Nazariy fizika kursi

4.3 
Elektromagnit  maydon  uchun 
ta ’sir  integrali
Nisbiylik nazariyasida erkin zarracha uchun  ta’sir integrali Se  (2.7) 
ifoda  bilan  aniqlanadi.  Zarrachalar  sistemasi  uchun  uni  quyidagi  ko'ri­
nishda  yozamiz:
Se  =   — У "  m e  f  ds. 
(4.24)
2Zaryadning  saqlanish  qonunini  saqlanuvchi  dinam ik  kattaliklar  uchun  tatbiq
qilish  mumkin. 
B unda  quyidagi  “lug‘ at”dan  foydalanish  kerak  b o ‘ ladi: 
p (r , /,)
zaryad  zichligi  -  saqlanuvchi  kattalik  zichligi; 
j   ( r , t )
  tok  (zaryadlar  oqim i)  zichligi  - 
saqlanuvchi  kattalik  oqim ining  zichligi.
94

---

Bitta  zaryadlangan  zarrachaning  elektromagnit  maydon  bilan  t.n 
111 
imiqlovchi  ta’sir  integrali  Sef  (3.3)  bilan  aniqlanadi.  Bu  ifodani  zjiryml 
lar  sistemasi  uchun  yozamiz:
Sef   =   -  
~ 
J 
A id x1. 
(4.25)
Bu  ikkala ifodada yig'indi  ko'rilayotgan  sohadagi  barcha  zaryadlar  b o '­
yicha  olinadi.  Qulaylik  uchun  zaryadlarning  tartib  raqamini  ko'rsatuv- 
chi  indekslar yozilmadi.  (4.25)  ifodani  uzluksiz  taqsimlangan  zaryadlar 
uchun  yozamiz.  Bunda  oldingi  mavzu  natijalaridan  foydalanamiz:
Sef   =   —  
J  
pdV 
J  
Aidx
1
  =   - \ J  P ^ A i d V d t  
(4.26)
yoki  4-tok  zichligi  orqali  quyidagi  ko'rinishda  yozish  mumkin
Sef   =  
— 
J  
fA id V d (c t)  — 
j  j lAidSl. 
(4.27)
Bu  yerda  dfl  —  dVcdt  4-o‘lchovli  hajm  elementi.
Zaryad va maydondan  tashkil  topgari sistemani  to'liq aniqlash uch­
un  yuqoridagi  ikki ta ’sir  integraliga maydonni  aniqlovchi ta’sir  integrali 
S f  
ni  qo'shish  kerak.  Y a’ni
S  =   Se  +  Sef   +  S f. 
(4.28)
Maydon  uchun  ta’sir  integralini  umumiy  prinsiplar  asosida  yozamiz. 
Birinchidan,  ta’sir  integrali  ostidagi  kattalik  faqat  elektromagnit  may­
donga tegishli  bo'lib,  maydonni  yagona tarzda aniqlanishi,  ikkinchidan, 
inaydon  uchun  yoziladigan  tenglamalarning  chiziqliligini  ta’minlashi  va 
nihoyat  u  invariant  bo'lishi  kerak.  Bularning  har  birini  alohida  va  shu 
bilan  biga  bir-biriga  bog'liq  holda  ko'rib  chiqamiz.
Agar  ta’sir  integralini  yozishda  maydon  potensiallari  bevosita  ish­
tirok  etsa,  turli  kolibrovka  bilan  aniqlangan  potensiallar  orqali  yozil- 
gan  ta’sir  integrali  turlicha  bo'lib,  maydonni  yagona  tarzda  aniqla- 
tnaydi.  Bunga  asosan  ta’sir  integrali  ifodasida faqat  elektomagnit  may­
don  kuchlaganliklari  ishtirok  etadi.
Elektromagnit  maydonni  aniqlovchi  tenglamalarning  chiziqli  bo'li- 
shi,  elektromagnit  maydon  superpozitsiya  prinsipiga  bo'ysunishini  ta’- 
ininlab  beradi.  Bu  prinsipga ko'ra,  zaryadlar  sistemasi  hosil  qilayotgan
95

---

maydon,  alohida  olingan  zaryadlar hosil  qilayotgan  maydonlar yiglndi- 
siga  teng  boiishi  kerak:
Agar  zaryadlar  uzluksiz  taqsimlangan  b o ‘lsa,  yig'indi  integral  bilan  al- 
mashtiriladi.  Bu prinsip o'rinli b o ‘lishi, maydonni aniqlvchi tenglamalar 
c h i z i q l i   b o ‘lishini  ta’minlab  beradi.  Haqiqatan  ham  matematikadan 
ma’lumki,  chiziqli  differensial  tenglamalarning  o'zaro  bog‘li(|  b o im a ­
gan  yechimlarining  yiglndisi  yana  shu  tenglamaning  yechimi  b oiad i. 
Bu  qoida  fizikadagi  superpozitsiya  prinsipining  aynan  o ‘zidir.  Maydon 
uchun  tenglamalar  ta’sir  integralini  variatsiyalash  y o li  bilan  olinadi. 
Bunda variatsiyalanayotgan o'zgaruvchining darajasi bittaga kamayadi. 
Demak,  ta’sir  integralida  maydon  kuchlanganliklarining  ikkinchi  dara­
jalari  ishtirok  etishi  lozim.
Ta’sir  integrali  barcha  inersial  sanoq  sistemalarda  elektromagnit 
qonunlarini  birday  ifodalanishini  ta’minlash  uchun  integral  ostida  elek­
tromagnit  maydon  kuchlanganliklaridan  tuzilgan  invariant  kattalik  yo- 
tishi  kerak.
Yuqoridagi talablarni  qanoatlantiruvchi  invariant  kattalik -  haqiqiy 
skalyar  yagona  tarzda  F lkFik  korinishda  boiishi  kelib  chiqadi.  Yuqo­
ridagi  mulohazalarni  birlashtirsak  elektromagnit  maydonni  aniqlovchi 
ta’sir  integrali
ko'rinishga  ega  boiishi  aniq  b o iib   qoladi.  Bu  yerda  hajm  bo'yicha 
integral  butun  fazo  b o ‘yicha,  vaqt  boyicha  integral  esa  berilgan  ikki 
vaqt  momentlari  oraliglda  olinadi.  A  qandaydir  o ‘zgarmas  kattalik. 
Integral  ostida 
=   2(H 2  —