Russian Mathematics Education

On the Mathematics Lesson

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Fig. 1.

In this way, the whole idea of the theorem’s proof is discussed. What

is required to complete the proof of the theorem? It is still necessary to

make a transition from expressing the idea in terms of numerical values

to expressing it in terms of general relations. The expression “find the

area of the obtained triangle, based on your knowledge of the area of

the given triangle” must be replaced with an expression about relations

between areas (which will be natural, since it is already clear why this

relation is needed). Finally, it is necessary to examine the general case,

where two different triangles with congruent angles are given, rather

than two triangles with a common angle, i.e. it must be shown that the

general case can be reduced to the case that has been investigated, by

“superimposing” one triangle on the other. All of this can usually be

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March 9, 2011

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Russian Mathematics Education: Programs and Practices

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done by the students themselves, i.e. they can be told to carry out the

proof of the theorem as a final problem. But even if teachers decide

that it would be better if they themselves sum up the discussion and

draw the necessary conclusions, the students will be prepared.

It must be pointed out here that genuine problem solving is often

too categorically contrasted with the solving of routine exercises. The

implication thus made is that in order to involve students in authentic

problem solving in class, they must be presented with a situation

that is altogether unfamiliar to them. Furthermore, because it is in

reality clear to everyone that nothing good can come of such an

exercise in the classroom, students are in fact not given difficult and

unfamiliar problems. Instead, they receive either mere rhetoric or else

long problems or word problems in place of substantive problems.

The whole difference between solving problems in class and solving

problems chosen at random at home lies in the fact that in class the

teacher can help — not by giving direct hints, but by organizing the

problem set in a meaningful way. Indeed, even problems that seem

absolutely analogous (such as problems 1 and 2 above) in reality

demand a certain degree of creativity and cannot be considered to

be based entirely on memory; this has been discussed, for example,

by the Russian psychologist Kalmykova (1981). A structured system

of problems enables students to solve problems that are challenging

in the full sense of the word. Yes, the teacher helps them by breaking

down a difficult problem into problems they are capable of solving, but

precisely as a result of this the students themselves learn that problems

may be broken down in this way and thus become capable of similarly

breaking down problems on their own in the future. This is precisely

the kind of scaffolding which enables students to accomplish what they

cannot yet do on their own, as described by Vygotsky (1986).

It is important to emphasize that the program in mathematics

has been constructed and remains constructed (even now, despite

reductions in the amount of time allocated for mathematics and

increases in the quantity of material studied) in such a way that it

leaves class time not only for introducing one or another concept,

but also for working with it. Consequently, even in lessons which

would be classified as lessons devoted to reinforcing what has already

been learned (according to the classification system discussed above),

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