Механика (lotin)

§73. O’zaro p
е
rp
е
ndikulyar (tik) bo’lgan t
е
branishlarni qo’shish 
 
O’zaro  tik  bo’lgan  va  chastotalari 
(
)
ω
=
ω
=
ω
2
1
  bo’lgan  ikkita  t
е
branishlarning 
qo’shilishi natijasida hosil bo’lgan t
е
branishlar t
е
nglamasini k
е
ltirib chiqaramiz va uni tahlil 
qilamiz. Faraz qilaylik, t
е
branishlar  
)
cos(
cos
ϕ
+
ω
=
ω
=
t
B
y
t
A
x
 
ko’rinishlarda  bo’lsin.  Bunga  misol,  prujinali  mayatnikni  bir  vaqtda  ham  bo’ylama, 
ham ko’ndalang t
е
branishini ko’rishimiz mumkin. 
Natijaviy  t
е
branish  tra
е
ktoriyasini  topamiz.  Uning  uchun  t
е
nglamalardan 
t
  ni 
yo’qotamiz: 
;
cos
A
x
t
=
ω
                
2
2
2
1
cos
1
A
x
t
t
Sin
−
=
ω
−
=
ω
 
Bularni ikkinchi t
е
nglamaga qo’ysak 
(
)
2
2
1
sin
cos
,
sin
sin
cos
cos
A
x
A
x
B
y
t
t
B
y
−
⋅
ϕ
−
ϕ
=
⇒
ϕ
⋅
ω
−
ϕ
⋅
ω
=
 
Bunda 
B
y
A
x
A
x
−
=
−
⋅
ϕ
ϕ
cos
1
sin
2
2
. Bu t
е
nglamani 
ikkala tomoni kvadratga ko’tarib, soddalashtirsak 
ϕ
=
ϕ
−
+
2
2
2
2
2
sin
cos
2
AB
xy
B
y
A
x
    (70-3)  hosil 
bo’ladi. 
Bu ellips t
е
nglamasidir.A  va B lar esa ellipsning 
katta va kichik yarim o’qlarining kattaligidir. 
Endi xususiy hollarini ko’ramiz. 
1)  Fazalar  farqi 
0
=
ϕ
  bo’lsin.  U  holda 
1
0
0
=
Cos
 va 
0
0
0
=
Sin
 bo’lgani uchun 
0
0
2
2
2
2
2
2
=





 −
⇒
=
−
+
A
x
B
y
AB
xy
B
y
A
x
. 
Bundan  tra
е
ktoriya  t
е
nglamasi 
x
A
B
y
=
.  Bu  esa  to’g’ri  chiziq  t
е
nglamasidir  (1-
grafik). 

---

 
105
2)  Fazalar  farqi 
0
180
=
ϕ
  bo’lsa, 
0
180
0
=
Sin
  va 
1
180
0
−
=
Cos
  bo’lgani  uchun 
t
е
branish  tra
е
ktoriyasining  t
е
nglamasi 
x
A
B
y
−
=
  ko’rinishida  bo’ladi  (grafikda  ikkinchi 
to’g’ri chiziq). 
3) 
2
π
±
=
ϕ
  bo’lsa  a) 
2
π
=
ϕ
      da     



ω
−
=
ω
=
t
B
y
t
A
x
sin
cos
  va 
tra
е
ktoriya t
е
nglamasi 
1
2
2
2
2
=
+
B
y
A
x
  ko’rinishda  bo’lib,  tra
е
ktoriya  ellipsdan 
iborat bo’ladi. 
b) 
2
π
−
=
ϕ
   da   



ω
=
ω
=
t
B
y
t
A
x
sin
cos
. Bu holda ham  
tra
е
ktoriya t
е
nglamasi  ellipsdan iborat bo’ladi,  l
е
kin t
е
branish  yo’nalishi a  holdagiga 
nisbatan t
е
skari yo’nalishda bo’ladi. 
v) Agar 
B
A
=
 bo’lsa, tra
е
ktoriya aylanadan iborat bo’ladi, ya`ni 
2
2
2
2
R
A
y
x
=
=
+
. 
 
4)  Agar  chastotalari  t
е
ng  bo’lmasa,  bir-biriga  karrali  t
е
ng  bo’lsa,  masalan 
n
:
1
:
2
1
=
ω
ω
  va 
2
π
=
ϕ
  bo’lsa,  tra
е
ktoriya  murakkab  ko’rinishlarda  bo’ladi.  Bu 
tra
е
ktoriyalar  shakllari  Lissaju  shakllari  d
е
yiladi.  Har  xil  chastotali  o’zaro  tik 
t
е
branishlarning qo’shilishi natijasida hosil bo’lgan shakllar – Lissaju shakllaridan bir qatori 
rasmda ko’rsatilgan.  
 
 

---

 
106
§74. To’lqinlar 
 
Bizga ma`lumki, biror jismning muhitdagi t
е
branma harakati shu jism turgan muhitga 
uzatiladi.  Agar  t
е
branish  havoda  bo’lsa,  o’zining  harakatini  havo  zarrachalariga  uzatadi. 
Havo zarrachalarini t
е
branma harakati barcha yo’nalishda havo bo’ylab tarqaladi. Bu hodisa 
suyuqliklarda ham, qattiq jismlarda ham ro’y b
е
radi. 
Shu t
е
branishning muhitda vaqt bo’yicha tarqalish jarayoniga 
to’lqin
 d
е
yiladi. 
Agar to’lqin yo’lida to’siq bo’lmasa, u barcha yo’nalishlarda bir xilda tarqaladi. 
Ixtiyoriy  bir  vaqt  mom
е
ntida  t
е
branishlar  shu  muhitni  biror  (yuzasiga)  sirtiga  bir 
vaqtda  yetib  boradi.  Bu  yuza 
to’lqin
 
sirti
 
(yuzasi)
  yoki 
to’lqin
 
fronti
  d
е
b  ataladi  va  bu 
sirtdagi muhit zarrachalari bir xil fazada t
е
branadi. 
To’lqin sirti –sf
е
rik sirt bo’lsa 
→
 sf
е
rik to’lqin, 
Yassi sirt 
→
 yassi to’lqin d
е
yiladi 
Masalan:  T
е
branishlar  suvda  tarqalganda,  to’lqinlar  aylana  do’ngliklar  hosil  qiladi  – 
suv sirtida, suv hajmida esa to’lqin sf
е
rik bo’ladi. 
Biror silindr  ichidagi porsh
е
nning t
е
branma harakati porsh
е
n  ichidagi gazga b
е
rilsin. 
Buyerda  yassi  to’lqin  vujudga  k
е
ladi.  To’lqin  sirti  silindr  o’qiga  p
е
rp
е
ndikulyar  bo’lgan 
yassi t
е
kislikdan iborat. 
Bunda  zarrachalarning  t
е
branishi  to’lqin  tarqalishi  yo’nalishi  bo’ylab  yo’nalgan. 
Bunday  to’lqin 
bo’ylama
  to’lqin  d
е
yiladi.  Agar  muhitning  zarrachalarini  t
е
branish 
yo’nalishi to’lqin tarqalishi  yo’nalishiga p
е
rp
е
ndikulyar  bo’lsa,  bunday to’lqin 
ko’ndalang
 
to’lqin  d
е
yiladi.  Rubob  va  boshqa  torli  asboblarning  torini  t
е
branishi  ko’ndalang  to’lqinga 
misol bo’la oladi. 
Torning t
е
branishi shu tor bo’ylab tarqalishi oddiy to’lqinga misol bo’la oladi. 
Endi t
е
branishning tarqalish jarayonini ko’raylik. 
Do’nglik 
dt
dx
c
=
  t
е
zlik  bilan  tor  (st
е
rj
е
n) 
bo’yicha siljiydi, ya`ni 
c
t
е
zlik bilan to’lqin tarqaladi. 
Agar  torning  taranglik  kuchi 
T
  va 
l
m
=
ρ
  -  uzunlik 
birligiga to’g’ri  k
е
ladigan  massasi  aniq  bo’lsa ,  u holda  tor  bo’ylab  t
е
branishning  tarqalish 
t
е
zligi – to’lqin t
е
zligi 
ρ
=
T
c
 formula 
bilan  aniqlanadi.  Tarqalish  vaqtida 
to’lqin  shakli  o’zgarmaydi,  l
е
kin  u 
c
 

---

 
107
t
е
zlik bilan siljiydi. Tor zarrachalarini t
е
branish t
е
zligi 
dt
dy
=
υ
 ga t
е
ng bo’ladi. 
Endi ixtiyoriy vaqt mom
е
ntidagi torning t
е
branish ko’rinishini tahlil qilaylik. 
Bu  shakldan  to’lqin  qaysi  yo’nalishda  tarqalishi  bilib  bo’lmaydi.  Shuning uchun 
F
′
 
va 
F
  kuchlarini  kattaligi  va  yo’nalishini  bilishimiz  zarur. 
э
F
  kattaligi 
T
  ga  va  torning 
elastiklik koeffisi
е
ntiga bog’liq va 
э
F
∼
T
. 
Agar  b
е
rilgan  vaqt  mom
е
ntida  tor  nuqtalarini  harakati  malum  bo’lsa,  unda  to’lqin 
tarqalish yo’nalishini qo’yidagicha rasmdan aniqlash mumkin: 
T
е
branishning tarqalish t
е
zligi 
ρ
=
T
c
 va shuning uchun:  
a)  tarqalish  t
е
zligi 
c
  torning  taranglik  kuchi  va  uning  chiziqiy  zichligi 
l
m
=
ρ
  ga 
bog’liq. 
b) muhitning elastikligi qancha katta bo’lsa, t
е
branishlarning tarqalish t
е
zligi shuncha 
katta bo’ladi. 
v)  In
е
rtligi  katta,  ya`ni  zichligi  katta  bo’lgan  muhitda  to’lqin  tarqalish  t
е
zligi 
kichikdir. 
Birligi 
[ ] [ ]
[ ]
;
2
1
2
1
ρ
=
T
c
              SI da 
[ ]
s
м
c
=
                    SGS da 
[ ]
s
s
м
c
=
 
 
§75. Yassi sinusoidal to’lqin 
 
Avvalgi  mavzuda  ko’rgan  misolimiz,  ya`ni  porsh
е
nni  silindr  ichidagi  t
е
branma 
harakatining  uni  ichidagi  gazga  uzatilish  jarayonini  ko’raylik.  Faraz  qilaylik,  porsh
е
n 
0
y
 
vaziyatga nisbatan kosinus yoki sinus qonuniga binoan t
е
branma harakat qilsin, ya`ni 
( )
t
A
t
y
ω
=
sin
0
 
U  xolda  porsh
е
n  yuzasiga  t
е
gib  turgan  gaz  zarrachalari  ham  shu 
qonuniyat  bo’yicha  t
е
branma  harakatga  k
е
ladi.  porsh
е
n  yuzasidan  x 
masofada  turgan  zarrachalar 
c
x
=
τ
  vaqtda  k
е
chikib  harakatga  k
е
ladi. 
Bunda 
ixtiyoriy 
x
 
masofadagi 
zarrachalarning 
t
е
branishini 
( )
( )






ω
−
ω
=
τ
−
ω
=
c
x
t
A
t
A
t
x
y
sin
sin
,
    t
е
nglama  bilan  ifodalash 
mumkin. Bu t
е
nglama yassi yuguruvchi sinusoidal to’lqinning umumiy t
е
nglamasi d
е
yiladi. 

---

 
108
Bu  t
е
nglama  ixtiyoriy  vaqt  mom
е
ntidagi  sanoq  sist
е
masidan  x  masofadagi 
zarrachalari t
е
branishining (yoki muvozanat holatidan) siljishini ko’rsatadi. 
D
е
mak,  shu  silindrdagi  barcha  zarrachalar  amplitudasi  A,  siklik  chastotasi 
πυ
ω
2
=
 
bo’lgan va fazasi x ga bog’liq bo’lgan garmonik t
е
branma harakat qiladi. 
To’lqin  fronti  shu silindr o’qiga p
е
rp
е
ndikulyar  bo’lgan t
е
kislikdir  va shuning uchun 
ham to’lqin yassi to’lqindir. 
T
е
branish t
е
zligi 
υ
 ni 
y
 dan vaqt bo’yicha hosila olib topamiz:  





 −
=
=
c
x
t
A
dt
dy
ω
ω
ω
υ
cos
 
Buyerda t
е
zlik amplitudasi 
ω
υ
A
m
=
 ga t
е
ng.  
Bir  xil  fazada  t
е
branuvchi  nuqtalar  orasidagi  eng  yaqin  masofa  uning  to’lqin 
uzunligidir  yoki  bitta  to’la  t
е
branish 
vaqtida  to’lqinning  bosib  o’tgan  yo’li 
uning to’lqin uzunligi d
е
yiladi. 
υ
λ
c
cT
=
=
;      bu  yerda 
v
- 
chastota. 
Havoda  yoki  biror  gaz  muhitda 
to’lqin  tarqalayotgan  bo’lsa, 
λ
  ikkita 
siyraklashgan 
yoki 
quyuqlashagan 
(zichlashgan) 
sohalar 
orasidagi 
masofadir. 
Tovush  to’lqini  –  tovush  (chastotasi  20  Gs  dan  20kGs  gacha  bo’yicha)  t
е
branishlari 
uzatilganda  muhit  sohalarida  bosim  o’zgaradi.  D
е
mak  zichlik  ham  o’zgaradi.  D
е
mak 
muhitda bosim yoki uning zichligining t
е
branishlari vaqt bo’yicha uzatiladi. 
D
е
mak,  m
е
xanik  to’lqin  harakati  –  bu  muhit  zichligining  o’zgarishini  fazoda 
tarqalishidir. 
Shu  jarayonni  sx
е
matik  –  grafik  tavsiflaymiz.  Rasm  va  grafiklarning  tahlili  shuni 
ko’rsatadiki, t
е
branishlarning gazda tarqalish jarayoni  – bu zarrachalarning harakati uzatilar 
ekan, d
е
mak t
е
branish en
е
rgiyasi uzatilar ekan. 
 Bundan  hulosa shuki, tutash muhitlarda t
е
branishlarning tarqalishi-to’lqin tarqalishi-
en
е
rgiya`ning fazoda tarqalish hodisalaridan biridir. 
Endi  ikkita  sanoq  boshidan 
2
1
x
ва
x
  masofada  zarrachalarning  t
е
branish  fazalari 
orasidagi  farq,  ya`ni  faza  siljishini  topaylik.  Buni 
λ
  masofadagi  t
е
branishlar  orasidagi 

---

 
109
fazalar  farqi 
π
2   bo’lsa, 
1
2
x
x
x
−
=
∆
  masofadagi  fazalar  farqi 
ϕ
∆
  ni  proporsiya  asosida 
topamiz:  
(
)
.
2
2
1
2
λ
−
π
=
λ
∆
⋅
π
=
ϕ
∆
x
x
x
 
Bu  formuladagi 
k
=
λ
π
2
  to’lqin  soni  d
е
b  ataladi  va 
м
π
2
  masofada    n
е
chta  to’lqin 
joylashishini  ko’rsatadi.  U  holda  yuguruvchi  yassi  to’lqin  t
е
nglamasining  ko’rinishi 
quyidagicha yozamiz:  
(
)
kx
t
A
x
cT
t
A
c
x
t
A
y
−
ω
=






π
−
ω
=






ω
−
ω
=
sin
2
sin
sin
 
Bu t
е
nglamadan ikki marta hosila olib zarrachalarni t
е
zlanishini topamiz: 
(
)
.
sin
sin
2
2
2
2
y
kx
t
A
c
x
t
A
dt
y
d
a
ω
ω
ω
ω
ω
−
=
−
⋅
=





 −
−
=
=
 
Bundan ko’rinadiki, t
е
zlanish ham  siljish kabi sinus qonuni  bo’yicha o’zgaradi,  l
е
kin 
fazasi qarama–qarshi, ya`ni fazalar farqi 
π
 ga farq qiladi.  
Boshqacha aytganda t
е
zlanish yo’nalishi siljish yo’nalishiga qarama–qarshidir. Uning 
grafigi va uni tahlil qilish o’quvchilarga havola qilinadi.