T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

x
 ga berilgan 
fix')
 + 
g(x)
  sonni mos qoyish 
natijasida  yangi  funksiyani  hosil  qilamiz.  Bu  funksiya  /   va 
g
  funksiyalaming 
yig‘indisi deyiladi va 
f  + g
 kabi belgilanadi. Shunday qilib, 
(f
 + 
g)(x)
  = / (
x)
 + 
g(x).
  Shunga  o'xshash  bu  funksiyalaming  ayirmasi,  ko'paytmasi  va  boMinmasi 
(g(x) Ф
 
0
 boMgan nuqtalarda) mos ravishda quyidagicha aniqlanadi: 
(f — g)(x)  =
f(x) -
 sM, a  • 
g )W  = fix) ■
 g(x),  (£)
 (*) = Щ
Masalan, 
f(x)
  = 
x2, g(x) = x2
  + 
x
 funksiyalar 
X
- R   da berilgan boMsa,  u 
holda  ( /  + £)(*)  = 
2x2
 + 
x,  (J - g)(x)
  = 
-x,  (Jg)(x)
  = 
+ x
3
  lar 
X
  da,
(~) (*)  = 
esa (—
00
, —l )  и (—1,0) U (0, +
00
) da funksiya boMadi.
Funksiyalar  ustida  yana  bir  amalni,  funksiyalar  kompozitsiyasi  amalini 
aniqlash mumkin.
3. Murakkab funksiya. Funksiyalar kompozitsiyasi.
3.6-ta’rif.  Aytaylik, 
u=tp(x)
 funksiya 
X
 to‘plamda aniqlangan  va  qiymatlar 
to‘plami 
E(

 boMsin. Shuningdek, у = /(u ) funksiya 
E((p)
 to‘plamda  aniqlangan 
boMsin. U holda у=Д^д:)) funksiya 
X
 to‘plamda aniqlangan 
murakkab funksiya
 yoki 
(p
 va/
funksiyalaming kompozitsiyasi
  deyiladi  va 
f  ° 

  orqali  belgilanadi: 
(J
 °
Ф){х)
  = /ООО)-
60

---

12
-rasm
3.7-izoh.  Ta’rifdagi 
X
  to‘plam 
и
 = 


  funksiyaning  tabiiy  aniqlanish
sohasiga teng boMishi  shart emas.  Masalan,  u = 
= 1 — x2, у = f( u
)  = Vu 
boMsin.  u  = 
1 - x 2
  funksiyaning  tabiiy  aniqlanish  sohasi  (-
00
; +
00
),  unga  mos 
qiymatlar to‘plami (—
00
,
1
]. Bu to‘plamda 
f(u )
  = Vu funksiya aniqlanmagan.
Lekin 
X =
  [—1,1] deb olsak, 
E(cp)
  = [0,1] boMadi va bu to‘plamda 
f(u ) = 
Vu  funksiya  aniqlangan.  Demak, 
X =
 [-1,1]  to‘plamda 
f(

  = Vl - x
2 
murakkab funksiya aniqlangan.
Mashq va masalalar
3-1. 
f(x)  =  x3
  - 
3x
 funksiya benlgan. Quyidagilarni toping:
0
/ (
1
)
3 ) / ( - V 5 ) .
5)/(3x).
2)A - 3). 
4 
)f(-x).
8
) / ( b -
2
).
Berilgan funksiyalaming aniqlanish sohasini toping (2-1
1
):
3-4 
fix )
  = log
3
(-x) 
3-5. 
fix )
  = 
Vx2 -7x + W
3-6. 
fix )
  = x
2
 
+ tgx
 
3-7 
fix )
  = Vx — 7 + V
10
 - x
61

---

3-8./М = - p § =  
3-9  /(дг) =  й
+ 2
 +
3-10 ./(*)  = 
e 'x
 ■
 log2(2 - 3x)  3-11. 
f(x)
  = arccos(x - 2) - ln(x - 2) 
Berilgan funksiyalaming qiymatlar to‘plamini toping (12-17):
3-12. / (* ) 
=
x
2-Q
x
 + 20
 
3-13. 
f(x)
  = 3
~*2
3-14. 
fix ) = 2
 sin* — 7 
3-15./(x)  = - + 4
3-16./(x) 
= -arctgx
 
3-17. / (* )  = 
+ 2
Berilgan funksiya grafigini chizing (18-21):
| -
1
, agar jc < 
0
 bo'lsa,
3-18. 
signx={
 0, agar 
x =
 0 bo'lsa,  (x mng ishorasi)
^
1
, agar x
> 0
 bo'lsa.
3-19. a) v=[x] 
(x
 ning butun qismi). 
Ь)>»={л:} (jc ning kasr qismi)
3-20 
f(x~\
 = (  * ’ 
адаГ
 ° - 
x ~
 
1
 
bo'lsa- 
{2 — x, agar
 
1
 < 
x
 < 
2
 
bo'lsa.
3-21
 
qix)=\  '/*>a9ar0
 ^  
x < 1 bo'lsa,
12
 — 
x, agar 1 < x < 2  bo'lsa.
f
 (*) va 
g(x)
 funksiyalar berilgan. 
f  + g ,f  - g , fg, f/g
 va 
g /f 
funksiyalaming aniqlanish sohasini toping. Ulami qiymatlarini hisoblash uchun 
formula yozing (22-23):
3-22 
.f(x)
  = 
x, g(x)
  = 
y jx - l 
3-23. 
f(x)
  = VI - 
x, g(x) = VTTx
3-24. Agar 
f(x) = x + 5
 va
g(x) = x2 -
 3 bo‘lsa, quyidagilami toping:
a) / ° ^ ( 0 ) ;  
b ) / e / ( - 5 ) ; 
c)g°g ix ); 
d ) g o f
(x); 
e)
0
(/( 
0
)) 
t)g(g(2))-,
 
g) / ( / ( * ) ) ; 
h)/ (* (* )).
3-25 . Berilgan f va g funksiyalar uchun 
f  о fix);  f
 ° 
g(x);  g
 ° 
g{x))  g о 
f
 (л:) murakkab funksiyalami tuzing va ulaming aniqlanish sohalarini toping (26- 
28):
62

---

3-26./(*) =  i   * ( * ) = £ .
3-27/0) = jlj, s (x) = V3TTT.
3-28./(дг) = 
д(х)
  = scm(x)
3-29.  13-rasmda aniqlanish sohasi 
[0,2], qiymatlar tolplami [
0
,
1
] boMgan 
f
 (x) funksiya grafigi berilgan. Quyidagi 
funksiyalaming aniqlanish sohasi va 
qiymatlar to‘plamini toping, grafigini chizing: 
13-rasm
a )f(x ) +
 
1
; 
b ) f( x ) -
 
2
; 
c) f(x +
 
1
);
d )f(x -
 
2
);  e ) - / ( * ) ;  
f) f(-x);  g ) l + f ( x - l
).
3-§. Funksiyalaming muhim sinflari 
1. 
Chegaralangan va chegaralanmagan funksiyalar
3.8-ta’rif. Agar 
X
 to‘plamda aniqlangan 
fix)
 funksiya uchun shunday 
b
 son 
mavjud  boMib,  ixtiyoriy 
xeX
 lar  uchun 
fix)
  tengsizlik  bajarilsa, 
fix)
  funksiya 
yuqoridan chegaralangan deyiladi.
3.9-misol. 
f{x)
  = 
^ ^ 7
  funksiya  X  = (—
oo; 
-f 
oo) 
oraliqda  yuqoridan 
chegaralangan ekanligini isbotlang.
Yechish. X dan olingan ixtiyoriy 
x
 uchun 
x2
  > 0, bundan 
^ 7
 <  1 boMadi. 
Demak,  shunday  1  soni  mavjudki,  X = (—
00
; +
00
)  oraliqdan  olingan  ixtiyoriy 
x 
uchun 
f(x)  =
 
<  1 o‘rinli. Bu berilgan funksiyaning yuqoridan chegaralangan 
ekanligini isbotlaydi.
3.10-ta’rif. Agar 
X
 to‘plamda aniqlangan 
fix)
 funksiya uchun shunday 
a
 son 
mavjud boMib, ixtiyoriy 
xeX\ai
 uchun 
f(x) > a
 tengsizlik bajarilsa,/jc) funksiya 
quyidan chegaralangan deyiladi.
3.11-misol./(* )  = 
^“ 7
  funksiya  X =  (-
00
; +
00
)  oraliqda  quyidan 
chegaralangan ekanligini isbotlang.
63

---

Yechish. 
X
  dan  olingan  ixtiyoriy 
x
  uchun 
x2 +
 1 > 0  boMganligi  sababli 
> 0  boMadi.  Demak,  shunday  0  soni  mavjudki, 
X
 = (—oo; +oo)  oraliqdan
olingan  ixtiyoriy 
x
  uchun 
f(x)
  = 
^ 7
 > 0  o‘rinli.  Bu  benlgan  funksiyaning 
quyidan chegaralangan ekanligini isbotlaydi.
3.12-ta’rif.  Agar 
f(x)
  funksiya 
X
 to'plamda  ham  quyidan,  ham  yuqoridan 
chegaralangan boMsa, u shu to‘plamda 
chegaralangan
 funksiya deyiladi.
Y uqorida qaralgan funksiya uchun  0  < 
- ^ 7
 <  1 barcha 
x EX
 larda o'rinli. 
Demak, berilgan funksiya chegaralangan.
Geometrik nuqtai nazardan quyidan chegaralangan funksiyaning grafigi, biror 
to'g'ri  chiziqdan  yuqorida  (14-a)  rasm),  yuqoridan  chegaralangan  funksiyaning 
grafigi biror to‘g‘ri chiziqdan pastda joylashgan boMadi. (14-6) rasm).
14-rasm
2. Juft va toq funksiyalar.
3.13-ta’rif. Agar ixtiyoriy 
xeX
uchun 
f(- x
)  = 
f(x)
 boMsa, u holda
7
(x) 
juft 
funksiya
 deyiladi.
3.14-ta’rif.  Agar ixtiyoriy 
xeX
 uchun / ( —
x)
  = — 
f(x)
  boMsa,  u holda 
fix) 
toq funksiya
 deyiladi.
Bu ta riflardagi 
f ( —x)  = f(x),  f ( —x)
  = 
—f(x)
  shartdan  agar funksiya 
x 
nuqtada aniqlangan boMsa, uning 
-x
 nuqtada ham aniqlangan boMishi kelib chiqadi.
3.15-ta’rif.  Agar  ixtiyoriy 
xeX
  uchun 
-xeX
  boMsa,  u  holda 
X
  to‘plam 
simmetrik to 'plant (O
 nuqtaga nisbatan) deyiladi.
64

---

Masalan, 
Хг
  = (—
2
; 
2
), 
X2
  = (—
1
00
; +
00
),Л
3
  =  [—1; 1] 
lar  simmetrik 
to'plamlar, 
X4 =
  [—2; 
2),X5
  =  (1; +
00
) simmetrik bo‘lmagan to‘plamlar bo'ladi.
Shunday  qilib,  Дх)  funksiya  toq  yoki juft  bo'lishi  uchun  uning  aniqlanish 
sohasi simmetrik to‘plam bo'lishi zaruriy shart ekan.
3.16-misol.  Ushbu funksiyalami toq-juftlikka tekshiring:  a) 
fix )
  = 
x2 -
 
1
; 
b) 
fix ) = yjx
 - 
1
; c) 
f{x)
  = 
Mx -
 
1
.
Yechish.  a) 
fix )
  = 
x2 —
 
1
  funksiyaning  aniqlanish  sohasi  barcha haqiqiy 
sonlar to'plamidan iborat, demak, simmetrik to'plam. / ( —x) = (—
x)2
 — 
1
  = 
x2 -
1 
— fix).
 Bundan 
fix )
  = 
x2 —
 1 juft funksiya.
b) 
fix ) =yjx-
 
1
  funksiyaning  aniqlanish  sohasi  [l;+oo).  Ravshanki,  u 
simmetrik to'plam emas. Demak, 
fix )
  = 
\Jx-
 
1
 toq ham emas, juft ham emas.
c)  / ( * )  = 
yjx-1
  funksiyaning  aniqlanish  sohasi  barcha  haqiqiy  sonlar 
to'plamidan  iborat,  demak,  simmetrik  to'plam.  / ( —