Sonli ketma-ketliklar

---

9-mashg’ulot. 

Mavzu: “Sonli ketma-ketliklar” 

Reja: 

1. 

Sonli ketma-ketlikning ta`rifi va turlari.

 

2. 

Ketma-ketlik limiti va uning geometrik ma`nosi.

 

3. 

Auditoriya topshirig’i.

 

4. 

Uy vazifasi.

 

5. 

Mustaqil yechish uchun misollar.

 

6. 

O’z-o’zini tekshirish uchun savollar.

 

1.  Sonli ketma-ketlikning ta`rifi va turlari. 

Ta`rif: Natural sonlar {

 } to’plamida aniqlangan funksiya  

 

       sonli ketma-ketlik deyiladi.   ga 

            qiymatlar  bersak,  bu  funksiyaning   

 

         

 

             

 

      ...  hususiy 

qiymatlarni hosil qilamiz, ular ketma-ketlikning hadlari deyiladi.

    

 

 - uning umumiy hadi deyiladi. 

Sonli ketma-ketlik {

 

 

} yoki {   

 

 } deb belgilanadi. Ketma-ketlikni umumiy hadi ma`lum bo’lsa u 

berilgan hisoblanadi. 

Misol 1. {

 

 

}   {

 

 

}   {  

 

 

 

 

 

 

 

 

      } 

Misol 2. {

 

 

}   {      }   {            } 

Misol 3. {

 

 

}   {    

 

}   {              } 

Misol 4. {

 

 

}   {   

  

 

}   {              } 

Ketma- ketliklar chekli yoki cheksiz bo’ladi. 

Misol 5. Ikki xonali toq sonlar ketma- ketligi cheklidir: {

                  } 

Misol 6. Juft sonlar ketma-ketligi cheksizdir {

             } 

Barcha hadlari bir hil qiymat qabul qiladigan {

 

 

} ketma-ketlik o’zgarmas ketma-ketlik deyiladi. 

Misol 7. {

         }. 

Agar  istalgan 

       uchun   

 

   

   

  tengsizlik  bajarilsa,  {

 

 

}  ketma-ketlik  monoton  o’suvchi 

deyiladi.  Masalan, misol 2 monoton o’suvchidir. 

Agar  istalgan 

       uchun   

 

   

   

  tengsizlik  bajarilsa,  {

 

 

}  ketma-ketlik  monoton  kamayuvchi 

deyiladi.  Masalan, misol 1 monoton kamayuvchidir. 

Agar istalgan 

      uchun  

 

   

   

 tengsizlik bajarilsa, {

 

 

} ketma-ketlik kamaymaydigan ketma-

ketlik deyiladi.  

Agar  istalgan 

       uchun   

 

   

   

  tengsizlik  bajarilsa,  {

 

 

}  ketma-ketlik  o’smaydigan  ketma-

ketlik deyiladi.  

Ketma-ketlik  chegaralangan  deyiladi,agar  uning  barcha  hadlari  chekli 

(–     )        oraliqda 

joylashgan  bo’lsa,  ya`ni  barcha     lar  uchun  | 

 

|      tengsizlik  bajarilsa.  Misol1  chegaralangan 

ketma-ketlikdir 

       

Izoh:  Chegaralangan  ketma-ketlik  monoton  bo’lmasligi  mumkin  va  monoton  ketma-ketlik 

chegaralanmagan bo’lishi mumkin. 

Misol 8.  {

 

 

}   { }   {        } o’suvchi, ammo chegaralanmagan. 

Misol 9.  {

 

 

}   {

      

 

 

}   {           } chegaralangan, lekin monoton emas. 

2.  Ketma-ketlik limiti va uning geometrik ma’nosi. 

Ta`rif: Agar istalgan 

      son uchun shunday              son mavjud bo’lsaki, barcha       lar 

uchun |

 

 

   |     tengsizlik bajarilsa,   o’zgarmas son { 

 

} ketma-ketlikni limiti deyiladi va  

   

   

 

 

         deb yoziladi. 

---

Agar  {

 

 

} ketma-ketlik chekli limitga ega bo’lsa,  u yaqinlashuvchi, aks holda uzoqlashuvchi ketma-

ketlik deyiladi. 

Misol 10. . {

 

 

}   {

 

 

} ketma-ketlikning limiti   ga teng ekanligini ko’rsating. 

Yechish:  Ihtiyoriy 

       sonni  olamiz.  |

 

 

   |    .    Bundan,     

 

 

,  ya`ni 

          sifatida 

 

 

  dan 

katta  istalgan  sonni  olish  mumkin.  Demak,  barcha 

          lar  uchun  |

 

 

   |      tengsizlik 

bajariladi. Bu esa 

   

   

 

 

    ekanligini bildiradi. Masalan,          uchun            va barcha 

        uchun |

 

 

|       . 

Agar  {

 

 

}  ketma-ketlik  monoton  o’suvchi  va  yuqoridan  chegaralangan  bo’lsa,  u  limitga  ega.  Agar 

{ 

 

} ketma-ketlik monoton kamayuvchi va quyidan chegaralangan, u limitga ega.