Механика (lotin)

§ 69. So’nuvchan t
е
branma harakat 
 
Tabiatda harakatlarning d
е
yarli hammasi, agar unga davriy kuch ta`sir qilib turmasa, u 
so’nadi. Oddiy t
е
branma harakatlar uchun ko’rgan misollarda F
u
≠
0 bo’lsin. 
υ
~
u
F
  ga  murakkab  bog’langan.  L
е
kin  t
е
branish 
t
е
zligi juda kichik bo’lgani uchun 
υ
~
u
F
, ya`ni 
F
u 
≈
 h
x
&
 (66-1) 
Buyerda 
h-ishqalanish 
koeffisi
е
nti 
(qarshilik 
kuchining koeffissi
е
nti). Eng  sodda t
е
nglamani t
е
branma 
harakat,  bu  prujinali  mayatnik  harakatidir.  Uning  uchun 
harakat t
е
nglamasi. 
x
h
kx
x
m
&
&
&
−
−
=
 
(66-2) 
ko’rinishda 
bo’ladi. 
T
е
nglamani m ga bo’lib 
m
h
ва
m
k
2
2
0
=
=
α
ω
 
(66-3) 
(
α
- 
so’nish 
koeffisi
е
nti)  b
е
lgilashlar  kiritsak,  harakat  t
е
nglamasining 
ko’rinishi 
0
2
2
0
=
ω
+
α
+
x
x
x
&
&
&
  shaklda  bo’ladi.  Buning 
yechimi: 
(
)
0
cos
ϕ
ω
α
+
=
−
t
Ae
x
t
. Bu yerda siklik chastota 
ω
 
2
2
0
δ
−
ω
=
ω
 yoki 
2
2
4
m
h
m
k
−
=
ω
 (66-4) ga t
е
ng bo’ladi. 
ω
π
=
2
T
 
(66-5) so’nuvchi t
е
branishlarning shartli t
е
branish davridir. 
α
  -  bu  yerda  so’nishning  t
е
zligini  bildiruvchi  so’nish  koeffisi
е
nti  d
е
yiladi.  D
е
mak, 
m
h
2
=
α
 bo’lgani uchun 
→
h
 bilan 
→
α
 ortadi. 
So’nishning t
е
zligini ko’pincha t
е
branish soniga qarab baholashda so’nish koeffisi
е
nti 
bilan emas, balki, so’nish d
е
kr
е
m
е
nti (logarifmik d
е
kr
е
m
е
nt) bilan baholanadi. 

---

 
101
D
е
kr
е
m
е
ntning  katta-kichikligiga  qarab,  n
е
cha  marta  t
е
brangandan  so’ng  uning 
muvozanat holatidan siljishining n
е
cha marta kamayishi bilan baholanadi. 
Agar 
1
t
 mom
е
ntda uning
 
siljishi
 
1
x
 bo’lsa, ya`ni  
(
)
0
1
1
1
cos
1
ϕ
+
ω
=
α
−
t
Ae
x
t
 
(66-6)
 
va 
T
t
x
+
=
1
2
 dan so’ng 
2
x
 bo’lsin: 
(
)
π
+
ϕ
+
ω
=
α
−
2
cos
0
1
1
2
2
t
Ae
x
t
 va 
1
1
2
2
t
t
+
ω
π
=
 
(
)
1
1
2
cos
0
1
1
2
T
t
e
t
Ae
x
α
−
α
−
⋅
π
+
ϕ
+
ω
=
 
(
)
1
1
1
2
cos
0
1
1
2
T
T
t
xe
t
Ae
x
α
α
α
π
ϕ
ω
−
−
−
=
+
+
=
 bundan 
1
2
1
T
e
x
x
α
=
 (66-7) 
yoki 
θ
−
=
e
x
x
2
1
.  Buyerda 
1
T
α
=
θ
  -  so’nishning  logarifmik  d
е
kr
е
m
е
ntidir. 
θ
  -  ning 
ifodasi       
2
1
ln
x
x
=
θ
 
(66-8). 
Shunday  qilib,  so’nish  d
е
kr
е
m
е
nti,  k
е
tma-k
е
t  ikkita  bir  tomonga  siljishlarning 
kattaliklari nisbati natural logarifmiga t
е
ng ekan. 
Agar 
2
x
 
1
NT
 vaqtdan k
е
yin bo’lsa, u holda 
θ
=
N
x
x
N
1
ln
 
t
е
ng
 
(66-9). 
Chunki 
θ
α
=
=
N
T
N
N
e
e
x
x
1
1
 
bo’lgani
 
uchun. Bundan 
N
x
x
N
1
ln
=
θ
 
bo’ladi
. 
U
 
ifodadan
 
N
x
x
N
1
ln
1
=
θ
 
(66-10). 
N
  marta  t
е
brangandan 
k
е
yingi siljish orqali 
θ
ni shu ifoda yordamida hisoblash mumkin. 
 
§70. Majburiy t
е
branish va r
е
zonans 
 
Tashqi davriy ravishda ta`sir qiluvchi kuch ta`sirida bo’ladigan 
t
е
branishlarga  majburiy  t
е
branishlar  d
е
yiladi.  Majburiy  t
е
branish 
tashqi  kuch  chastotasi  bilan  t
е
branadi.  Bu  t
е
branishni  mat
е
matik 
mayatnik misolida ko’ramiz. Muvozanat holatiga qaytaruvchi kuch 
l
x
mg
mg
F
и
⋅
−
≈
α
=
sin
, chunki 
l
x
≈
α
=
α
sin
. 
Ishqalanish kuchi esa 
и
F
∼
x
v
&
=
 va 
x
h
F
и
&
−
=
 hamda tashqi ta`sir etuvchi kuch 
    
t
F
F
T
β
=
cos
0
 ga t
е
ng bo’lsin. 
Harakat t
е
nglamasini Nyutonning II qonuniga asosan 
 

---

 
102
t
F
x
h
kx
x
m
и
β
+
−
−
=
cos
&
&
&
 yoki 
t
F
x
h
x
l
mg
x
m
β
⋅
+
−
−
=
cos
0
&
&
&
 ko’rinishda yozamiz. 
T
е
nglamaning har ikki tomonini 
m
 ga bo’lsak, 
t
m
F
x
x
x
β
⋅
=
ω
+
α
+
cos
2
0
2
0
&
&
&
. Bu t
е
nglamaning yechimi 
(
)
ϕ
+
β
=
t
A
x
M
cos
  ko’rinishida  bo’ladi.  Bu  yerda 
β
  -  tashqi  kuch  chastotasi, 
M
A
  - 
majburiy t
е
branma harakat amplitudasi bo’lib, 
(
)
2
2
2
2
2
0
0
4
β
α
+
β
−
ω
=
m
F
A
M
 ga t
е
ng. 
β
=
ω
0
  bo’lganda,  ya`ni 
β
=
=
=
ω
m
k
l
g
0
  da  t
е
branish  amplitudasi  maksimumga 
intiladi, ya`ni r
е
zonans ro’y b
е
radi, ya`ni 
β
⋅
=
β
⋅
α
=
h
F
m
F
A
0
0
max
2
, 
0
→
h
 da 
∞
→
M
A
. 
D
е
mak,  tashqi  kuch  chastotasi  sist
е
maning  xususiy  chastotasiga  t
е
ng  bo’lganda 
sist
е
maning t
е
branish amplitudasini k
е
skin oshishiga r
е
zonans hodisasi d
е
yiladi. 
Amplitudaning  chastotaga  bog’liqligi,  ya`ni 
( )
ω
=
f
A
  egri  chizig’i  –  amplituda 
r
е
zonans egri chizig’i d
е
yiladi. 
 
§71. T
е
branishlarni qo’shish 
 
Bitta  X  o’qi  bo’ylab  tarqalayotgan  ikkita  chastotalari  bir  xil  bo’lgan  t
е
branishlarni 
qo’shilishidagi natijaviy t
е
branishlarning t
е
nglamasini k
е
ltirib chiqaramiz. 
Faraz qilaylik, t
е
branishlar kosinus qonuni bo’yicha o’zgarsin va 
)
cos(
),
cos(
20
2
2
10
1
1
ϕ
+
ω
=
ϕ
+
ω
=
t
A
x
t
A
x
  ko’rinishida bo’lsin.  
Buyerda 
1
A
  va 
2
A
  -  t
е
branishlar  amplitudasi,  va 
10
ϕ
  va 
20
ϕ
- boshlang’ich  fazalari. 
Natijaviy t
е
branishni 
)
cos(
2
1
y
t
A
x
x
x
+
ω
=
+
=
 ko’rinishida izlaymiz. 
Ixtiyoriy  vaqt  mom
е
ntida  t
е
branishlar  vaziyatlari  rasmda  ko’rsatilgan  vaziyatlarda 
bo’lsin.  U  holda  t
е
branishlarning  fazalari 
1
ϕ
  va 
2
ϕ
  bo’lsin.  U  holda  natijaviy  t
е
branish 
amplitudasini kosinuslar t
е
or
е
masidan foydalanib topamiz: 
)
cos(
2
1
2
2
1
2
2
2
1
ϕ
−
ϕ
+
+
=
A
A
A
A
A
 
Natijaviy t
е
branishning boshlang’ich fazasini ham chizmadan foydalanib  topamiz: 
2
2
1
1
2
2
1
1
cos
cos
sin
sin
ϕ
+
ϕ
ϕ
+
ϕ
=
=
∆
∆
=
ϕ
A
A
A
A
x
y
x
y
tg
 

---

 
103
Chunki 
1
1
1
sin
ϕ
=
A
y
   
2
2
2
sin
ϕ
=
A
y
 va 
1
1
1
cos
ϕ
=
A
x
,  
2
2
2
cos
ϕ
=
A
x
 ga t
е
ng. 
D
е
mak t
е
branishlarni qo’shishda 
(
)
ω
=
ω
=
ω
2
1
 avval natijaviy t
е
branish amplitudasi 
A ni so’ngra  boshlang’ich  faza 
ϕ
 ni  hisoblab, uni 
)
cos(
ϕ
+
ω
=
t
A
x
 ko’rinishida  yozamiz. 
D
е
mak,  ikkita  bir tomonga  yo’nalgan bir xil chastotali t
е
branishlarning  natijaviy t
е
branishi 
ham garmonik t
е
branish bo’lar ekan. 
 
§72. Titrash. T
е
pkili t
е
branish 
 
Faraz qilaylik, bitta yo’nalishdan ikkita chastotalari har xil 
l
е
kin  bir  –  biriga  juda  yaqin  bo’lgan t
е
branishlarni qo’shilishini 
ko’raylik. 
T
е
branishlar 
)
cos(
10
1
1
1
ϕ
+
ω
=
t
A
x
 
va 
)
cos(
20
2
2
2
ϕ
+
ω
=
t
A
x
  ko’rinishida  bo’lsin.  Natijaviy  t
е
branish 
)
cos(
)
cos(
20
2
2
10
1
1
2
1
ϕ
+
ω
+
ϕ
+
ω
=
+
=
t
A
t
A
x
x
x
  ni  umumiy 
ko’rinishini  tahlil  qilamiz.  Soddalik  uchun 
A
A
A
=
=
2
1
  va 
0
20
10
=
ϕ
=
ϕ
 
ω
=
ω
1
, 
ω
∆
+
ω
=
ω
2
  bo’lsin.  Shartga  ko’ra,  chastotalar  farqi 
ω
<<
ω
∆
  bo’lsin.  U  holda 
t
t
A
t
A
t
A
X
ω
⋅
ω
∆
=
ω
∆
+
ω
+
ω
=
cos
2
cos
2
)
cos(
cos
 bo’ladi. 
ω
ω
ω
≈
∆
+
2
2
 d
е
b hisoblaymiz. 
Natijaviy  t
е
branish  amplitudasi 
t
A
2
cos
2
ω
∆
  qonuniyat  bilan  o’zgaradi,  chastotasi 
ω
 
ga  t
е
ng  bo’ladi  va  t
е
branish  grafigi  rasmda  ko’rsatilgand
е
k  bo’ladi.  bu  ko’rinishdagi 
t
е
branishlar “titrash” yoki t
е
pkili t
е
branish d
е
b ataladi va t
е
xnikada, qurilishda qo’llaniladi. 
 

---

 
104