Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Вычислительные методы на эвм»

2.5. Решение краевой задачи 
Постановка задачи. На практике часто приходится решать задачи 
другого типа, когда требуется, чтобы искомая функция имела бы заданные 
значения на границах отрезка, на котором рассматривается решение. Та-
кие задачи, называемые краевыми, получаются при решении уравнений 
высших порядков или систем уравнений. 
Рассмотрим, например, линейное дифференциальное уравнение вто-
рого порядка 
(18) 
Краевая задача состоит в отыскании решенияy=y(x) уравнения (18) 
на отрезке [a,b], удовлетворяющего на концах отрезка условиям 
y(a)=y
a
, y(b)=y
b
(19) 
Методы решения краевых задач довольно разнообразные – это и 
точные 
аналитические 
методы, 
и 
приближенные, 
и 
числен-
ные.Аналитические методы имеются лишь для решения узкого класса 
уравнений, в частности для решения линейных дифференциальных урав-
нений с постоянными коэффициентами, которые широко используются 
при исследовании различных физических процессов (например, в теории 
колебаний, динамике твердого тела и т.п.). 
Приближенные методы разрабатывались еще задолго до появления 

---

17 
компьютеров. Однако многие из них до сих пор не утратили своего значе-
ния. Это методы коллокаций, наименьших квадратов, метод Галеркина и 
др. 
Численные методы решения краевой задачи можно разделить на две 
группы: сведение (редукция) решения краевой задачи к последовательно-
сти решений задач Коши и непосредственное применение конечно-
разностных методов.
Далее мы рассмотрим один из простых численных методов, относя-
щийся к первой группе методов.
Метод стрельбы («пристрелки»). Рассмотрим краевую задачу для 
уравнения второго порядка, разрешенного относительно второй производ-
ной: 
(20) 
Заметим, что решение обсуждаемой за-
дачи имеет простой геометрический 
смысл. Нужно найти интегральную кри-
вую («траекторию»), проходящую через 
точкиА, В (рис. 5). Если в (20) заменить 
условиеy(b)=y
b
наy
’
(a)=tgα, то мы полу-
чим задачу Коши (задачу с начальными 
условиями, заданными в точкеx=a). Счи-
тая решение задачи Коши y=y(x,α), зави-
сящим от параметра 

, будем искать та-
кое его значениеα
*
, при котором полу-
ченная интегральная криваяy=y(x, α
*
) 
выходит из точкиА и попадает в точку В. Другими словами, нужно подоб-
рать такое значение угла наклона 

, чтобы удовлетворялось уравнение 
y(b,α)-y
b
=0 (21) 
Следовательно, для нахождения параметра 

необходимо решить не-
линейное уравнение видаF(α)=0, гдеF(α)=y(b,α)-y
b
.
Необычность ситуации состоит в том, что функцияF(α) задана не-
привычным пока для нас образом – алгоритмически: чтобы найти значение 
функции F при заданном значении аргумента, надо решить задачу Коши 
(22) 
Но с точки зрения численных методов решения нелинейных уравне-
ний не важно как задана функция, достаточно уметь вычислять её значе-
ния. Если, например, из каких-то соображений (или в результате предвари-
тельных расчетов) известно, что искомое решение лежит между двумя ин-
тегральными кривыми AB
’
и AB
’’
с начальными наклонамиα
0
иα
1
, то про-
стейшим методом решения уравнения (21) является метод половинного 
деления. Полагаяα
2
=(α
0
+α
1
)/2 , решаем задачу Коши приα=α
2 
и, в соответ-
Рис.5. Интегральная кривая, 
проходящая через точкиА, В 

---

18 
ствии с методом половинного деления, отбрасываем один из отрезков: [α
0
, 
α
1
] или [α
2
, α
1
], на котором функция F(α) не меняет знак. Процесс поиска 
решения прекращается, если разность двух последовательно найденных 
значений 

меньше некоторого наперед заданного малого числа. В этом 
случае полученное последним решение задачи Коши и будет принято за 
искомое решение краевой задачи. 
Для решения уравнения (21) можно использовать и другие методы, 
например метод Ньютона. Его применение состоит в следующем. Пусть 
α
0
– начальное приближение кα
*
, тогда для уточнения корня можно по-
строить итерационный процесс в соответствии с формулой Ньютона (15): 
1 (23) 
Производную F
’
(α)=∂y(x,α)/∂α в знаменателе этого выражения мож-
но вычислить численно: 
(24) 
ГдеΔα – произвольная малая величина.С учетом (24) имеем: 
1 (25) 
Очевидно, что при использовании метода Ньютона уточнения корня 
уравнения (21) для перехода от k-го приближения к (k+1)-му необходимо 
два раза решить задачу Коши (22): один раз сy
’
(a)=tgα
k
и другой – с 
y
’
(a)=tg(α
k
+Δα).
Описанный алгоритм называется методом стрельбы вполне оправ-
дано, поскольку в нем как бы проводится «пристрелка» по углу наклона 
интегральной кривой («траектории») в начальной точке. Следует отметить, 
что этот алгоритм хорошо работает в том случае, если решениеy=y(x,α) не 
слишком чувствительно к изменению 

; иначе мы можем столкнуться с 
неустойчивостью решения. В тех случаях, когда решения дифференциаль-
ных уравнений являются быстро растущими функциями, предпочтитель-
ней могут оказаться методы, основанные на непосредственной аппрокси-
мации исходной задачи.