Учебное пособие Пермь ипц «Прокростъ» 2017 удк

ной, если ее решение существует, оно единственно и непре-
рывно зависит от исходных данных. В этом случае решение 
считается непрерывным, если малому изменению исходных 
данных соответствует достаточно малое изменение решения. 
Доказательство корректности задачи часто является достаточ-
но сложной математической проблемой. Математическая мо-
дель считается корректной, если для нее осуществлен и полу-
чен положительный результат всех контрольных проверок. 
4) Выбор и обоснование выбора методов решения
задачи 
При выборе или разработке метода решения задачи 
прежде всего устанавливается область его применения. Чем 
шире круг задач, которые объявлены как допустимые для 
решения данным методом, тем этот метод более универсален. 
В большинстве случаев четкая и однозначная формули-
ровка ограничений на применение метода затруднительна. 
Возможны ситуации, когда оговоренные заранее условия 
применения метода выполняются, однако удовлетворитель-
ное решение задачи не получается. Следовательно, вероят-
ность 
успешного применения метода в оговоренном зара-
нее классе задач меньше единицы. Эта вероятность является 
количественной оценкой важного свойства методов и алго-
ритмов, называемого надежностью. 

---

59 
Аналитические методы более надежны, но не всегда 
применимы. Отказы в решении задач алгоритмическими ме-
тодами могут проявляться, например, в несходимости итера-
ционного процесса (итерация – последовательное приближе-
ние), в превышении погрешностями предельно допустимых 
значений и т.п. 
К наиболее важным машинным (численным) методам 
относятся: 
- интерполяция и численное дифференцирование; 
- численное интегрирование; 
- определение корней линейных и нелинейных уравне-
ний; 
- решение систем линейных уравнений (подразделяют 
на прямые и итерационные методы); 
- решение систем нелинейных уравнений; 
- решение задачи Коши для обыкновенных дифферен-
циальных уравнений; 
- решение краевых задач для обыкновенных дифферен-
циальных уравнений; 
- решение уравнений в частных производных; 
- решение интегральных уравнений. 
Говоря о машинных вычислениях, важно осознавать, 
что они по своей природе являются приближенными и полу-
чаемое численное решение – это не всегда точное математи-
ческое решение. 
Рассмотрим, 
например, 
квадратное 
уравнение
, которое имеет меньший корень x ≈ 0.05. 
Если используемый нами машинный метод позволят вычис-
лять квадратные корни с точностью до одного знака после 
запятой, тогда: 
√
=10
√ ≈ 10 9,9 = 0,1. 

---

60 
Результат отличается от точного решения на 100 %. Од-
нако его можно улучшить, если перевести вычисляемый 
квадратный корень в знаменатель: 
√
( √ ) √
√
=
√
≈ 0,05. 
Т.е. в данном случае удалось найти способ исправить 
ошибку, 
обусловленную 
машинным 
методом. 
Вообще, выделяют четыре основных типа ошибок, характер-
ных для приближенных вычислений. 
1. Ошибки исходных данных имеют место, когда исход-
ные данные носят приближенный характер, например, полу-
чены путем физических измерений (любое средство измерения 
имеет ограниченную точность). Этот вид ошибки рассматри-
вается как шум (говорят, что данные зашумлены). Улучшение 
точности при наличии таких ошибок не достигается даже при 
правильной организации процесса вычислений. 
2. Ошибки округления возникают в связи с конечным 
представлением дробных чисел в компьютере. Нехватка раз-
рядов обусловливает потерю части значащих цифр. Анализ 
ошибок округления усложняется тем, что в обычном компь-
ютере десятичные числа представляются в виде двоичных 
кодов. Фактически число, хранящееся в компьютере, может 
случайным образом как округляться, так и усекаться. И соот-
ветствующие ошибки могут распространиться на последую-
щие вычисления, чаще всего в циклах. Если накопление 
ошибок округления приводит к значительной потере точно-
сти, то алгоритм (метод) считается неустойчивым, в против-
ном случае – устойчивым. 
3. Ошибки переполнения возникают в том случае, когда 
результат расчета по своему абсолютному значению превы-
шает наибольшее представимое в памяти ЭВМ значение. При 

---

61 
правильном использовании программных средств встречают-
ся достаточно редко. Одним из способов их избежать являет-
ся изменение единиц измерения вычисляемой величины, 
например, 1000мм=1м и т.д. 
4. Ошибки метода (алгоритма) возникают вследствие 
отклонения алгоритмического процесса вычислений от точ-
ного (аналитического). Если при неограниченном увеличении 
числа шагов алгоритма решение дискретной задачи стремит-
ся к решению исходной задачи, то говорят, что вычислитель-
ный метод сходится. Для повышения надежности алгорит-
мов часто применяют комбинирование различных методов, 
автоматическую параметрическую настройку методов и т.п. 
В конечном счете, добиваются значений надежности p, рав-
ных или близких к единице. Применение методов с p<1 хотя 
и нежелательно, но допускается в отдельных частных случа-
ях при обязательном условии, что некорректное решение 
распознается и отсутствует опасность принять такое решение 
за правильное решение.