Международный научно-образовательный электронный журнал «образование и наука в XXI веке». Выпуск №10 (том 1)

Задача 12. Докажите, что шахматную доску нельзя замостить 15-ю прямоугольничками
lх4 и одной фигуркой вида
 
 
 
Решение: Шахматная раскраска тут не поможет. Она, так скажем, не отличает особую 
фигурку от прямоугольничка: и в ней и в них ровно 2 белых и 2 черных клетки. И ничто не 
противоречит тому, что доску можно замостить 16-ю фигурами с таким свойством. 
Попробуем другую раскраску, скажем, "матрас". Тогда в прямоугольничке lх4 то ли О, то ли 
2, то ли 4 черные клетки (смотря как он лежит). А в особой фигурке - то ли 1, то ли 3. 
Короче, там - четное, здесь - нечетное. А сумма 15 четных чисел и одного нечетного 
нечетна и не может поэтому быть равна 32 (числу черных клеток на шахматной доске), 
ч.т.д.
Собственно, инвариантом тут можно назвать четность количества черных клеток. Только 
мы тут не преобразуем объект или набор объектов, а составляем один объект (доску) из 
других.
Задача 13. Фишка ходит по доске NxN, сдвигаясь на 1 клетку вверх, вправо или вниз - 
влево по диагонали. Может ли фишка обойти все клетки доски по разу и закончить путь 
сверху от начальной клетки.
Решение: Подберем раскраску, при которой фишка будет одинаково менять цвет при любом 
ходе. Просто шахматная и "матрас" не подойдут. А зато шахматная раскраска в 3 цвета - просто 
замечательно (см. рис. выше). Наша фишка будет ходить с красного на желтый, с желтого на 
зеленый, с зеленого на красный и т.д. Пусть, скажем, начальная клетка красная - тогда конечная 
будет желтая. Цвета чередуются по циклу длины 3, поэтому число ходов: 3k+ 1 (т.е. =1 по mod 3). 
Но то же число ходов на доске NxN равно N
2
_1. Отсюда N
2
=2 (или 3), чего, по соображениям 
теории чисел , не бывает. Ответ "нельзя".
Инвариант инвариантом, но и про другие области математики по ходу дела не надо 
забывать. Часто решение может придти именно оттуда.
Напоследок: аккуратно подходите к задачам про разные процессы с вопросом "можно ли". 
Да, большая часть из них - с ответом "нельзя", который доказывается через инвариант. Но 
попадаются иногда задачи с ответом "можно", где надо строить пример. Иногда, увлекшись 
поиском инварианта, можно не заметить существования простого.