T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

p
  va 
f(b
) = 
q
  qiymatlarga ega bo'lsa,  u holda 
p
  va 
q
  sonlar orasidagi  ixtiyoriy 
d
  son 
uchun shunday с nuqta 
(a < с < b)
 topilib, 
f(c) = d
 bo'ladi.
Isbot.  0  Faraz  qilaylik, 
p < d < q
  bo'lsin.  Yordamchi 
cp(x
) = 
f(x
) — 
d 
funksiyani  olamiz.  Bu, 
(p(x
)  funksiya Bolsano-Koshining birinchi  teoremasining 
barcha shartlanni qanoatlantiradi:


  funksiya  [
a;b]
  segmentda uzluksiz bo'ladi,  chunki, 
у
 = 
f(x)
  va 
у
 = 
d
 funksiyalar [a; b] da uzluksiz.


  = /(a ) 
- d = p - d <
 0, 
cp(b) = f(b) - d = q - d >
 0.
Shuning uchun 
(a;b)
 interval da shunday 
с
 nuqta topiladiki, cp(c)=0 yoki 
J{c)- 
d=
 0, 
ya.'hi J(c)=d
bo'ladi.
Demak, 
[a;b]
  da uzluksiz bo'lgan funksiya o'zining, ixtiyoriy  ikki  qiymati 
orasidagi barcha qiymatlami qabul qiladi. ♦
4.28-natija.  Agar Дх)  funksiya 
X
 oraliqda  uzluksiz  bo'lsa,  u holda  uning 
qiymatlari to'plami ham oraliq bo'ladi, ya’niy(x)  funksiyaning qiymatlar to'plami 
E(f)
 oraliq bo'ladi.
Isbot. 4-37-masala.
107

---

4-25. /(x) funksiyani a) [0;  2]; b) [—3; 1]; c) [4; 5] kesmalarda uzluksizlikka 
tekshiring,  bu  yerda  1)  / (x )  = 
2)/(x)  = - +^ _ 3;  3) 
f{x
)  = l n ^ ;   4)
/(x )  = Vx2 — x — 20.
4-26.  Berilgan  intervalda  uzluksiz  va  chegaralanmagan  funksiyaga  misol 
keltiring.
4-27.  [a
;b]
  kesmada  aniqlangan  va  chegaralanmagan  funksiyaga  misol 
keltiring.
4-28.  Biror tobplamda uzluksiz 0 va 2 qiymatlami qabul qiladigan, lekin  1  ni 
qabul qilmaydigan funksiyaga misol keltiring.
4-29.  [0; 1)  va  [1; 2]  oraliqlaming  har  birida  uzluksiz,  lekin  ulaming 
birlashmasida, ya'ni [0; 2] kesmada uzluksiz boimagan funksiyaga misol keltiring.
4-30.  (a
,b)
  intervalda  uzluksiz  boMgan  /(x)  funksiyaga  misol  keltiringki, 
uning qiymatlar to‘plami a) interval;  b) kesma; c) yariminterval boMsin.
4-31  Berilgan kesmada eng katta va eng kichik qiymatlami va ular orasidagi 
barcha  qiymatlami  qabul  qiladigan,  lekin  shu  kesmada  uzluksiz  bo‘lmaydigan 
funksiyaga misol keltiring.
4-32.  Har  bir  uchinchi  darajali  ko‘phadning  kamida  bir  haqiqiy  ildizi 
mavjudligini isbotlang.
4-33.  Agar /(x)  funksiya berilgan  oraliqda uzluksiz boMsa,  u holda  |/(x)| 
funksiya ham shu oraliqda uzluksiz bo‘lishini isbotlang.
4-34.  [a;b]  da  uzluksiz  boMmagan  shunday 
f(x)
 
funksiyaga  misol 
keltiringki, |/(x)| shu kesmada uzluksiz boMsin.
4-35. /(x ) funksiya [a,b] kesmada aniqlangan, uzluksiz va musbat qiymatlar 
qabul qilsin. U holda shunday