Учебное пособие Пермь ипц «Прокростъ» 2017 удк


Действительные и возможные перемещения



Download 1,62 Mb.
Pdf ko'rish
bet62/96
Sana24.02.2022
Hajmi1,62 Mb.
#216197
TuriУчебное пособие
1   ...   58   59   60   61   62   63   64   65   ...   96
Bog'liq
Аюпов В.В. Математическое моделирование технических систем

6.2. Действительные и возможные перемещения, 
число степеней свободы, идеальные связи 
Действительным перемещением системы называется 
бесконечно малое ее перемещение, совершающееся в процес-
се движения под действием как заданных сил, так и реакций 
связей. Оно происходит за время dt в соответствии с динами-
ческими уравнениями движения и уравнениями связей и ха-
рактеризуется изменением координат 

1, 

2
,…, 

N
, где 

i
(
i

i

i
). 
Вариацией или возможным (виртуальным) перемещени-
ем точки в случае голономных связей называется любое до-
пускаемое наложенными связями элементарное перемещение 
материальной точки из положения, занимаемого ею в данный 


138 
фиксированный момент времени, в бесконечно близкое по-
ложение, которое она может занимать в тот же момент 
времени. 
Возможные (виртуальные) перемещения точек системы 
выражаются малыми изменениями радиус-векторов ее точек, 
которые будем обозначать через 

1


2
,…, 

N
, где 

I
(
i

i

i
). Векторы 


и их проекции 
i

i

i
называются 
простыми или изохронными вариациями радиус-векторов и 
координат. 
Вариации координат можно задать аналитически, 
например, так. Пусть координатах
i
изменяется со временем 
по некоторому закону х
i
(t). Изменим вид самой функции, 
положив 
̃
i
i
i
i
где 

– произвольный достаточно малый по модулю параметр 
(число), а 
i
 
произвольная дифференцируемая функция, 
ограниченная во времени для всех t. Величины 
i
i
 
назы-
ваются изохронными вариациями функций 
i
обозначают-
ся через 
i
. Следовательно, по определению 
i
i
i

Введем понятие изохронной вариации функции, завися-
щей от координат, которые сами могут являться функциями 
времени, т.е. для функций 

Главная линейная часть приращения функции при фик-
сированном t называется изохронной вариацией функции и 
обозначается 

Пусть, например, на точку наложена нестационарная 
голономная связь 
(6.2) 


139 
В фиксированный момент t сообщаем точке виртуаль-
ное перемещение 
⃗ в новом положении
Приращение функции равно нулю; ее изохронная вари-
ация: 
(6.3) 
(фиксировано, 
Наложенная связь ограничивает вариации координат 
этим соотношением в каждый момент времени. 
Если связь неголономная вида
̇ ̇ ̇
(6.4) 
где x, y, z – координаты точки; 
̇ ̇ ̇ их производные по 
времени; 
функции то проекции воз-
можного перемещения точки на координатные оси, т.е. вари-
ации 
координат точки, должны удовлетворять ра-
венствам 
(6.5) 
(последнее слагаемое 
отбрасывается, так как момент
фиксируется, 
Возможное перемещение системы – это любая сово-
купность возможных перемещений точек заданной механи-
ческой системы, допускаемая всеми наложенными на нее 
связями. 
При удерживающих связях для любого возможного пе-
ремещения точки механической системы противоположное 
ему перемещение также является возможным; тогда как при 
неудерживающих связях имеются возможные перемещения, 
противоположные которым не являются возможными. 
Число независимых возможных перемещений механи-
ческой системы называется числом ее степеней свободы. 


140 
Число степеней свободы системы совпадает с числом незави-
симых вариаций координат. 
Если система голономная (связи голономны), ее число 
степеней свободы совпадает с числом независимых коорди-
нат, однозначно определяющих положение системы, или с 
числом свойственных системе независимых перемещений. 
Важным является понятие идеальных связей – связей, 
для которых сумма работ их реакций равна нулю на любом 
возможном перемещении механической системы (при удер-
живающих связях). При неудерживающих связях идеальные 
связи – такие связи, сумма работ реакций которых равна ну-
лю на всех тех возможных перемещениях, противоположные 
которым тоже являются возможными. 
Пример. Массивное колечко перемещается по стержню, 
который равномерно вращается в горизонтальной плоскости. 
Виртуальное перемещение колечка в момент t – это беско-
нечно малое его перемещение 
⃗, которое совершается на 
самом деле на вращающемся стержне и обусловлено дей-
ствующими силами. 
Пример. Массивное кольцо скользит вниз по неподвиж-
ной натянутой проволоке, связь реализована проволокой. Ко-
ординаты кольца 
связаны уравнением 
(6.6) 
Связь голономная, стационарная, удерживающая. Одна 
степень свободы. Если трение между кольцом и проволокой 
отсутствует, то связь идеальна. 
Пример. При тех же условиях проволока натянута на 
клине, который может перемещаться по горизонтальной 
плоскости. 
Координаты кольца 
1

1
и координаты точки клина 
2


связаны уравнениями 


141 
; y

= 0
(6.7)
Связь голономная, стационарная, удерживающая. Две 
степени свободы (четыре вариации координат 
1
1
2

2
) связаны двумя зависимостями, которые легко найти ва-
рьированием уравнения (6.7), если отсутствует третье между 
кольцом и проволокой и также между клином горизонталь-
ной плоскостью, то эти связи идеальные. 
Пример. При тех же условиях, что и в предыдущем 
примере, движение клина задано заранее: клин перемещают 
равномерно в направлении оси х со скоростью v. Координаты 
кольца связаны уравнением 
(6.8) 
Связь голономная, нестационарная, удерживающая. Од-
на степень свободы. Фиксируя и варьируя (6.8), находим 
т.е. две вариации связаны одним уравнением. Если трения 
между кольцом и проволокой нет, эта связь идеальная. 
Пример. Колесико планиметра (прибора для измерения 
площадей по картам и планам) катится без скольжения по го-
ризонтальной плоскости карты. Положение колесика опреде-
ляется координатами 
c

его центра 
c
радиус ко-
лесика), углом 
между плоскостью колесика и осью и уг-
лом поворота
колесика вокруг своей оси, так как скольже-
ние колесика исключено, то 
c
̇. Острый обод колесика 
исключает перемещение в направлении, перпендикулярном 
его плоскости.
Следовательно, вектор 


лежит в плоскости колесика, и 
поэтому 
̇
c
̇ ̇
c
̇
или 
c
c



142 
Динамика несвободных систем сводится к динамике 
свободных систем на основе аксиомы о связях: не изменяя 
движение системы, связь можно отбросить, заменив ее дей-
ствие соответствующей силой – реакцией связи; после заме-
ны система рассматривается уже как свободная. 
Силы, действующие на материальные точки системы, 
Download 1,62 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   58   59   60   61   62   63   64   65   ...   96




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish