1-мавзу чизиқли алгебра ва аналитик геометрия элементлари

5-Мисол .  

4- 

тартибли детерминантни ҳисоблансин. 

2

1

6

4

7

2

9

5

4

1

7

3

2

1

5

2

−

−

−

−

−

=

∆

 

Ечиш.  Детерминантни  шундай  алмаштирамизки,  натижада  бир  устун 

ёки сатрда тўртта элементдан учтаси нолга айлансин. Бунинг учун 8-хоссадан 

фойдаланамиз.  Агар  детерминантда 

1

±

га  тенг  элемент  бўлса,  бу  хоссани 

қўллаш  жуда  ўринли  бўлади.  Шундай  элемент  сифатида  а

13

  =  1 

элементни 

танлаймиз  ва  унинг  ёрдамида  3-чи  устуннинг  қолган  барча  элементларини 

нолга айлантирамиз. 

Шу мақсадда: 

а) 2- сатр элементларига уларга мос 1- сатр элементларини қўшамиз; 

б) 1- стар элементларини 2 га кўпайтириб 3- сатр элементларидан айирамиз. 

в) 4- сатр элементларидан 1- сатр элементларини айирамиз. 

Натижада қуйидаги детерминантни ҳосил қиламиз.  

0

0

1

2

3

0

1

1

6

0

2

1

2

1

5

2

−

−

−

=

∆

 

Ҳосил қилинган детерминантни 3-чи устун бўйича ёямиз. 

0

1

2

3

1

1

6

2

1

0

1

2

3

1

1

6

2

1

)

1

(

1

3

1

−

−

=

−

−

⋅

−

⋅

=

∆

+

 

Бу  детерминантнинг  2-чи  сатр  элементларини  2-га  кўпайтириб,  1-чи 

сатр элементларидан айирамиз.  

0

1

2

3

1

1

0

0

3

−

−

=

∆

 

Бу  детерминантни  1-сатр  элементлари  бўйича  ёйиб  натижани  ҳосил 

қиламиз:                        

.

9

))

1

(

3

0

1

(

3

0

1

3

1

)

1

(

3

1

1

−

=

−

⋅

−

⋅

⋅

−

=

−

⋅

−

⋅

−

=

∆

+

 

 

 

Саволлар 

1. II-

чи ва III-чи тартибли детерменантлар деб нимага айтилади 

2. III-

чи тартибли детерменантларнинг минори қандай аниқланади? 

3.

Алгебраик тўлдирувчининг таърифини айтинг

? 

4. 

Юқори тартибли детерменантларни ҳисоблаш усулларини кўрсатинг? 

 

Тестлар 

1. 3-

чи тартибли детерменант ҳисоблансин: 

1

1

1

1

1

1

1

1

1

−

−

=

∆

 

A: 0;   

B: 2;   

C: -1;   

D: 1;   

 

E: 3. 

2. 

Детерменантни ҳисобланг: 

x

a

a

x

a

a

a

a

a

−

−

−

=

∆

 

 

A: 2a

2

(x+a);   

B: a

2

(x-a);    

C: 2x(a-x);    D: x

2

a;   

E: x(2a+x). 

3. 

Детерменантнинг   

М

21

 

минори ҳисоблансин: 

 

0

2

1

3

0

4

2

4

3

−

=

∆

 

 

A: 4;   

B: 3;   

C: -3;   

D: 7;   

 

E: 0. 

4. 4-

чи тартибли детерменант ҳисоблансин: 

 

3

1

4

2

1

3

2

1

3

1

1

1

2

1

1

1

−

−

−

−

−

=

∆

 

A. –51 

B. –49 

C. 37   

D. –16 

E. 63 

Машқлар. 

1.

  Қуйидаги детерминантларни ҳисобланг. 

а) 

6

5

4

4

3

1

3

2

4

−

−

−

−

        

б) 

4

7

2

2

3

2

2

4

5

−

−

−

−

 

2.

  Тенгламани ечинг. 

0

1

2

1

3

1

1

3

2

=

−

−

x

x

x

 

 

2

- 

Машғулот

  

 

Дeтерминантлар назариясини чизиқли алгебраик тенгламалар 

системасини ечиш учун қўллаш. Крамер қоидаси. Матрицалар, 

матрицалар устида амаллар. Тескари матрица. Чизиқли алгебраик 

тенгламалар системасини матрицалар орқали ечиш. 

 

1.

  Крамер қоидаси. 

Детерминантлар  ёрдамида  уч  номаълумли  учта  чизиқли  тенгламалар 

системасини ечиш усулини қараймиз: 

                             











=

+

+

=

+

+

=

+

+

3

3

33

2

32

1

31

2

3

23

2

22

1

21

1

3

13

2

12

1

11

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

                                                 (1)

  

Қуйидаги белгилашларни киритамиз: 

∆

=

.

33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

                 

1

x

∆

=

.

33

32

3

23

22

2

13

12

1

a

a

b

a

a

b

a

a

b

 

2

x

∆

=

.

33

3

31

23

2

21

13

1

11

a

b

a

a

b

a

a

b

a

                 

3

x

∆

=

.

3

32

31

2

22

21

1

12

11

b

a

a

b

a

a

b

a

a

  

(1) 

система коэффициентларидан тузилган 

∆

 

детерминантни (1) системанинг 

асосий 

детерминанти 

деб 

атаймиз. 

1

x

∆

,

2

x

∆

,

3

x

∆

детерминантлар 

∆

 

детерминантдан  мос  равишда  ундаги  биринчи,  иккинчи  ва  учинчи 

устунларни b

1

,b

2

,b

3

 

озод ҳадлар билан алмаштиришдан ҳосил бўлади. Агар 

0

≠

∆

 

бўлса,  (1)  система  ечимини  аниқлайдиган  ушбу  формулаларнинг 

тўғрилигини  исботлаш  қийин эмас. 

                           

∆

∆

=

∆

∆

=

∆

∆

=

3

3

2

2

1

1

,

,

х

х

х

х

x

x

                                  (2) 

(2) 

формула  уч  номаълумли  учта  чизиқли  тенгламалар  системасини 

ечишнинг Крамер қоидаси ёки Крамер усули деб аталади. 

1-мисол. Тенгламалар системасини Крамер усулида ечинг:  











=

−

+

=

−

+

=

+

−

6

4

3

2

1

2

2

4

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

Ечиш. Асосий детерминантни ҳисоблаймиз: 

,

0

9

4

3

2

2

1

1

1

1

4

≠

=

−

−

−

=

∆

 

демак,  тенгламалар  тизими  ягона  ечимга  эга. 

,

1

x

∆

,

2

x

∆

3

ч

∆

   

– 

ларни 

топамиз. 

.

18

6

3

2

1

1

1

2

1

4

,

36

4

6

2

2

1

1

1

2

4

,

9

4

3

6

2

1

1

1

1

2

1

3

2

=

−

=

∆

=

−

−

=

∆

=

−

−

−

=

∆

x

x

x

 

Бундан       

.

2

9

18

,

4

9

36

,

1

9

9

3

3

2

2

1

1

=

=

∆

∆

=

=

=

∆

∆

=

=

=

∆

∆

=

x

x

x

x

x

x

 

Детерминантларни  ўрганишдан  олдин  матрица  тушунчаси  устида 

тўхталиб,  матрицага  таъриф  бериб  ўтган  эдик.Энди  матрицалар  устида  

амалларни кўриб чиқамиз. 

 

2. Матрицалар устида чизиқли амаллар. 

Матрицаларни  қўшиш.  Бир  ҳил 

n

m ×

 

ўлчамли 

А

 

ва 

B

 

матрицаларнинг 

йиғиндиси  деб,  ҳудди  шундай  ўлчамли 

C

 

матрицага  айтиладики,  бу 

матрицанинг ҳар бир элементи 

А

 

ва 

B

 

матрицаларнинг мос элементларининг 

йиғиндисидан иборат бўлади:  

,

ij

ij

ij

b

a

c

+

=

   

,

,

1 m

i =

   

n

j

,

1

=

 

2-мисол. 

2

3

1

1

0

4

2

8

A

−





= 



−





 

ва 

1

4

0

1

2

2

5

7

B

−

−





= 



−





 

матрицаларнинг  йиғиндисини 

топинг.  

Ечиш. Берилган матрицаларнинг бир хил жойда турган элементларини 

қўшиб,  С = А + В матрица элементларини ҳисоблаймиз. 

11

11

11

12

13

14

21

22

32

14

2 1 1;

3 4 1;

1 0 1;

1 1 0;

0 2 2;

4 2 2;

2 5 3;

8 7 15.

c

a

b

c

c

c

c

c

c

c

=

+

= − =

=− + =

= + =

= − =

= + =

= − =

=− + =

= + =

 

Шундай қилиб, С =

1

1

1

0

.

2

2

3 15

A

B





+

= 







 

Матрицани сонга кўпайтириш.  Матрицани 

сонга 

кўпайтириш 

деб, 

ўлчами берилган матрица ўлчамига тенг бўлган, ҳар бир элементи берилган 

матрица элементини берилган сонга кўпайтиришдан ҳосил бўлган матрицага 

айтилади.  

3-мисол. 

Агар 













−

−

=













−

−

−

=

4

1

3

2

3

4

,

2

0

1

1

3

2

В

А

 

бўлса, 5А – 2В матрицани топинг.  

Ечиш.  

 

=













+

−

−

+

−

−

−

−

−

=

−













−

−

=













−

−

−

=

8

10

2

0

6

5

4

5

6

15

8

10

2

5

,

8

2

6

4

6

8

2

,

10

0

5

5

15

10

5

В

А

В

А

 













−

−

−

=

2

2

1

1

21

2

. 

Шундай қилиб,  5А – 2В 













−

−

−

=

2

2

1

1

21

2

. 

 

3. Матрицаларни кўпайтириш.  

Ўлчами 

p

m ×

 

бўлган 

А

 

матрица  ва  улчами 

n

p ×

 

бўлган 

B

 

матрицаларнинг  кўпайтмаси  деб,  ўлчами 

n

m ×

 

бўлган  шундай 

C

 

матрицага 

айтиладики,  унинг  ҳар  бир  элементи 

ij

С

 

қуйидаги  формула  билан 

аниқланади:  

∑

=

=

=

=

p

k

kj

ik

ij

n

j

m

i

b

a

c

1

.

,...,

1

,

,...,

1

,

 

Шундай қилиб, 

ij

c

 

элемент 

А

 

матрицанинг i -  сатрини 

B

 

матрицанинг 

унга мос j -  устунига кўпайтмасининг йиғиндисидан иборат экан.  

Матрицаларни  кўпайтириш  амали  коммутатив  эмас,  яъни 

.

BA

AB ≠

 

Ҳақиқатдан  ҳам, 

АВ

 

кўпайтма  мавжуд  бўлса,  ўлчамлари  тўғри  келмаслиги 

сабабли 

ВА

 

кўпайтма умуман мавжуд бўлмаслиги мумкин. Агар 

АВ

 

ва 

ВА

 

лар  

мавжуд бўлса ҳам, уларнинг ўлчамлари ҳар ҳил бўлиши мумкин.  

Бир  ҳил  ўлчамли  квадрат  матрицалар  учун 

АВ

 

ва 

ВА

 

кўпайтмалар 

мавжуд  ва  улар  бир  ҳил  ўлчамга  эга  бўлади,  аммо  умуман  олганда  мос 

элементлари тенг бўлмайди. 

4-мисол. 

Қуйидаги матрицаларни бир-бирига кўпайтириш мумкинми ёки йўқми? 

Шуни аниқланг. Агар кўпайтма мавжуд бўлса, уни ҳисобланг.  





















−

−

=

1

1

2

4

3

0

A

 

ва 













=

8

7

6

5

B

.  

Ечиш. 

А

 

ва 

B

матрицаларнинг ўлчамларини таққослаймиз.  [

]

2

3×

A

, 

[

]

2

2 ×

B

. 

Бундан 

l

n = , 

k

m ≠

, 

шунинг учун 

[

]

2

3 ×

AB

 

мавжуд, кўпайтма 

ВА

 

эса 

мавжуд эмас. 

АВ

 

кўпайтма элементларини топамиз:  

 

(ab)

11

 = 0 · 5 + 3 · 7 = 21; (ab)

12

 = 0 · 6 + 3 · 8 = 24; (ab)

21

 = 4 · 5 – 2 · 7 = 6;  

(ab)

22

 = 4 · 6 – 2 · 8 = 8; (ab)

31

 = 1 · 5 – 1 · 7 = -2; (ab)

32

 = 1 · 6 – 1 · 8 = -2. 

Шундай қилиб, 





















−

−

=

2

2

8

6

24

21

AB

,             

ВА

  

эса мавжуд эмас. 

5-мисол.  Агар    

























−

=













−

−

−

=

4

2

1

1

0

1

2

3

,

1

1

1

3

0

1

2

2

B

A

 

бўлса,  

АВ

 

ва 

ВА

 

ни топинг. 

Ечиш.  матрицаларни  кўпайтириш  мумкинми  ёки  йўқлигини  билиш 

учун уларнинг ўлчамларини аниқлаймиз.  

A[2×4],   B[4×2].  

Бундан   n = l = 4, m = k = 2, шунинг учун АВ ва ВА 

матрицалар мавжуд, ҳамда   АВ[2×2],    BA[4×4]. 

С  =  АВ  матрицанинг  элементларини  ҳисоблаш  учун  А  матрицанинг 

сатр  элементларини  унга  мос  булган  В  матрицанинг  устун  элементларига  

кўпайтирилади.  

                

с

11

 = 2 · 3 + (-2)(-1) + 1 · 1 + 0 · 2 = 9 

(

А  нинг  биринчи  сатр  элементларининг  В  нинг  биринчи  устун 

элементларига  купайтмасининг  йиғиндиси;  ҳисобланаётган  элементнинг 

биринчи  индекси  А  матрицанинг  сатрини,  иккинчи  индекси  эса  В  матрица 

устунини билдиради). 

              

с

12

 = 2 · 2 + (-2) · 0 + 1 · 1 + 0 · 4 = 5; 

               

с

21

 = -3 · 3 + 1 · (-1) + (-1) · 1 + 1 · 2 = -9; 

               

с

22

 = -3 · 2 + 1 · 0 + (-1)_ · 1 + 1 · 4 = -3. 

Шундай қилиб, 













−

−

=

=

3

9

5

9

AB

C

. 

D  =  BA 

матрица  элементларини  ҳисоблаётганда  В  нинг  сатр 

элементлари А нинг устун элементларига кўпайтирилади.  

 d

11

 = 3 · 2 + 2 · (-3) = 0;    d

12

 = 3 · (-2) + 2 · 1 = -4;   d

13

 = 3 · 1 + 2 · (-1) = 1; 

 d

14

 = 3 · 0 + 2 · 1 = 2;        d

21

 = -1 · 2 + 0 · (-3) = -2;  d

22

 = -1 · (-2) + 0 · 1 = 2; 

 d

23

 = -1 · 1 + 0 · (-1) = -1;  d

24

 = -1 · 0 + 0 · 1 = 0;       d

31

 = 1 · 2 + 1 · (-3) = -1; 

 d

32

 = 1 · (-2) + 1 · 1 = -1;   d

33

 = 1 · 1 + 1 · (-1) = 0;     d

34

 = 1 · 0 + 1 · 1 = 1; 

 d

41

 = 2 · 2 + 4 · (-3) = -8;   d

42

 = 2 · (-2) + 4 · 1 = 0;     d

43

 = 2 · 1 + 4 · (-1) = -2; 

 d

44

 = 2 · 0 + 4 · 1 = 4. 

Шундай қилиб, 

























−

−

−

−

−

−

−

=

=

4

2

0

8

1

0

1

1

0

1

2

2

2

1

4

0

BA

D

.