Ozbekiston respublikasi oliy va

J[\£>
  kabi belgilaymiz.
4-§.  Matematik  tushunchalarni  kiritishning
 
abstrakt-deduktiv metodi
Bunda  o ‘rganiladigan  m atem atik  tushuncha  uchun  ta ’rif  tayyor 
ko‘rinishda  oldindan  aniq  misol  va  masalalar  yordamida  tushuntiril- 
masdan  kiritiladi.  Masalan,  7-sinfda  o ‘tiladigan  to ‘la  kvadrat  tenglama 
tushunchasi  abstrakt-deduktiv  metod  orqali  kiritiladi.
1.  Kvadrat tenglama tushunchasiga ta ’rif beriladi.
T a’rif. 
ax2+bx+c
= 0  ko‘rinishidagi  tenglamalar  to ‘la  kvadrat  teng­
lama  deyiladi.  Bunda  x  —  o ‘zgaruvchi, 
a,  b,  с  —
  ixtiyoriy  o ‘zgarmas 
sonlar, 
a  >
 
1
.
2.  Kvadrat tenglamaning xususiy hollari ko‘rib chiqiladi.  Buni jadval 
tarzida  bunday  ifodalash  mumkin.
18

---

T o ‘la  k v a d ra t  te n g lam a
ax2  +  bx  +  с  =
 
0
Kcltirilgan  kvadrat  tenglama
Chala  kvadrat  tenglama
x2
  + 
px
  +  
q
  =  
0
(6=0) 
V(c=Q) V(b=0
 Л c=0)
ax2  +  с  =
 
0
ax2+bx=
 
0
ax2=Q
3.  Hosil  qilingan  keltirilgan  va  chala  kvadrat  tenglamalarga  aniq 
misollar  keltiriladi.  Masalan,
2x2  —  3x  —  4
  =   0, 
x 2  —  5x  —  6  =  0,
3x2  +  5x  =
  0, 
2x2
  + 
I x
 =   0,  5x
2
  =   0,  ...
4.  Kvadrat  tenglama  tatbiqiga  doir  hayotiy  misollar  keltirish  kerak.
2
of
Masalan, 
S
 = 
formula  fizika  kursidan  bizga  ma’lum,  bu  tenglamani
fit1-2s=0
  ko‘rinishidagi  chala  kvadrat  tenglama  holiga  keltirib,  so'ngra 
ycchiladi.
5.  Kvadrat  tenglamaning  ildizlarini  hisoblash  formulasini  keltirib  chi- 
ciarish.
1- 
usul.  ax2  +  bx  +  с  =
  0  tenglama  ildizlarini  toping.  Buning  uchun 
tjuyidagi  ayniy  almashtirishlar  bajariladi:
b 
bl  )  b2  - 4 ac
--- X+ ---- г -------- r—
2 
a 
4 a 
4 a
b2  -  4ac
,2
19

---

b 
j b 2
 -  
4ac 
b
 ± 
y/b2
  -  4ac 
*
1,2
  = - — ±-
2
a 
2
a 
2
a
- b  + 4 b 2 
-4ac 
- b  
-  
j b 2 
-  4ac 
-------
2
a-------; 
* 2
  = --------
2
a 
2- usul.
ax2
  + 
bx
  +  с  = 
0
 
2ax  2 +b =
 ±\//>  - 4 a c
2
  ,  , 
, 
,
 
T 
- b ±  4b2  -  4 ac
ax2
  + 
bx
 =  — 
с
  ■
  4a, 
x  = -------------------
1,2
 
2
a
-b  + ylb2  - 4  ac
4abr
2
  +  4
abx =
  —4
ac
  |  + 
b2,
x   =
i 
2
 a
4a
2
x
2
  +  4afoc  +  b
2
  =  b
2
  — 4ac, 
5c  = 
— —
i,ac_
2
 
2
a
(2ax + 
b)2 =  b2 —
  4 
ac.
Agar 
ax2+bx+c =
  0  da 
a
 =  1  bo‘lsa, 
x2+bx+c
 =  0 ko'rinishdagi keltirilgan 
kvadrat  tenglama  hosil  bo'lib,  uning  yechimlari  quyidagicha  bo‘ladi:
-
b± \]b2  - 4 c  
-b
  , 
[b2
x,
  = ----------------- = —  ± 
J
------
c.
1,2
 
2 
2 
V  4
Agar 
b  =  p;  с
  = 
q
  desak, 
x2+px+q  -
  0  bo'ladi, 
uning 
yechimlari 
Xl  = ~ 2 + \ ^ 4 ~ Я
  Va 
* 2
 
=Z2 ~ \ ^ 4 ~ q
  b03- usul.
x
2
  + 
px  +  q
 = 
0
 
(
1
)
P
b
2
  = 
q; 
lab  = p
 
desak, 
b = ±Jq  ,  a = ± ^ J ^
 
bularni  (
1
)  ga  qo'ysak,  u  quyidagi  ko'rinishni  oladi:
x2
  + 
2
 
abx
  + 
b2
  = 
0
 
(
2
)
(
2
) 
ga  a2x2
  ni  qo'shsak  va  ayirsak  x
2
 +
2
abx+b2 +a2x2~a2x
2= 0
  bo'ladi, 
a2x 2+2abx+b2—a2x 2+x2=0
  yoki 
(ax+b)2—a2x 2+x
2= 0
  belgilashga  ko ‘ra
20

---

I>
 
I 
s]
  ;  "  * 
cdi,  shuning  uchun
px
\ 2
2
^
\ 
у
(px + 
2q)2  -  p 2x 2  + 4qx2
  = 
0
;
p x + 2 q  = ±xy j p2 - 4 q ;
 
2q = x ( - p ± y l p 2 -4q' j ;
X \,2
  ~
  '
2
- p ± - \ p 2 - 4 q
1-  misol. 
x2  -   3x  -   4  =   0; 
p   =   - 3 ;  
?
X l 2 = z £  + J j L _ g  = l ±  9 + 4  = l + 5.
1,2
 
2 
\  4 
2 
\ 4  
2 ~ 2 
x,=4;  x = - l .
2# 
_ 
2 ■
 (-4) 
- 8
xl
,2
  ~
- p ± ^ j p 2  - 4 q  
3 ± V 9  +1 6  
3 ± 5
2-  misol.
x2  -   5x -   6  =   0;
 
p   =   -  5; 
q  =   - 6
x
1.2
  -
2
$
_  
2  (- 6)
-12
3-  misol.
—p ± y ] p 2  —4 q 
5 ± л/25 + 24 
5 ± 7
 
- 1 2
 
. 
- 1 2
 
,
2 ^ -5 -0   bo'lsa,  (2j?-5)  => I 
* 2
  = |   ]=» 
*h2=±
4 - misol.  2x2  -   3x  =   0  bo‘lsa,  [x(2x  -  3)  =   0])
5 - misol. 
2x2  =   0  bo'lsa,  x, 2  =   0  bo'ladi.
£ 2 =
 0
E 2
  = -  
2
bo‘ladi.
21
(O 
I U
l

---

5-§.  Matematik hukm
M atem atik  hukm  mantiqiy  bilish  formalaridan  biri  bo'lib,  unga 
quyidagicha  ta ’rif berilgan: 
«Tushunchalar  asosida  hosil  qilingan  mate­
matik fikrni  tasdiqlash  yoki  inkor  qilishga  matematik  hukm  deyiladi».
 
Bu ta ’rifdan ko‘rinadiki,  hukmning xarakterli xossasi aytilgan matematik 
fikrning to ‘g‘riligini tasdiqlash yoki noto‘g‘riligini  inkor qilishdan iborat 
ekan.
M atematik  tushunchalarni  tasdiqlash  m a’nosidagi  hukmga  quyida­
gicha  misollar  keltirish  mumkin: 
,
1.  Paralellogrammning  qarama-qarshi  tom onlari  o ‘zaro  parallel  va 
teng.
2.  H ar  qanday  turdagi  uchburchak  uchta  uchga  ega.
3.  U chburchak ichki burchaklarning yig‘indisi  180° ga teng.
4.  K o'pburchak  ichki  burchaklarining yig‘indisi 
2d(n~2)
 ga teng.
M atem atik  tushunchalarni  inkor  qilish  m a’nosidagi  hukm larga
quyidagi  misollarni  keltirish  mumkin:
1.  H ar  qanday  uchburchakda  ikki  tom on  uzunliklarining  yig‘indisi 
uchinchi  tom on  uzunligidan  kichik  emas.
2.  Piramidadagi  uch  yoqli  burchaklarning  yig'indisi  hech  qachon 
o ‘zgarmas  son  bo'la  olmaydi.
3.  H ar  qanday  to'rtburchakda  ichki  burchaklar  yig‘indisi  360°  dan 
katta  emas.
Bundan kelib  chiqadiki,  har qanday matematik gap  ham  matematik 
hukm bo‘la olmas ekan.  Masalan, 
«ABCD
 to'rtburchak  paralellogramm 
bo'la  oladimi?»  «Ixtiyoriy  uchburchak  ichki  burchaklarining  yig‘indisi 
180°  ga  teng  b o ‘la  oladimi?»  Keltirilgan  ikkala  misolda  ham   inkor  va 
tasdiq  m a’nosi  yo'q,  shuning  uchun  ular  matematik  hukmga  misol 
bo'la  olmaydi.
M atem atik  hukm  uch  xil  bo'ladi: