Ozbekiston respublikasi oliy va

Matematik induksiya metodi. 
Bu metodda biror matematik qonuniyat 
n
  =  
1
  hoi  uchun  o'rinli  bo'lsa,  uni 
n
  =  
к
  hoi  uchun  o ‘rinli  deb  qabul 
qilib,  so‘ngra 
n
  =  
к
  + 
1
  hoi  uchun  o ‘rinli  ekanligini  ko‘rsatiladi.
n(n +
1) 
.  ,
1-misol. 
^ =
1
+  2+3
+...+n
  = — - — yig  mdinmg  o ‘rmli  ekanligini
matematik  induksiya  metodi  orqali  ko‘rsatilsin,  bunda 
n e   N .
с 
Id  +
1
) 
,
1
.  Agar 
n  -
  1  bo‘lsa, 
Sl
  = — -—  = 1.
с
 
,  л 
, 
k (k  +
1
)
2.  Agar 
n  =  к
 boisa, 
Sk
  =1 + 2 + 3 + 
... + к
------ -—  .
3.  Agar 
n=k+
1  bo'lsa,
(к
 
2
 
'iiJc
 -f" 
1
)
Sk+[
  =  1 + 2 + 3 + ... + & + (& + 1) = -------—-------   ekanligi  isbotlanadi.
p 
о 
/, 
. 4
 
k (k  +
1
) 
n  
k (k
 +
1
) + 
2(k
 +
1
)
I s b o ti. 
Sk+l  = S k + (k +
 
1
) = —y -  
+ (k +
1) = —------
=
{k
 + 
2)(k
 + 
1
)
n(n +
1)
Demak,  5n=l+2+ 3+...+«  = — -—   yig‘indisining  hisoblash  formulasi 
to‘g‘ri ekan.
n(n + \)(2n + l)
 
дг
2-misol.
  5 =1
2
+2
2
+3
2
+...+/j2=  -----
i
-------   > 
n e   N  ■
6
1 
• 
(1
 +
1 ) ( 2
 
1
 + 
1
) 
,
1.  Agar 
n
  =  1  bo'lsa, 
S  =
----------^----------= 1-
„ 
k ( k  +
1 ) ( 2
 
к
 +
1
)
2.  Agar 
n
  = 
к
  bo‘lsa, 
Sk~
  ----------^----------•
3.  Agar 
n—k+l
 
boisa, 
>Sl<+
1
= l
2
+2
2
+3
3
+...+(£+l)2=
(k + l)(k + 2)(2k + 3)
  , 
,
= ------------>-------- 
bo  lishligmi  isbotlang.
6
k(k + l)(2k + l) 
..
 
1ч2 
I s b o ti. 
S = & + ( k + \ y = —
---------
T
----------- -  +   (A:  +  
1
Г   =
25

---

-  
[к(2к
 +
1
) + 
6(к
 +
1
)] = 
к + Х
  • [
2
к 2  + 1к
 + 
6
) =
2(А: + 1)(Л: + 2)
к
 + ■
(к + \){к + 2)(2к + Ъ)
3 - misol. 
5
=
1 3
+
2 3
+
3 3
+...+я3= П--1~-1)  , 
пе  N
1.  Agar 
п
  =  1  boisa, 
Sl  =
 
= 1-
т а  
,  и  <, 
с 
к 2(к +
1 ) 2
 
,
2.  Agar 
п  =  к
 boisa,  о  = —
— — = 1.
к 
4
3.  Agar 
п  =  к+
1  boisa, 
5’k= l
3
+2
3
+3
3
+...^
3
+(yt+l>)3= 
boiishligini  isbotlang.
_ ( k  + l)2(k + 2)2
I s b o t i .  
'  .V  + 
(k
 +  I
) 3
  = 
k2 (k + l)2  +( k +
 l
) 3 
•  к 
4
= ( k +
1) 2
4
+ & + 
1
_ ( k  +
 I
)2(k2  + 4k + 4)  _  (к +
 I
)2(k + 2)2
 
4 
4
T  e  о  r  e  m  a. 
Qabariq  n  burchak  ichki  burchaklarining yig'indisi
 
180°  (я—
2
) 
ga  teng.
Bu teoremani matematik induksiya metodi bilan isbotlang  (1-chizma).
1. 
n
 =   3 bo'lganda  5
3
  =   180°.
2. 
n
  =  
к
  b o ‘lganda  Sk=180°(A:-2) 
boiadi.
Agar 
n
  =  
к
  uchun  ^ = 1 8 0 ° 
(k— 2)
 
bo ‘lca, 
n  —  к  +
 
1
  uchun
S
^+1
  =   180°  [(&+
1
) —
2
]  b o 'lish in i 
isbotlang.
Bu  holni  isbot  qilish  uchun 
(k
  + 
1
) 
burchakli  qabariq  ko‘pburchak  olinadi.
A xAk
  diagonal  berilgan  ko‘pburchakni 
к 
1-chizma.
26

---

hiirchakli  qabariq  /l,/l
2
/ l v ../lk  k o 'p b u r c h a k k a   va 
A lAkAhn
  ui lib u n  Imkkii 
airatadi,  u  holda 
Sk+=Sk+S3
 
tenglik  o ‘rinli  b o 'ladi:
Skl
  = !8 0 °(^ 2 )+ 1 8 0 °= 1 8 0 o[(£-2)+l]=180°[(A :+l)-  2|.
Dcmak,  teorem a  har  qanday  qabariq 
n  
burchak  uchun  ham  o'rinli 
ekan.
4- 
misol. 
Quyidagi  tengsizlikni  matematik  induksiya  metodi  bilan 
isbotlang:
1 
1 
1  ^  r~
— J S
  +   — p г  +   . . .   +   — =
 
> y / n .
4 l  
4 2  
4 n
I s b o t i .  
n  =
  1,  bo‘lganda  1  =  1  tenglik  o'rinli.
n
  =  2  bo'lganda  1 + -|=  
>42
  tengsizlik  o'rinli.
■a
Endi  faraz  qilaylik,  berilgan  tengsizlik 
n  —  к
  uchun  o'rinli,  ya’ni
1
_  J _  
1 
4 l  +  4 2 + ~
ko'rsatiladi:
\/T + 
~42
+ 
4 k
 
bo'lsin,  uning 
n=k
+ 1  hoi  uchun  o'rinli  ekani
1
1
 
1
1
 
rf— r
—
7=- H
+ ... H—== 4
—
> -
+1
л/г 
72 
4 k  
4 k  +
I
1
 
1
 
1
 
r
 
Bu  tengsizlikni  kuchaytirish  uchun 
~4\+^ j 2 +
 
o'rniga 
ык
qo'yiladi,  u  holda
4 k
 + 
>4k
+ 1  (j)  bo'ladi.  Bu  tengsizlikni  o'rinli
ekani  ko'rsatilsa,  berilgan  tengsizlik  isbotlangan  bo'ladi.
(1)  ning har  ikki tomoni  kvadratga  ko'tarilsa,  u  holda  quyidagi  tengsizlik 
hosil  bo'ladi:
* +  ‘ 
+ H L > k+ l,
 
2
£ ,  + .  *
k 
+ 1 
4 k
+ 1 
4 k  
+ 1 
k 
+ 1
Bu  tengsizlikning  har  ikkala  tomonini  J
-— -
  ga  bo'linsa,  2 >,,,
V/t + l 
V& + 
1
tengsizlik 
к
 ning 
к
- 1  dan  boshqa  qiymatlaridan  o'rinli,  shuning  uchun
1
1
 
1
  . 
r-

---

tengsizlik 
n
  ning  har  qanday  qiymatida  ham  o‘rinli.
5- 
misol.
 
(2
n  -
  1)!  > 
n\
  tengsizlikni  matematik  induksiya  metodi  bilan 
isbotlang.
I s b o ti.  Ma’lumki.  (2л-1)!  =  1-3-5-...-(2я-1).
1
.  и  = 
1
  boiganda 
1
  = 
1
  tenglik  o‘rinli.
n  =
  2  bo‘lganda  3  >  2  sonli  tengsizlik  hosil  bo'ladi.
2.  Endi  berilgan  tengsizlik 
n
  = 
к
 hoi uchun  o‘rinli,  ya’ni 
(2k-\)\  >k\
  deb 
faraz  qilaylik,  buning 
n
  = 
к
  + 
1
  hoi  uchun  o'rinli  ekanini  ko'rsatamiz:
k\(k+\)<(2k-\)\(k+\)<(2k-\)\(2k+\)=(2k+\)\
 ifoda hosil boiadi. Bundan 
esa 
(k+\)\<(2k
 +  1)!  Shuning uchun tengsizlik 
n
 ning har qanday qiymatlarida 
o'rinli.
Tengsizliklarni  isbotlang:
\_
  3  5 
2 /1 - 1  ^ 
1
2 - 4  
6
 
2n
 
Тзй+Т
T a’rif. 
Umumiy  m a ’lumotlarga  tayanib  ayrim  yoki  xususiy  xulosa
 
chiqarish  deduksiya  deyiladi.
Misollar 
1. 
x
2
-3 x -4 = 0   tenglamaning  diskriminantini  hisoblab,  uning 
yechimlari  borligini  ko‘rsating. 
D=
 9+16=25.  D>0.  M a’lumki,  kvadrat 
tenglamani yechish haqidagi  qoidaga ko'ra uning diskriminanti musbat bo‘lsa, 
u  ikkita  haqiqiy  har  xil  yechimga  ega  edi,  shuning  uchun  x
2
-3 x -4 = 0  
tenglama  ham  ikkita  x,  =  4  va 
x2  =
  -1   yechimlarga  ega.
2.  ^/81 ■
 0,09  ifodaning  qiymatini  hisoblang.  Bu  ifodaning  qiymatini
hisoblash  uchun  maktab  algebra  kursidan  umumiy  qonuniyatni  o‘z  ichiga 
oluvchi  quyidagi  teoremadan  foydalaniladi.
T e o r e m a .  
a  >  Q  va  b  >  0  bo ‘Iganda  ^fab  = 4 a -4 b  bo ‘ladi.
Shuning  uchun  quyidagi  xulosani  hosil  qilamiz:
3. 
Maktab  geometriya  kursida  kosinuslar  teoremasining  analitik  ifodasi 
bunday:
{ [ 2
(k
  + 
1
)  - 
1
]!  > 
(k
  + 
1
)!}  -» 
( 2
к
  + 
1
)!  > 
(к
  + 
1
)!
(
2
k-\)\>k\
  tengsizlikning  har  ikki  tomonini 
k
+ 1
  ga  ko‘paytiriladi  u
holda
л/81  0,09  = V
8
T  Д 0 9   = 9 -0 ,3  = 2,7.
A
c2
  = 
a2
  + 
b2  —  lab  ■
 
cos 
с .
(
1
)
28

---

Agar  (1)  (Ja 
с
  90”  bo'lsa, 
cos
  90°=0,  shuning  uchun 
c‘  a
‘ t 
h‘
  (2) 
bo'ladi.  Hi/.ga  ma’lumki,  (2)  Pifagor  tcoreinasining  ifodasidir.
Xulosa  chiqarish  metodlaridan  yana  biri  bu  analogiyadir.
T a ’rif. 
0 ‘x sh a sh lik k a   asoslanib  xu lo sa  chiqarish  analogiya
 
deyiladi.
Analogiya bo'yicha xulosa chiqarishni sxematik ravishda quyidagicha 
tasvirlash  mumkin:  / ’figura 
a,  b,  c,  d,  ...
  xossalarga  ega. 
Fx
  figura  esa 
a,  b,  c,  ...
  xossalarga  ega  b o ‘lsa,  u  holda 
Fl
  figura  ham  
d
 xossaga  ega
bo‘lishi  mumkin.
Fikrimizning  dalili  sifatida  quyidagi  tengsizlikni  isbot  qilaylik.  H ar
qanday  tetraedr  uchun  ^(|Л,В|+|5С1+1
у
4С1)<|5Л|+|6,51+|5С|  tengsizlik
o'rinli.
Bizga  m a ’lum ki,  fazodagi  tetraedr 
figurasi  tekislikda  uchburchak  figurasiga 
analogik  figuradir,  shuning  uchun  har 
qanday uchburchak uchun o'rinli bo‘lgan 
quyidagi  xossadan  foydalaniladi.
H ar  qanday  uchburchakda  ikki  to ­
m on  uzunligining  yig'indisi  u ch inchi 
tom on  uzunligidan  kattadir  (
2
-chizma):
\АЦ  +
  |
BC\  >  \AC\.
A g ar  u c h b u r c h a k   u c h u n  
o'rinli  bo'lgan  ana  shu  xossani 
u n g a  analogik  b o ig a n   figura 
tetraedrga  tatbiq  qilsak,  quyi­
dagi  tengsizlik  hosil  bo'ladi  (3- 
chizma):
В
AB
BC
<|&4|+|£В|
<|5'5|+|5,C|

---

TaKrorlash  uchun  savollar
1.  Bilish  deb  qanday  psixologik jarayonga  aytiladi?
2.  Tafakkur  tushunchasining  ta ’rifmi  aytib  bering.
3.  Sezgi  deb  nimaga  aytiladi?
4.  Idrok  va  tasavvur  tushunchalarini  ta ’riflang.
5.  Matematik  tushunchaga  ta ’rif bering.
6.  Tushunchaning  mazmunini  ta ’riflang.
7.  Tushunchaning  hajmi  deganda  nimani  tushunasiz?
8.  Tushunchaning jinsi  va  uning  turi  deganda  nimani  tushunasiz?
9.  Ta’rif so'zining  lug'aviy  m a’nosini  aytib  bering.
10.  Real,  klassijikatsion  va  genetik  ta ’riflarini  aytib  bering.
11.  Matematik  tushunchalar  qanday  metodlar  yordamida  kiritiladi?
12.  Matematik  hukm  tushunchasiga  ta ’rif bering.
13.  Matematik  xulosa  deb  nimaga  aytiladi?
14.  Matematik  xulosa  turlarini  aytib  bering.
15.  Matematik  induksiya  metodini  tushuntiring.