Alt linux Программирование на языке С++ в среде Qt Creator Е. Р. Алексеев, Г. Г. Злобин, Д. А. Костюк, О. В. Чеснокова, А. С. Чмыхало Москва alt linux 2015

Глава 4. Использование функций при программировании на C++
Рис. 4.6: Алгоритм метода хорд
Уравнение (4.1) можно привести к виду x = φ(x) следующим образом. Умно-
жить обе части уравнения f(x) = 0 на число λ. К обеим частям уравнения
λ · f(x) = 0 добавить число x. Получим x = x + λ · f(x). Это и есть уравне-
ние вида x = φ(x), где
φ(x) = x + λ · f(x)
(4.4)
Необходимо чтобы неравенство |φ
′
(x)| < 1 выполнялось на интервале [a; b],
следовательно, |φ
′
(x)| = |1 + λ · f
′
(x)| и |1 + λ · f
′
(x)| < 1 (|1 + λ · f
′
(a)| < 1,
|1 + λ · f
′
(b)| < 1), а значит, с помощью подбора параметра λ можно добиться
выполнения условия сходимости.
Для вычисления корней уравнения x
2
− cos(5 · x) = 0 воспользуемся графиче-
ским решением (рис. 4.2) и определим интервал изоляции одного из корней, на-
пример, a = 0.2; b = 0.4. Подберём значение λ, решив неравенство |1+λ·f
′
(x)| < 1:
|1 + λ · f
′
(a)| < 1 и |1 + λ · f
′
(b)| < 1,
f (x) = x
2
− cos(5 · x), f
′
(x) = 2 · x + 5 · sin(5 · x),
f
′
(a) = 2 · 0.2 + 5 · sin(5 · 0.2) ≈ 4.6 , f
′
(b) = 2 · 0.4 + 5 · sin(5 · 0.4) ≈ 5.35,
Программирование на языке С++ в среде Qt Creator

---

4.4. Решение задач с использованием функций
117
Рис. 4.7: Графическая интерпретация метода касательных
|1 + λ · 4.6| < 1 и |1 + λ · 5.35| < 1.







½
1 + 4.6 · λ < 1
1 + 4.6 · λ > −1
½
λ < 0
λ > −0.37
⇒







½
λ < 0
λ > −0.4
½
λ < 0
λ > −0.37
⇒
½
λ ∈ (−0.4; 0)
λ ∈ (−0.37; 0)
и, следовательно, λ ∈ (−0.37; 0).
Таким образом, исходными данными для программы будут начальное зна-
чение корня уравнения x
0
= 0.2 , значение параметра λ (пусть λ = −0.2), и
точность вычислений ε = 0.001 .
Для вычисления второго корня заданного уравнения параметр λ подбирают
аналогично.
Блок-схема метода простой итерации приведена на рис. 4.9.
Далее представлен текст программы, реализующий решение задачи 4.7.
#include 
#include 
using namespace s t d ;
//Функция, определяющая левую часть уравнения f (x) = 0.
double f ( double x )
{
return ( x∗x
−c o s ( 5 ∗ x ) ) ;
}
//Функция, реализующая метод половинного деления.
i n t Dichotomy ( double a , double b , double ∗ c , double e p s )
{ i n t k=0;
do
{
∗ c=(a+b ) / 2 ;
i f ( f ( ∗ c ) ∗ f ( a ) <0) b=∗c ;
e l s e a=∗c ;
k++;
© 2015 Алексеев Е. Р., Злобин Г. Г., Костюк Д. А., Чеснокова О. В., Чмыхало А. С.

---

118