Ozbekiston respublikasi oliy va

I s b o t i .   d \[/(x)±g(x) ] dx=  d{[f{x) dx±jg(x) dx}=
=d[f{x) dx±d\g{x) dx=J{x) dx±g(x) dx.
INTEGRAL  JADVALI
1
. 
\dxF=xJrQ.
 
8
.  [  ----
3
— 
= tgx + C.
* 
r>r\o*
  V
COS  X
y
^+ 1 
f 
d x
2
.  [ 
x ndx =
------+ C. 
9.  j   — 5~ = 
~ctgx + C-
J 
n +  1 
i   sin  X
3.  J  
~  = ln\x\ + C.
 
10
. 
J  ^ Г
 = <,га™ Г С'
.  г 
r  , 
„  
с 
ax 
i 
^  x  
^
4.  f 
axdx
 = -—  + C. 
1 1
. 
----- r- = — 
arctg — + C.
J 
In a 
J  a  + x
2
 
я 
a
5
.  [ 
exdx = ex +C.
 
1 2
.  J 
~r=
  у  
=
 ln  i 
х
 + л/х
2
  + а
2
  | +C.
J 
yjx  +a
6
.  f  sinxefcc = - c o s x  + C. 
13.  f  -
5
——у  =
In  | ——- |+ C .
J 
J 
x   -  aL 
2a 
x
 + 
a
7. J   cosx*£t = sin x  + C.
ANIQMAS  INTEGRALDA  0 ‘ZGARUVCHINI 
ALMASHTIRISH
Faraz qilaylik, 
I={f[x)dx
 integralni hisoblash kerak b o ‘lsin.  Integral 
ostida  shunday 
J{x)
  funksiyalar  mavjud  bo‘ladiki,  bu  funksiyalaming 
integralini  hisoblash  uchun  yangi  o ‘zgaruvchi  kiritishga  to ‘g‘ri  keladi. 
Faraz qilaylik, 
I=lf[x)dx
 integralda x=
u   holda 
dx= y'(x)dt
  bo'ladi.  Ularni  integral  ostidagi  ifodaga  qo‘ysak, 
lf(x)dx=l/[(p(t)](p'(f)dt
 bo‘ladi.  Bu formula aniqmas integralda o ‘zgaruvchi 
almashtirish  formulasi  deyiladi.
г 
dx
l-misol. 
1
  = J  - ——   ni  hisoblang.

---

2-misol. 
I ~
 J  '—
3
 /  —  ni hisoblang.  Buni hisoblash uchun  o‘zgaruv-
V
/
- 3 3VxTT + 3in 
| 
i 
+ 
%/xTT 
| 
+c.
ANIQMAS  INTEGRALNI  BO'LAKLAB  INTEGRALLASH
Bizga differensiallanuvchi bo‘lgan 
U(x)
 va 
V(x)
 funksiyalari berilgan 
bo‘lsin.
M a’lumki, 
d(U-V)=  VdU + U dVz
di.
Bu  yerdan 
UdV
  topilsa, 
UdV=d( U- V)— VdU
 bo'ladi.  Bu  tengliklar 
integrallansa, 
\UdV=\d(UV)~\VdU,  \U dV = U V ~  ]VdU.
Bu  formula  aniqm as  integralda  bo'laklab  integrallash  formulasi 
deyiladi.
l-misol.  /=  
fxlnxdx
  ni  hisoblang.
1
 
x
2
U=lnx
 bo'lsa, 
dU=
 — 
dx
  bo'ladi. 
dV=xdx
 bo'lsa, 
V
 = —   bo'ladi. 
jc 
2
I
  = 
J x l n  
xdx
265

---

A N IQ   INTEGRAL
Masala. 
Dekart  koordinatalar  sistemasida  chap  tomondan 
x=a
  o ‘ng 
tomonda 
x  = b,
  ostki tomondan 
y=0
 va yuqori tomondan 
y=f[x)
  egri chizig‘i 
bilan chegaralangan 
aABb
 ko‘rinishdagi egri trapetsiyaning yuzasi hisoblansin.
Ushbu  masalani  yechish  aniq  integral  tushunchasiga  olib  keladi.  Bu 
masalani  yechish  uchun 
ab
  kesmani  ixtiyoriy 
n
  ta  bo‘lakka  bo‘lib  bo'linish 
nuqtalaridan 
Oy
 o‘qiga  parallel  to‘g‘ri  chiziqlar  o‘tkazilsa,  izlanayotgan  egri 
trapetsiya  (л-l)  trapetsiyalarga ajraladi.  Bu trapetsiyalarning yuzalarini hisob- 
lashda  Darbuning  quyi  va  yuqori  yig'indilari  degan  tushunchalar  hamda  bu 
yig'indilar orasida yotuvchi Riman yig'indisi degan tushunchalardan foydalanib 
ular  orasidagi  matematik  qonuniyatlrfrni  o'rnatish  natijasida  aniq  integral
tushunchasiga quyidagicha ta’iifberiladi. Ta’rif berish jarayonida  Я = (max Дх, ) .
T a’rif:  Я 
0  cr yig‘indi  chekli  limitga ega b o ‘lsa,  bu limit 
[a,b\
  ni 
maydalash usuliga va undagi  nuqtalarni tanlanishiga b o g liq  bo‘lmasa u 
holda bu limit 
y= fix)
 funksiyasini 
[a,b\
  dagi aniq integrali deyiladi va u 
quyidagicha yoziladi:
n-l
«V
b
.  lim cr  =  lim  ]T /(£ , )■ Ax,-  = 
\f( x ) d x .
A^ °,= o  
;
(
1
) 
egri  trapetsiya  yuzini  hisoblash  formu- 
lasidir.  (1) Nyuton -  Leybnes formulasi bo‘yicha 
hisoblanadi:
b