Oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi

 

bo`ladi.

 

Endi bu integralni hisoblaymiz. 

σ

a

x

t

−

=

 almashtirish bajaramiz. 

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

.

1

1

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∞

+

∞

−

∞

+

∞

−

∞

+

∞

−

+∞

∞

−

+∞

∞

−

+∞

∞

−

+

=

+

+

=

+

=











 −

⋅

dt

t

a

dt

t

t

dt

t

a

dt

t

t

dt

t

a

t

dx

а

x

x

ϕ

ϕ

σ

ϕ

ϕ

σ

ϕ

σ

σ

σ

ϕ

σ

 

Demak, 

( )

( )

.

∫

∫

+∞

∞

−

+∞

∞

−

+

=

dt

t

a

dt

t

t

M

ϕ

ϕ

σ

ξ

 

Agar 

---

 

25

( )

( )

0

2

1

2

1

2

1

,

1

2

1

0

2

0

2

0

2

0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=





















+

−

=





















+

=

=

=

=

=

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∞

+

−

∞

+

−

∞

+

−

∞

−

−

∞

+

∞

−

−

∞

+

∞

−

∞

+

∞

−

−

∞

+

∞

−

dt

te

dt

te

dt

te

dt

te

dt

te

dt

t

t

dt

e

dt

t

t

t

t

t

t

t

π

π

π

ϕ

π

ϕ

 

bo`lishini e`tiborga olsak, unda 

a

a

M

=

⋅

+

⋅

=

1

0

σ

ξ

 

bo`lishini topamiz.

 

 

Shunday qilib, normal qonun bo`yicha taqsimlangan 

ξ

 tasodifiy miqdorning matematik 

kutilishi 

a

M

=

ξ

 

bo`ladi.

 

Xulosa qilib bunday aytish mumkin: tasodifiy miqdorning matematik kutilishi shunday 

sonni ifodalaydiki, bu son tasodifiy miqdor qiymatlarining o`rta arifmetigi bo`lib, uning atrofida 

tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo`lgan qiymatlari joylashgan bo`ladi.

 

Endi tasodifiy miqdor matematik kutilishining xossalarini keltiramiz:

 

1°. 

Agar S o`zgarmas son bo`lsa, MS = S bo`ladi.

 

2°. 

ξ

 

tasodifiy miqdor, S 

— 

o`zgarmas son bo`lsa, u holda 

( )

ξ

ξ

С

M

С

M

=

 bo`ladi.

 

3°. 

ξ

 va 

η

 

tasodifiy miqdorlar berilgan bo`lsin. Unda

 

(

)

η

ξ

η

ξ

М

M

M

±

=

±

 

bo`ladi.

 

4°. 

Agar a va b o`zgarmas sonlar bo`lsa, u holda

 

(

)

b

aM

b

a

M

+

=

+

ξ

ξ

 

bo`ladi.

 

5°. 

Agar 

ξ

 va 

η

  

o`zaro bog`liq bo`lmagan tasodifiy miqdorlar bo`lsa, u xolda 

(

)

η

ξ

η

ξ

М

M

M

⋅

=

⋅

 

bo`ladi.

 

Endi keltirilgan

 

xossalardan ayrimlarining isbotini keltiramiz:

 

25.3-ta`rif. 

(

)

2

ξ

ξ

M

M

−

 

miqdor 

ξ

 

tasodifiy miqdorning

 

dispersiyasi 

deb ataladi va 

ξ

D  

kabi belgilanadi: 

[

]

.

2

ξ

ξ

ξ

M

M

D

−

=

 

Yuqorida keltirilgan tasodifiy miqdorning matematik kutilishining xossalaridan foydalanib, 

ξ

D  

uchun boshqa ifoda topamiz:

 

[

]

( )

( )

(

)

[

]

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

(

)

.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

D

−

=

+

−

=

+

+

−

=

+

−

=

−

=

 

Demak, 

( )

( )

.

2

2

ξ

ξ

ξ

M

M

D

−

=

                                             

(25.6)

 

Misollar.

  1. Binomial qonun bo`yicha taqsimlangan tasodifiy mikdorning dispersiyasi 

topilsin. 

echish.

 Ma`lumki, bu tasodifiy miqdor 

0, 1, 2, …,

 

p 

qiymatlarni mos ravishda 

(

)

(

)

(

)

n

n

n

n

n

n

n

n

n

p

p

С

p

p

С

p

p

С

−

−

−

−

−

−

1

...,

,

1

,

1

1

1

0

0

0

 ehtimollar bilan qabul qiladi,   uning 

matematik kutilishi 

np

M

=

ξ

.

 

Yuqoridagi (25.6) formuladan foydalanish maqsadida 

2

ξ

M

 

ni topamiz. Ta`rifga ko`ra 

(

)

∑

=

−

−

=

n

k

k

n

k

k

n

p

p

С

k

M

0

2

2

1

ξ

 

bo`ladi. Bu tenglikning o`ng tomonidagi yig`indini hisoblaymiz: 

---

 

26

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[

]

( )

(

)

[

]

(

)

(

) (

) (

)

[

]

( )

(

)(

)(

)

(

) (

) (

)

[

]

(

)

(

)

(

) (

) (

)

[

]

( )

(

) (

)

(

)

(

)

,

1

1

!

1

1

!

1

!

1

!

2

2

!

1

!

2

1

1

!

1

1

!

1

!

1

1

1

!

1

1

!

1

!

1

!

!

!

1

2

2

2

2

2

1

2

2

1

1

1

1

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

0

2

0

2

2

p

n

p

np

np

np

p

n

q

p

np

q

p

p

n

n

q

p

k

n

k

n

np

q

p

p

k

n

k

n

n

k

np

q

p

k

n

k

n

k

np

q

p

p

k

n

k

n

kn

q

p

k

n

k

n

k

p

p

С

k

M

n

n

n

k

k

n

k

n

k

k

n

k

n

k

k

n

k

n

k

k

n

k

n

k

k

n

k

n

k

k

n

k

k

n

+

−

=

+

−

=

=

+

+

+

−

=

=

⋅

⋅

−

−

−

−

−

+

+

⋅

⋅

−

−

−

−

−

−

−

=

=

⋅

⋅

−

−

−

−

−

+

−

=

=

⋅

⋅

−

−

−

−

−

=

=

⋅

⋅

−

=

−

=

−

−

=

−

−

−

−

=

−

−

−

−

=

−

−

−

−

=

−

−

−

−

=

−

=

−

∑

∑

∑

∑

∑

∑

ξ

 

 

 (chunki 

(

)

(

)

1

,

1

1

2

=

+

=

+

−

−

n

n

q

p

q

p

). 

Demak, 

(

)

.

1

2

2

2

p

n

p

np

M

+

−

=

ξ

 

(25.6) munosabatdan foydalanib topamiz:  

( )

( )

(

)

( )

(

)

.

1

1

2

2

2

2

2

p

np

np

p

n

p

np

M

M

D

−

=

−

+

−

=

−

=

ξ

ξ

ξ

 

Demak, binomial qonun bilan taqsimlangan 

ξ

 

tasodifiy miqdorning dispersiyasi 

(

)

p

np

D

−

=

1

ξ

 

bo`ladi.