Oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi

Misollar.

 1) chigitning unuvchanligi 10% bo`lsa, ekilgan 4 ta chigitdan:

 

a) uchtasining

 

unib chiqishi; b) hech

 

bo`lmaganda ikkitasining

 

unib chiqish

 

ehtimolini toping. 

echish.

 a) shartga ko`ra  

p = 

4,  

k

 = 3, 

r =

 0,8, 

q = 

0,2. Bernulli formulasiga ko`ra 

( )

( )

;

4096

,

0

2

,

0

8

,

0

3

3

3

4

4

=

⋅

=

С

Р

 

b) 

A 

hodisa ekilgan

 

4 ta chigitdan hech bo`lmaganda ikkitasining unib chiqishini,

 

ya`ni 2 

tasi, yoki 3 tasi, yoki 4 tasi unib chiqishiki bildirsin.

 

Ehtimollarni qo`shish teoremasiga ko`ra: 

R(A)

= R

4

{yoki 2, yoki 3, yoki 4}=R

4

(2)+R

4

(3)+R

4

(4). 

R

4

(3) ehtimol a) bandda hisoblangan; 

( )

( ) ( )

;

1536

,

0

2

,

0

8

,

0

2

2

2

2

4

4

=

⋅

=

С

Р

 

( )

( ) ( )

.

4096

,

0

2

,

0

8

,

0

3

0

4

4

4

4

=

⋅

=

С

Р

 

 Demak, 

( )

9728

,

0

=

А

Р

. 

Endi (23.11) Bernulli formulasining tahlili bilan shug`ullanamiz. 

Ravshakki, berilgan tayin 

p 

va 

r 

da 

( )

k

n

k

k

n

n

q

р

C

k

Р

−

=

   (

k 

= 0, 1, 2, . . .  , 

p)

 

ning qiymati 

k 

ga bog`liq, ya`ni 

k

 ning funktsiyasi bo`ladi. Bunda 

k

 

o`zgaruvchining 

k

=0, 

k

=1,

 

k

=2, …, 

k=n

 qiymatlarida 

R

n

(k)

 funktsiyaning qiymatlari ushbu 

( ) ( ) ( )

( )

n

P

P

P

Р

n

n

...,

,

2

,

1

,

0

                                          (23.12) 

sonlar ketma-ketligidan iborat bo`ladi. Bu (23.12) dagi sonlardan tayinlangan 

p 

uchun qaysi biri 

eng katta bo`ladi, ya`ni 

A 

hodisa 

p 

ta erkli sinashda ro`y berishlar soninnng

 

qanday 

qiymatlarida 

R

p

(k) 

eng

 

katta ehtimolga ega bo`ladi, degan savolga javob berish masalasini 

o`rganamiz. 

Shu maksadda ushbu  

(

)

( )

k

P

k

P

n

n

1

+

  nisbatni qaraymiz. Ravshanki,  

( )

(

) (

)

k

n

k

k

n

k

k

n

n

p

p

k

n

k

n

q

р

C

k

Р

−

−

−

−

=

=

1

!

!

!

, 

(

)

(

) (

)

(

)

1

1

1

1

1

1

!

1

!

1

!

1

−

−

+

+

−

+

+

−

−

−

+

=

=

+

k

n

k

k

n

k

k

n

n

p

p

k

n

k

n

q

р

C

k

Р

.

 

U  holda  

(

)

( )

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

p

p

k

k

n

p

p

n

k

n

k

k

n

k

p

p

n

k

P

k

P

k

n

k

k

n

k

n

n

−

⋅

+

−

=

−

−

−

+

−

⋅

−

=

+

−

−

−

+

1

1

1

!

!

1

!

1

!

!

1

!

1

1

1

 

bo`ladi. 

Agar 

(

)

( )

,

1

1

>

+

k

P

k

P

n

n

 

ya`ni 

1

1

1

>

−

⋅

+

−

p

p

k

k

n

                                              (23.13) 

---

 

14

bo`lsa, u holda 

(

)

( )

k

P

k

P

n

n

>

+

1

 bo`ladi. 

k 

ning qanday qiymatlarida 

(

)

( )

k

P

k

P

n

n

>

+

1

 

bo`lishini bilish uchun (23.13) tengsizlikni 

k 

ga 

nisbatan echamiz: 

(

) (

)(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

)

.

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

p

np

k

np

p

k

np

p

p

k

kp

p

p

k

kp

np

p

k

p

k

n

p

p

k

k

n

−

−

<

⇒

−

−

>

−

⇒

−

−

>

−

−

−

⇒

⇒

−

+

−

>

−

⇒

−

+

>

−

⇒

>

−

⋅

+

−

 

Demak, 

(

)

p

np

k

−

−

<

1

 

bo`lganda 

(

)

( )

k

P

k

P

n

n

>

+

1

 bo`ladi.  

Shunday qilib, 

k  

o`zgaruvchining qiymatlari 

(

)

p

np

−

−

1

 sondan kichik bo`lganda 

( )

k

Р

n

 

ehtimol o`sib bordi (ya`ni 

( )

k

Р

n

 

funktsiya o`suvchi bo`ladi).

 

Xuddi shunga o`xshash, 

(

)

p

np

k

−

−

>

1

 

bo`lganda 

(

)

( )

k

P

k

P

n

n

<

+

1

 bo`lishini ko`rsatish  

mumkin.

 

Shunday qilib, 

k 

o`zgaruvchining qiymatlari 

(

)

p

np

−

−

1

 sondan katta bo`lib borganda 

( )

k

Р

n

 

ehtimol kichiklashib boradi (ya`ni 

( )

k

Р

n

 

funktsiya kamayuvchi bo`ladi). 

k 

o`zgaruvchining qiymati 

(

)

p

np

k

−

−

=

1

 bo`lganda esa 

(

)

( )

k

P

k

P

n

n

=

+

1

 

bo`ladi. 

Shunday qilib, 

k 

o`zgaruvchi 0, 1 , 2 , … ,

n

 qiymatlarni qabul qila borib, uning qiymati 

(

)

p

np

−

−

1

 

songa etguncha 

( )

k

Р

n

 

ning qiymati o`sa boradi, 

k 

ning qiymati 

(

)

p

np

−

−

1

 

sondan 

oshganda esa 

( )

k

Р

n

 

ehtimol kamaya boradi. Bu holni chizma bilan tasvirlash mumkin (142- 

a, 

chizma).

 

Endi 

p 

ta tajribada 

A 

hodisa ro`y berishining eng katta ehtimolli sonini topamiz. Aytaylik, bu eng 

katta ehtimol 

k 

o`zgaruvchining 

k

0

 

qiymatida bo`lsin. Unda yuqorida aytilganlarga ko`ra, bir 

tomondan,

 

(

)

( )

0

0

1

k

P

k

P

n

n

≤

+

,                                                           (23.13) 

ikkinchi tomondan esa 

(

)

( )

0

0

1

k

P

k

P

n

n

≤

−

                                                     (23.14) 

bo`ladi.

 

(23.13) munosabat 

(

)

p

np

k

−

−

≥

1

0

, (23.14) munosabat esa 

(

)

p

np

k

−

−

≥

−

1

1

0

 

bo`lganda 

bajarilishini yuqoridagidek ko`rsatish mumkin.

 

Demak, eng katta ehtimolli 

k

0

 

son ushbu 

(

)

p

np

k

p

np

+

≤

≤

−

−

0

1

                                      (23.15)

 

tengsizliklarni qanoatlantirar ekan. Bu tengsizlikni qanoatlantiradigan butun sonlar 

(

)

p

np

−

−

1

 

songa 

bog`liq bo`ladi:

 

1)

 

Agar 

(

)

p

np

−

−

1

 

kasr son bo`lsa, u holda (23.15) tengsizlikni qanoatlantiradigan 

0

k  

son bitta 

bo`ladi (142-b, chizma). 

2)

 

agar 

(

)

p

np

−

−

1

 

butun son bo`lsa, u holda (23.15) tengsizliklarni qanoatlantiradigan sonlar 

ikkita bo`ladi. Demak, bu holda eng katta ehtimolli son ikkita   bo`ladi. 

1-misol.

 Texnik nazorat bo`limi 24 ta detaldan iborat guruhni tekshirmoqda. Detalning yaroqli 

standartga muvofiq bo`lish ehtimoli 0,6 ga teng. Yaroqli deb tan olinadigan detalning eng katta 

ehtimolli soni topilsin.

 

echish.

 Shartga ko`ra 

n 

= 24,  

r = 

0,6 bo`ladi. Unda  

(

)

p

np

−

−

1

 = 24

⋅

0,6 - (1 - 0,6)= 14,4 - 0,4 = 14,

 

pr + r 

= 24

⋅

0,6 + 0,6= 14,4 + 0 , 6 =   15

 

bo`lib, eng katta ehtimolli 

k

0

 

son (23.15) munosabatga ko`ra 14 

≤

 

k

0

 

≤

 15 tengsizliklarni 

qanoatlantirishi kerak. Demak, bu munosabatdan ko`rinadiki, eng katta ehtimolli son ikkita bo`ladi: 

k

0

 

= 14, 

k

0

 + 1 = 15.