Geometric Splines and Spline curves

Advantages 

 

Disadvantages 

 

Obs. 

Cubic Spline 

Interpolates data 

points 

Can present 

unexpected 

inflections 

 

Bézier 

The control polygon 

lies outside the data 

points 

Global behavior 

Degree increases 

directly with the 

increasing number 

of control points 

 

   Representation of Conic Shapes (5) 

 

•

 

A complete ellipse can be represented applying an affine 

transformation to a circumference, for example, one 

represented by 7 control points, keeping the distribution of 

the weights and the knot vector. 

X 

=

 



0.0,0.0,0.0,0.25,0.5,0.5,0.75,1.0,1.0,1.0

 

W 

=

 



1.0,0.5,0.5,1.0,0.5,0.5,1.0

 

P 

=

 



P

1

, 

P

2

 , 

P

3

, 

P

4

 , 

P

5

, 

P

6

, 

P

7

 

M.Ventura 

Introduction to Geometric 

Modeling 

19 

---

12 

 

   Summary - Parametric Curves (2) 

 

M.Ventura 

Introduction to Geometric 

Modeling 

21 

  

Curve Generation 

 

Interpolation 

(curve 

contains all the data points) 

Approximation 

(curve 

tries to minimize the 

distance to all the data 

points) 

M.Ventura 

Introduction to Geometric 

Modeling 

22 

 

 

 

 

 

 

 

 

Advantages 

Disvantages 

Obs. 

B-Spline 

Local behavior 

Degree independent 

of the number of 

control points 

Can NOT 

represent conic 

shapes accurately 

 

Beta-Spline 

Two additional 

parameters to 

control (bias and 

tension) 

 

Used in fairing 

methods 

NURBS 

Accurate 

representation of 

conics 

It is difficult to 

take advantage of 

the additional 

coordinate 

(weight) 

State of the art. 

Used in most 

existing CAD 

systems 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

13 

 

  

Analysis of Curve Curvature (2) 

 

M.Ventura 

Introduction to Geometric 

Modeling 

24 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Analysis of Curve Curvature (1) 

 

•

 

The curvature of a space curve is defined by: 



 

(

t

)

 

=

  

x



(

t

) 



 

x



(

t

)   

x



(

t

) 

3

 

•

 

The distribution of this curvature along the curve can be 

represented using the method of the 

“porcupine”

 

•

 

vectors with modules proportional to the values of the 

curvature at each point 

•

 

normal to the curve at that point 

•

 

oriented to the opposite side of the centre of curvature 

M.Ventura 

Introduction to Geometric 

Modeling 

23 

---

14 

 

  

NURBS Surfaces 

 

•

 

A NURBS surface of degree (k,l) in the directions (u,v) is 

defined by the expression: 

 

n 

m 

P 

.

w 

i

, 

j 

i

, 

j

. 

N

i

,

k 

(

u

)

M 

j

,

l 

(

v

)

  

S

(

u

, 

v

) 

=

 

i 

=

0  

j

=

0 

 

 

i 

=

0   

j

=

0 

n 

m 

w 

. 

N 

i

, 

j 

i

,

k 

(

u

)

M 

v 

j

,

l 

(

 

)

  

N

i

,0

(

u

) 

=

 1    

p 

/ 

u

i  



 u < 

u

i  

+

 1 

=

 0 

N

i

, 

k 

(

u

) 

=

 

u 

−

 

u

i 

N

i

, 

k 

−

 1

(

u

) 

+ 

u

i 

+

 

k 

−

 

u

i 

u

i 

+

 

k 

−

 

u 

u

i 

+

 

k 

−

 

u

i 

+

 1 

M

j

, 

l 

(

v

) 

= 

v 

M

j

,0

(

v

) 

=

 1 

p 

/ 

=

 0 

  v 

−

 

v

j  

v 

j 



 v < 

v

j 

+

 1 

j 

+

 

l 

−

 

v

j 

M

j

, 

l 

−

 1

(

v

) 

+ 

N

i 

+

 1, 

k 

−

 1

(

u

) 

v

j 

+

 

l 

−

 

v 

M

j 

+

 1, 

l 

−

 1

(

v

) 

v

j 

+

 

l 

−

 

v

j 

+

 1 

M.Ventura 

Introduction to Geometric 

Modeling 

26 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Parametric Surfaces 

 

1.

 

NURBS Surfaces 

2.

 

Surfaces Generation 

•

 

Extrusion 

•

 

Lofting 

•

 

Sweeping 

•

 

Revolution 

•

 

Grid Interpolation 

•

 

Primitives 

3.

 

Surface Analysis 

•

 

Shading 

•

 

Contours 

•

 

Curvatures 

•

 

Isophotes 

•

 

Reflection Lines 

M.Ventura 

Introduction to Geometric 

Modeling 

25 

---

15 

 

  

Lofting 

 

Sections 

M.Ventura 

Introduction to Geometric 

Modeling 

28 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Extrusion 

 

Trajectory (

directriz

) 

Profile (

geratriz

) 

M.Ventura 

Introduction to Geometric 

Modeling 

27 

---

16 

 

  

Sweeping 

 

Profile (

geratriz

) 

Trajectory (

directriz

) 

M.Ventura 

Introduction to Geometric 

Modeling 

30 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Lofting in Shipbuilding 

 

•

 

The designation 

lofting 

has 

origin in shipbuilding 

•

 

Designates the 

development of the ship 

hull surface interpolating 

the shape of a set of cross 

sections, that was carried 

out in the loft room (

sala 

do risco

) 

The primitive building process was 

similar to the modeling process, 

using the frames to shape the hull 

surface form. 

M.Ventura 

Introduction to Geometric 

Modeling 

29 

---

17 

 

  

Edge Curves 

 

Surfaces 

defined by 2, 

3, or 4 edge 

curves 

M.Ventura 

Introduction to Geometric 

Modeling 

32 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Surfaces of Revolution 

 

Profile (

geratriz

) 

Axis (

Eixo de rotação

) 

 

M.Ventura 

Introduction to Geometric 

Modeling 

31 

---

18 

 

  

Elementary Primitive Shapes 

 

•

 

Box 

•

 

Cone 

•

 

Cylinder 

•

 

Sphere 

M.Ventura 

Introduction to Geometric 

Modeling 

34 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Grid Interpolation 

 

•

 

Surface generated from a regular grid of curves 

•

 

Provide a better control over the inner shape of the surface 

M.Ventura 

Introduction to Geometric 

Modeling 

33 

---

19 

 

  

Surface Analysis - Contours 

 

Contours 

M.Ventura 

Introduction to Geometric 

Modeling 

36 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Shading 

M.Ventura 

Introduction to Geometric 

Modeling 

35 

Surface Analysis 

- Shading

 

---

20 

 

  

Surface Analysis 

–

 Curvature