenglamalar ustida bir qator matematik amallar bajarib, t
ni yo‘qotsak, moddiy nuqta natijaviy harakati trayektoriyasining
tenglamasini hosil qilamiz:
)
(
sin
)
cos(
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
α
α
α
α
−
=
−
−
+
A
A
xy
A
y
A
x
(14.37)
14.7 – rasm.
221
Bu tenglamani quyidagi xususiy hollar uchun tadbiq qilaylik:
1).
2
α
-
1
α
= 0, ya’ni
1
α
=
2
α
=
α
bo‘lsin. U holda (14.37) quyidagicha
ko‘rinishga keladi:
0
2
2
1
2
2
2
2
1
2
=
−
+
A
A
xy
A
y
A
x
yoki
0
2
2
1
=
−
A
y
A
x
bundan
x
A
A
y
2
1
=
(14.38)
to‘g‘ri chiziq tenglamasini hosil qilamiz.
2).
π
α
α
±
=
−
1
2
bo‘lsin. U holda (14.37) tenglama
0
2
2
1
2
2
2
2
1
2
=
+
+
A
A
xy
A
y
A
x
yoki
0
2
2
1
=
+
A
y
A
x
ko‘rinishga keladi. Bundan:
x
A
A
y
2
1
−
=
(14.39)
hosil qilamiz. (14.39) ifoda ham to‘g‘ri chiziq tenglamasidir.
3).
2
1
2
π
α
α
±
=
−
bo‘lsin. U holda (14.37) ifoda
1
2
2
2
2
1
2
=
+
A
y
A
x
(14.40)
ko‘rinishga keladi. Bu ifoda yarim o‘qlari ( A
1
va A
2
) OX va OU o‘qlar
bo‘yicha yo‘nalgan ellipsning tenglamasidir. Agar qo‘shiluvchi
tebranishlar amplitudalarining qiymatlari teng bo‘lsa (ya’ni A
1=
A
2
)
natijaviy harakat trayektoriyasi aylanadan iborat bo‘ladi.
14.6-§. Garmonik tebranishlar energiyasi
Biz yuqorida mayatniklarni tebranish jarayonida ularning kinetik
energiyasi potensial energiyaga va aksincha, potensial energiya esa
kinetik energiyaga aylanib turishiga e’tibor qilmadik. Endi garmonik
tebranishlar energiyasini aniqlaylik. Massasi m bo‘lgan moddiy nuqta
elastik kuch ta’sirida garmonik tebranma harakat qiladi.
kx
F
−
=
222
Harakat davomida moddiy nuqta ma’lum bir tezlikka erishadi,
demak u ma’lum kinetik energiyaga ega bo‘ladi.
2
2
1
υ
m
k
W
=
Lekin garmonik tebranma harakat qilayotgan moddiy nuqtaning tezligi
uchun
[
]
)
sin(
)
cos(
α
ω
ω
α
ω
υ
+
−
=
+
=
=
t
A
t
A
dt
d
dt
dx
o
o
o
(14.41)
ifoda hosil bo‘ladi. U holda kinetik energiya formulasi:
)
(
sin
2
1
0
2
2
2
0
α
ω
ω
+
=
t
A
m
W
k
(14.42)
ko‘rinishda yoziladi.
Potensial energiya qiymati esa
∫
+
=
=
=
∫
=
x
t
kA
kx
dx
kx
х
dx
F
W
P
0
)
(
2
cos
2
2
1
2
2
1
0
0
α
ω
(14.43)
(14.42) va (14.43) lardagi sinus va kosinusning maksimal qiymati 1 ga
teng. Shuning uchun kinetik va potensial energiyalarning maksimal
qiymatlari quyidagicha:
,
2
2
2
1
0
A
m
k
W
ω
=
(14.44)
2
2
1
kA
W
P
=
(14.45)
Garmonik tebranma harakat qilayotgan moddiy nuqtaning
ixtiyoriy vaziyatdagi to‘liq energiyasi kinetik va potensial energiyalar
yig‘indisidan iborat:
)
(
cos
2
1
)
(
sin
2
1
0
2
2
0
2
2
2
0
α
ω
α
ω
ω
+
+
+
=
+
=
t
kA
t
A
m
W
W
W
P
k
(14.8) dan
2
0
ω
m
k
=
teng ekanligini eslasak to‘liq energiya uchun
2
2
0
2
1
A
m
W
ω
=
yoki
2
2
1
kA
W
=
(14.46)
formulani hosil qilamiz.
Buni (14.44) va (14.45) bilan taqqoslab, quyidagi xulosaga
kelamiz: tebranuvchi sistemaning ixtiyoriy vaziyatdagi to‘liq energiyasi
o‘zgarmaydi va u kinetik yoki potensial energiyaning maksimal
qiymatiga teng bo‘ladi.
223
14.7-§. So‘nuvchi va majburiy tebranishlar.
Rezonans
So‘nuvchi tebranishlar. Agar mayatnik muvozanat vaziyatdan
chiqarilib, so‘ngra qo‘yib yuborilsa, u holda mayatnik faqat unga
dastlabki berilgan energiya tufayli ancha vaqt tebranib turadi.
Mayatnikning bunday tebranishlari erkin tebranishlar yoki xususiy
tebranishlar deyiladi. Amalda havoning qarshiligi va ishqalanishining
mavjudligi mayatnik tebranishlar amplitudasini vaqt o‘tishi bilan
kamayishiga olib keladi. Vaqt o‘tishi bilan amplitudasi kamayib
boradigan tebranishlar so‘nuvchi tebranishlar deyiladi.
Kichik
tezliklarda
havoning
qarshilik
kuchi
tezlikka
proporsional, lekin unga teskari yo‘nalgan bo‘ladi:
dt
dx
r
r
F
k
−
=
−
=
υ
(14.47)
bu yerda r – qarshilik koeffitsienti deb ataladi.
Tebranayotgan jism uchun Nyutonning ikkinchi qonunidan foydalansak,
natijada so‘nuvchi tebranishni xarakterlaydigan tenglama
dt
dx
r
kx
dt
x
d
m
−
−
=
2
2
(14.48)
ko‘rinishida yoziladi. Bu tenglamaning ikki tomonini m ga bo‘lsak va
β
ω
2
;
2
0
=
=
m
r
m
k
(14.49)
belgilashlardan foydalansak, quyidagi munosabatni hosil qilamiz:
0
2
2
2
2
=
+
+
x
dt
dx
dt
x
d
o
ω
β
(14.50)
Bu tenglamaning yechimi
0
ω
β
<
bo‘lgan holda quyidagicha bo‘ladi:
)
cos(
α
ω
β
+
−
=
t
с
t
е
A
x
o
(14.51)
Bundagi
dt
d
t
D
σ
∂
∂
=
- so‘nuvchi tebranish chastotasi, uning qiymati
2
2
β
ω
ω
−
=
o
c
(14.52)
munosabat bilan aniqlanadi. Faqat bitta xususiy holda, ya’ni
0
2
=
=
m
r
β
bo‘lgan holda
0
ω
ω
=
c
bo‘ladi. So‘nuvchi tebranish davri (T
s
) esa
xususiy tebranish davri ( T
0
) dan katta:
224
o
o
o
ω
π
β
ω
π
ω
π
2
2
2
2
2
=
>
−
=
=
T
c
c
T
(14.53)
so‘nuvchi tebranishlarning amplitudasi esa vaqt o‘tishi bilan
t
е
A
A
β
−
=
0
(14.54)
qonun bo‘yicha kamayib boradi
(14.8 – rasm). Bunda A
0
-
boshlang‘ich amplituda,
β
esa
so‘nish koeffitsienti deb ataladi.
Amplitudaning kamayib
borishi
14.8-rasmda
punktir
chiziq bilan tasvirlangan.
Majburiy tebranishlar.
Mayatnikning
tebranishlari
so‘nmasligi uchun atrof muhitga
ketayotgan energiyani uzluksiz
qayta tiklab turish kerak, ya’ni
mayatnikka
davriy
o‘zgarib
turuvchi kuch bilan ta’sir qilib
turish kerak. Davriy ravishda
o‘zgarib turadigan bunday tashqi kuchni majbur etuvchi kuch deb
ataladi.
Moddiy nuqtaga garmonik qonun bo‘yicha o‘zgaruvchi
t
F
F
ω
cos
0
=
kuch ta’sir etsin. Dinamikaning ikkinchi qonuniga asosan, moddiy
nuqtaning mazkur holdagi harakat tenglamasini quyidagicha yozishimiz
mumkin:
t
F
dt
dx
r
kx
dt
x
d
m
ω
cos
0
2
2
+
−
−
=
yoki
t
m
F
x
dt
dx
dt
x
d
ω
ω
β
cos
2
0
0
2
2
=
+
+
(14.55)
(14.55) tenglamaning xususiy yechimi esa majbur etuvchi kuch
chastotasi
ω
bilan sodir bo‘ladigan tebranishlarni aks ettiradi. Bu
Do'stlaringiz bilan baham: | 
