Toshkent farmatsevtika instituti

часть. Москва 1986 год. 

 

5. Murakkab funksiyaning hosilasi. 

Mashg’ulotni o’tkazish joyi: auditoriya. 

Mashg’ulotning  jihozlanishi:  o’quv  uslubiy  majmua,  ma’ruzalar  matni, 

tarqatma materiallar, kalkulyator, daftar. 

Mashg’ulotning davomiyligi: 80’ 

Mashg`ulotning  maqsadi:  Oshkormas  va  murakkab  funksiyalar  haqida 

tushuncha hosil qilish va ularning hosilasini olish qoidalari bilan tanishtirish. 

Vazifalar: Oshkormas va murakkab funksiyalar haqida tushuncha hosil qilish va 

ularning  hosilasini  olish  qoidalari  bilan  tanishtirish.  Misollar  yordamida 

tushuntirish. 

Talaba bilishi lozim: 



  Oshkormas funksiyaning hosilasini olishni.  



  murakkab funksiyalar hosilasini olishni  



  Yuqori tartibli hosilalarni topishni.  

Talaba  bajara  olishi  lozim:  Oshkormas  va  murakkab  funksiyalar  haqida 

tushuncha hosil qilib va ularning hosilasini olishni bilishlari kerak. 

Motivasiya:  Ba`zi  jarayonlarni  kechishi  nostandard  ko`rinishda  bo`lib,  ularni 

miqdoriy xarakteristikasini o`rganishda oshkormas yoki murakkab funksiyalarga 

duch kelamiz. Bunday jarayonlarni to`g`ri talqin qilishda bu mavzuni o`rni katta. 

Fanlararo va fan ichidagi bog`liqlik: Kimyo  va fizik jarayonlarni o`rganishda 

ishlatiladi. 

Mashg`ulotning  mazmuni:  Oshkormas  va  murakkab  funksiyaning  hosilasi. 

Yuqori tartibli hosilalar. 

Nazariy qism: 

Agar  y  o’zgaruvchi  u  o’zgaruvchining  y=f(u)  funksiyasi  bo’lib,  u  esa  o’z 

navbatida x ning funksiyasi u= φ (x) boisa, u holda y=f(.p(x)) funksiyani x ning 

murakkab funksiyasi deyiladi. 

Teorema.  Agar  u==  φ  (x)  funksiya  o’zgaruvchi  x  nuqtada  u

x

'=  φ  '(

x

)  hosilaga,  

y=f(u) funksiya esa o’zgaruvchi u bo’yicha y

u

'=f '(u) hosilaga ega bo’lsa, u holda 

y=f(φ (x)) murakkab funksiya ham   shu x nuqtada 

y

x

'=f

u

'(u)·φ'(x) 

hosilaga ega bo’ladi. 

Oshkormas funksiya hosilasi. 

( ,

)

0

F

x y

=

 ko’rinishida berilgan oshkormas funksiyaning hosilasini hisoblashda, 

tenglikning chap tomonini x argumentning murakkab funksiyasi deb qaraladi va 

tenglikning  ikkala  tomonidan  hosila  olinadi.  Bunda      yxning  murakkab 

funksiyasi deb qaraymiz. 

Misol.Oshkormas 

ko’rinishda 

berilgan 

funksiyaning 

hosilasini 

hisoblang.

2

2

2

2

1

x

y

a

b

+

=

 

Yechish. Tenglikning ikkala tomonidan x bo’yicha hosila olamiz: 

'

2

2

2

2

0 ,

x

y y

a

b

+

=

 

bundan, 

2

'

2

.

x

b x

y

a y

= -

 

 

Yuqori tartibli hosila. 

Agar  f(x)  funksiya  [a,b]  kesmada  differensiallanuvchi  bo’lsa,  u  holda  bu 

funksiyaning  hosilasi  f  '(x)  umuman  aytganda  yana  x  ning  funksiyasi  bo’ladi. 

Shuning uchun undan x bo’yicha hosila olsak, hosil bo’lgan hosilaga berilgan 

funksiyadan  olingan  ikkinchi  tartibli  hosila  deyiladi  va  y

"

  yoki  f  "(x)  lar  bilan 

belgilanadi. Shunday qilib y=f(x) funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi 

y"=f"(x)=(y')'=(f'(x))'. 

y"=f  "(x)  ikkinchi  tartibli  hosiladan  olingan  hosilaga  y=f(x)  funksiyaning 

uchinchi tartibli hosilasi deyiladi: 

y'''=f'"(x)=(f"(x))' 

Shu  jarayonni  n  marta  davom  ettirsak  y=f(x)  funksiyaning  n  tartibli  hosilasi 

y

(n)

=f

(n)

 (x)=(y

n-1

)' = (f

(n-i)

(x))' ko’rinishda bo’ladi. 

 

Misol.  y=f(x) =2x

4

+3x

3

-5x

2

+6x-8 

y'=8x

3

+9x

2

-10x+6 

y"=24x

2

+18x-10 

y"'=48x+18x 

Agar u(x), v(x) funksiyalar differensiallanuvchi bo’lib, u

(n)

(x), v

(n)

(x) hosilalarga 

ega bo’lsa, u holda  

1. (Cu) <

n)

=Cu

(n)

     (C-o’zgarmas son)  

2. (u+v) 

(n) 

=u 

(n)   

+ v  

(n)

 

3.(uv)

(n)

=u

(n)

+nu

(n-1)

v'+

2

1

'

'

)

1

(

)

2

(







v

u

n

n

n

+ ...+uv

(n)

. 

 

tengliklar o’rinli bo’ladi. Oxirgi tenglikka Leybnis formulasi deyiladi. 

Hosilalar jadvali 

№ 

Funksiya 

Hosilasi 

1 

y = C 

C’ = 0 

2 

y = x 

x’ = 1 

3 

y = u + υ -



 

(u + υ - 



)’ = u’ + υ’ - 

'



 

4 

y = uυ 

(uυ)’ = u’ υ + υ’u 

5 

y = Cu 

(Cu)’ = C·u’ 

6 

y = x

n 

(x

n

)’ = nx

n-1

 

7 

y = u

n 

(u

n

)’ = nu

n-1

u

1

 

8 

y = 

v

и

 

2

'

'

'

v

и

v

v

и

v

и

















 

9 

y = 

С

и

 

C

и

С

и

'

'















 

10  y = 

v

С

 

2

'

'

v

Cv

v

C

















 

11  y = 

и

 

 

и

и

и

2

'

'



 

12  y = f [ф (x)];ф (x) = u 

y’ = f’

u

(u) ф

x

 (x) 

13  y = log

a

x 

(log

a

x)’ = 

x

1

 log

a

 e 

14  y = log

a

u 

(log

a

u)’ = 

и

и '

 log

a

 e 

15  y = ln x 

(ln x)’ = 

x

1

 

16  y = ln u 

(ln u)’ = 

и

и '

 

17  y = a

x 

(a

x

)’ = a

x

 ln a 

18  y = a

u 

(a

u

)’ = a

u 

ln a· u’ 

19  y = e

x 

(e

x

) = e

x

 

20  y = e

u 

(e

u

)’ = e

u

· u’ 

21  y = sin x 

(sin x)’ = cos x 

22  y = sin u 

(sin u)’ = cos u·u’ 

23  y = cos x 

(cos x)’ = – sin x 

24  y = cos u 

(cos u)’ = – sin u·u’  

25  y = tg x 

(tg x)’ = 

x

2

cos

1

; 

26  y = tg u 

(tg u)’ = 

и

2

cos

1

· u’ 

27  y = ctg x 

(ctg x)’ = – 

x

2

sin

1

 

28  y = ctg u 

(ctg u)’ = – 

и

2

sin

1

·u’ 

29  y = arc sin x 

(arc sin x)’ = 

2

1

1

x



 

30  y = arc sin u 

(arc sin u)’ = 

2

1

1

и



· u’ 

31  y = arc cos x 

(arc cos x)’ = 

2

1

1

x



 

32  y = arc cos u 

(arc cos u)’ = 

2

'

1

и

и



 

33  y = arc tg x 

(arc tg x)’ = 

2

1

1

x



 

34  y = arc tg u 

(arc tg u)’ = 

2

1

1

и



· u’ 

35  y = arc ctg x 

(arc tg x)’ = 

2

1

1

x



 

36  y = arc ctg u 

(arc ctg u) = – 

2

1

и

u





·  

 

Amaliy mashg`ulotlar  uchun mashqlar. 

1. 

2

2 .

y

x

x







 

 

 

 

javob: 

2

2

2

1

x

x

y







 

2. 

.

2

1

3

3

2







x

x

y

 

 

 

javob: 

5

3

2

3

6

x

x

y









 

3. 

.

1

1

2







x

x

y

 

 

 

 

javob: 

1

2

3









x

y

 

4. 

4

2

3

1 .

y

x

x







   

 

 

javob: 

x

x

y

6

4

3







 

6. 

.

7

cos

x

x

y





 

 

 

 

javob: 

7

sin









x

y

 

7. 

.

ln x

tgx

y





 

 

javob: 

x

x

y

1

cos

1

2







 

8.  

.

ln

sin

x

x

y





 

 

javob: 

x

x

y

1

cos







 

9. 

.

1

x

ctgx

y





 

 

javob: 

3

2

2

1

sin

1

x

x

y









 

10. 

.

3

2

x

e

y

x





 

 

javob: 

x

e

y

x

6







 

11. 

.

1

3

3

2







x

x

y

 

 

javob: 

2

9

2

x

x

y







 

12. 

.

sin

2

x

y

x





 

 

javob: 

x

y

x

cos

2

ln

2







 

13. 

.

ln

1

x

x

y







 

 

javob: 

x

x

y

1

2

1









 

14. 

.

2

1

cos







x

x

y

 

 

javob: 

2

1

sin

x

x

y









 

15. 

.

1

3

2

x

x

y





 

 

javob: 

3

3

2

2

3

x

x

y









 

16. 

.

1

3

sin

2

x

x

y

x







 

 

javob: 

3

2

3

ln

3

cos

x

x

y

x









 

17. 

.

2

sin

x

e

x

y

x







 

 

javob: 

2

2

cos

x

e

x

y

x









 

18. 

.

3

2

x

e

x

y





 

 

javob: 

x

e

x

y







3

2

 

19. 

.

1

3

x

e

x

y





 

 

javob: 

x

e

x

y









4

3

 

20. 

.

1

ln

2

x

x

y





 

 

javob: 

3

2

1

x

x

y







 

21. 

.

1

1

3







x

y

x

 

 

javob: 

2

1

3

ln

3

x

y

x







 

22. 

.

sin x

e

y

x





 

 

 

 

javob: 

x

e

y

x

cos







 

23. 

.

1

ln

7

x

x

y





   

 

 

javob: 

2

1

7

x

x

y







 

24. 

x

x

y

sin

3

2



 

 

 

 

javob: 

)

cos

sin

2

(

3

x

x

x

x

y







 

25. 

2

3

(

1)

x

y

x

e





   

 

 

javob: 

x

x

e

x

e

x

y

2

3

)

1

(

6









 

26. 

x

x

y

cos

5

7



  

 

 

 

javob: 

x

x

x

x

x

y

2

6

cos

)

sin

cos

7

(

5







 

27. 

3

3

( s i n

1)

y

x

x





 

  javob:

x

x

x

x

y

cos

3

)

1

(sin

9

3

2









 

28. 

x

tg

y

x

3

7



 

  javob:

x

x

tg

y

x

x

2

cos

3

7

3

7

ln

7







 

29. 

2

5

2

c o s

5

x

y

x







 

  javob:

2

2

)

5

(cos

sin

)

2

5

(

)

5

(cos

10













x

x

x

x

x

y

 

30. 

3

ln

7

x

x

y



 

  javob:

4

)

ln

3

1

(

7

x

x

y







 

1. 





1

5

cos

3

2





x

y

   

 

 

javob: 

)

1

5

sin(

30

2

'







x

x

y

 

2.





4

5

ln

2

3





x

y

   

 

 

javob: 

4

3

30

3

2

'





x

x

y

 

3.





1

5

3





x

tg

y

 

 

 

 

javob: 

)

1

5

(

cos

1

)

1

5

(

15

2

2

'







x

x

tg

y

 

4.





6

3

2





x

ctg

y

   

 

 

javob: 

3

)

)

6

3

(

sin

1

)(

6

3

(

2

2

'







x

x

ctg

y

 

5. 





2

2

4

sin

5

x

x

y





 

 

 

javob: 

)

4

(

2

sin

)

2

4

(

5

2

'

x

x

x

y







 

6.





x

y

2

3

cos

2

7





   

 

 

javob: 

)

2

3

sin(

)

2

3

(

cos

28

6

'

x

x

y







 

7.

x

tg

y

6

5

2



  

 

 

javob: 

x

x

tg

y

6

cos

1

6

60

2

'



 

8.





x

y

3

1

ln





 

 

 

 

javob: 

x

y

3

1

3

'







 

9.





1

cos

ln





x

y

 

 

 

 

javob: 

x

x

y

cos

1

sin

'





 

10.





1

3

sin

3

2





x

y

   

 

 

javob: 

)

1

3

(

2

sin

9

3

2

'





x

x

y

 

11.





x

x

y

7

3

cos

6

2





 

 

 

javob: 

)

7

3

sin(

)

6

7

(

6

2

'

x

x

x

y







 

12.





3

2

4

6

5







x

x

y

 

 

 

javob:

)

18

30

(

)

4

6

5

(

3

2

2

'









x

x

x

y

 

13.

1

4

2





x

e

y

   

 

 

 

javob:

x

e

y

x

8

1

4

'

2





 

14.

x

y

3

log

8

2



 

 

 

 

javob:

2

ln

8

'

x

y



 

 

15.

2

2

9

x

e

y







 

 

 

 

javob:

2

'

2

9

x

xe

y







 

16.





4

2

sin

16





x

y

  

 

 

javob:

)

4

2

cos(

32

'





x

y

 

17.





x

y

2

1

sin

5

3





  

 

 

javob:

)

2

1

cos(

)

2

1

(

sin

30

2

'

x

x

y









 

18.





4

3

cos

2

2





x

y

  

 

 

javob: 

)

4

3

sin(

12

2

'







x

x

y

 

19.





1

6

3

2





x

tg

y

   

 

 

javob:

)

1

6

(

cos

36

2

2

'





x

x

y

 

20.





1

5

sin

2

2





x

y

  

 

 

javob:

)

1

5

(

2

sin

20

'





x

y

 

 

Mustaqil yechish uchun misollar 

 

31. 

2

3

( s i n

8 )

y

x

x

x





 

  javob: 

)

8

(cos

3

)

8

(sin

6

2











x

x

x

x

x

y

 

32. 

ctgx

x

y

2



 

  javob: 

x

x

xctgx

y

2

2

sin

2







 

33. 

2

5

8

c o s

x

y

x





 

  javob:

x

x

x

x

x

y

2

2

cos

sin

)

8

5

(

cos

10









 

34. 

3

2

c o s

y

x

x



 

  javob:

)

sin

cos

3

(

2

2

x

x

x

x

y







 

35.  

3 s i n

x

y

x



 

  javob:

)

cos

sin

3

(ln

3

x

x

y

x







 

36. 

3

5

s i n

y

x

x



 

  javob:

)

cos

sin

3

(

5

2

x

x

x

x

y







 

37. 

5

1

2

x

y

x







 

  javob:

2

)

2

(

)

1

5

(

)

2

(

5

ln

5













x

x

y

x

x

 

38. 

2

4

x

y

x e



 

  javob:

)

2

(

4

x

xe

y

x







 

39. 

7 ( s i n

2 )

x

y

x





 

  javob:

)

cos

)

2

(sin

7

(ln

7

x

x

y

x











 

40. 

2

5

2

c o s

x

x

y

x





 

  javob:

x

x

x

x

x

x

y

2

2

cos

sin

)

2

5

(

cos

)

2

10

(











 

41. 

3

2

c o s

4

x

y

x





 

  javob:

2

3

2

)

4

(cos

sin

2

)

4

(cos

6











x

x

x

x

x

y

 

42. 

3

2

2

s i n

x

x

y

x





 

  javob:

x

x

x

x

x

x

y

2

3

2

sin

cos

)

2

2

(

sin

)

2

6

(











 

43. 

( 3

1) s i n

y

x

x





 

  javob:

x

x

x

y

cos

)

1

3

(

sin

3









 

44. 

3

5

1

x

y

t g x





 

  javob:

x

tg

x

x

tgx

x

y

2

2

3

2

cos

)

1

5

(

15









 

45. 

2

5

s i n

x

y

x





 

  javob: 

x

x

x

x

x

y

2

2

sin

cos

)

5

(

sin

2









 

46. 

x

x

x

x

f

6

3

4

)

(

2

4







 

 

 

javob: 

2

2

4

2

3

)

6

3

4

(

)

1

(

6

)

6

3

4

(

4

)

(

x

x

x

x

x

x

x

x

f



















 

47. 

2

2

0

at

t

v

s





 

 

 

 

javob: 

at

v

s







2

0

 

48.  

1

2

3

4

2

3

















x

x

x

x

y

 

 

javob: 

2

3

4

5

1

2

6

12

)

(

x

x

x

x

x

f













 

49. 

2

3

2

5

2

4

3







x

x

y

   

 

javob: 

3

4

7

4

5

2

3

)

(

x

x

x

f









 

50. 

)

1

4

)(

2

3

(

2









x

x

x

y

  

 

javob: 

)

4

2

)(

2

3

(

)

1

4

(

3

)

(

2

















x

x

x

x

x

f

 

51. 

)

2

1

)(

4

1

(

2

3

x

x

y







 

 

 

javob: 

x

x

x

x

x

f

4

)

4

1

(

)

2

1

(

12

)

(

3

2

2













 

52. 

1

5





x

x

y

  

 

 

 

javob: 

2

)

1

(

5

)

(







x

x

f

 

53. 

x

x

y







1

1

 

 

 

 

javob: 

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

)

1

(

)

2

1

(

1

)

1

(

2

1

)

(

x

x

x

x

x

x

f

























 

54. 

x

x

x

f

2

ln

)

(





   

 

 

javob: 

2

2

ln

1

)

(

x

x

x

f









 

55. 

x

e

x

y

ln

7



 

 

 

 

javob: 

x

xe

x

x

x

f

)

ln

1

(

7

)

(







 

56. 

x

x

y

ln

5



   

 

 

 

javob: 

2

)

(ln

)

1

(ln

5

)

(

x

x

x

f







 

57. 

)

(

2

x

ctgx

x

y





   

 

 

javob: 

2

2

)

1

sin

1

(

)

(

2

)

(

x

x

x

ctgx

x

x

f















 

58. 

x

x

y

sin

2

1

cos





   

 

 

javob: 

2

)

sin

2

1

(

2

sin

)

(

x

x

x

f











 

59. 

x

e

y

x

x

ln

1

2





 

 

 

 

javob: 

2

)

ln

1

(

)

1

)

ln

1

)(

2

ln

1

(

(

2

)

(

x

x

x

x

e

x

f

x

x















 

60. y= 3x

2

 + 2x – 1 

 

 

javob:

2

6







x

y

 

61. y=

3

x

 

 

 

 

 

javob: y’=

3

2

3

1

x

 

62. y=(x

3

+1) (2x–1) 

 

 

javob: y’=8x

3

–3x

2

+2 

63. y=

x

x

2



   

 

 

 

javob: y’=−

2

2

x

 

64. y=2

x

   

 

 

 

javob: y’=

x

1

 

65. y=

3

2

x

x

x

  

 

 

 

javob: y’=

6

3

7

x

 

66. y=

x

x

3

2



-

3

4

x

   

 

 

javob: y’=(

3

4

2

3

4

2

3

2

x

x

x







)  

67. y=

x

x

x

2

3

2





 

 

 

 

javob: y’=

2

2

2

3

x

x



 

68. y=

n

n

x

n

x

n

2

1

2

2

1

1

2

2







   

 

javob: y’=2x

2n

-x

2n-1

 

69.  y=

x

x



2

2

   

 

 

 

javob: y’=









2

2

4

x

x

x





 

70.  y=(x

3

–2x+5)

4

   

 

 

javob: y’=4(x

3

–2x+5)

3

(3x

2 

–2) 

71. 





x

x

y

sin

5

ln

2





 

 

 

javob:

x

x

x

y

sin

5

cos

2

10

'







 

72. 

3

4

3 s i n ( 2

1)

y

x





  

 

 

javob:

)

1

2

cos(

)

1

2

(

sin

72

4

4

2

3

'







x

x

x

y

 

73. 

x

y

4

sin



 

   

 

javob: 

x

y

4

cos

4

'



 

74. 

x

y

2

cos

3



 

 

 

 

javob: 

x

x

y

2

sin

2

cos

6

'

2







 

75. 

x

ctg

y

4

2



 

 

 

 

javob: 

x

x

ctg

y

4

sin

4

8

'

2





 

76. 

x

tg

y

3

4

2



 

 

 

 

javob: 

x

x

tg

y

3

cos

3

24

'

2



 

77. 

)

2

1

ln(

2

x

x

y





   

 

 

javob: 

)

2

1

)

2

1

(ln(

2

'

x

x

x

x

y









 

78. 

1

2

2







x

e

y

  

 

 

 

javob: 

1

2

'









x

e

y

 

79. 

)

3

1

ln(

2

x

x

y





   

 

 

javob: 

x

x

x

x

y

3

1

3

)

3

1

ln(

2

2

'









 

80. 

















x

y

3

6

cos

2



 

 

 

javob: 























x

x

y

3

6

sin

)

3

6

(

6

2

'





 

81. 

x

e

y

x

2

cos

3



 

 

 

 

javob: 

x

x

x

e

y

x

2

cos

)

2

sin

2

2

cos

3

(

2

3

'





 

82. 

2

1

arcsin

x

x

y







   

 

javob: 

2

1

1

'

x

x

y







 

83. 

2

1

arccos

x

x

y







   

 

javob: 

)

1

arccos

1

(

'

2

x

x

x

y









 

84. 

)

ln(

2

1

2

2

a

x

a

x

arctg

y







 

 

javob: 

2

2

'

a

x

x

a

y







 

85. 

)

1

(

5

2

4





x

tg

y

   

 

 

javob: 

)

1

(

cos

)

1

(

40

'

2

2

2

3







x

x

xtg

y

 

86. 

3

2

2

x

x

y





   

 

 

 

javob: 

)

3

2

(

2

ln

2

'

2

3

2

x

x

y

x

x









 

87. 

)

ln(ln

2

x

y



 

 

 

 

javob: 

2

ln

2

'

x

x

y



 

88. 

)

2

3

sin(

5





x

y

   

 

 

javob: 

)

2

3

cos(

15

'





x

y

 

89. 

x

y

2

sin



  

 

 

 

javob:

x

x

y

2

cos

2

ln

2

'





 

90. 

0

2

2

2







a

y

x

   

 

 

javob: 

y

x

y





'

 

91. 

y

x

e

y





 

 

 

 

javob:

y

e

y





1

1

'

 

92. 

0

3

3

3







axy

y

x

 

 

 

javob: 

2

2

'

y

ax

ay

x

y







 

93. 

x

xy



)

cos(

 

 

 

 

javob:

)

sin(

)

sin(

1

'

xy

x

xy

y

y







 

94. 

x

y

xy

sin

2

2





   

 

 

javob: 

)

(

2

2

cos

'

y

x

y

x

y







 

Adabiyotlar 

25. Соатов Ё. У. Олий математика икки жилдлик Тошкент “Ўқитувчи”, 

1992й 

26. Курош А. Г. Олий алгебра курси Тошкент “Ўқитувчи”, 1976й  

27. Демидович  Б.  П.,  Кудрявцев  В.А.  Краткий  курс  высшей  математики: 

Учеб. пособие для вузов. М.: Астрель,2003.656с. 

28. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. В 2 т. 7-е изд. М.: 

Физматлит, 2002. Т. 1: 416 с; Т. 2: 440 с. 

29. Н.Л.Лобацкая «Основы высшей математики» Москва 1978, 1987 год 

30. Н.С.Пискунов  «Деффиренциал  ва  интеграл  хисоб»  I  –том.  Тошкент 

1972 йил. 

31. Сборник задач по математики для под  ред. А.В.Ефимова.  Москва 1984 

год. 

32. П.Е.Данко  и  др.  «Высшая  математика  в  упражнениях  и  задачах»  1,2-

часть. Москва 1986 год.