6 -ma’ruza Laplas almashtirilishi, uning xossalari. Originallar sinfi, tasvirlar sinfi. Operatsion hisobning asosiy teoremalari

Download 0,64 Mb.

Pdf ko'rish

bet	2/2
Sana	24.08.2021
Hajmi	0,64 Mb.
	#155218

1 2

Bog'liq
6 -ma’ruza Laplas almashtirilishi, uning xossalari. Originallar

Original va tasvir

1-Ta’rif. 1-3 shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy

funksiya original

deb ataladi; (1) foormula bilan aniqlanuvchi

funksiya esa funksiyaning

tasviri deb ataladi

Original va unga mos tasvir orasidagi bog’lanishni

, yoki [ ]

ko’rinishda belgilaymiz.

Shuni ta’kidlash lozimki, fizik jarayonlarni ifodalaydigan funksiyalarning

aksariyati 1-3 shartlarni qanoatlantiradi.

Operatsion hisobning ustunlik jihati shundaki, differensiallash amali

ko’paytirish bilan, integrallash esa bo’lish bilan almashinadi.

Operatsion hisob va uning tadbiqlari uchun muhim bo’lgan ba’zi

funksiyalarning tasvirlarini topishga doir misollar qaraymiz.

1-Misol. Quyidagi funksiyalarning tasvirlarini toping.

► a) Birlik funksiya va uning tasviri.

Xevisaydning birlik funksiyasini qaraymiz:

{

Bu funksiyaning tasvirini hisoblaymiz

Bu tenglik

shart bajarilganda o’rinli. Demak

(3)

Agar

funksiya uchun 1 va 3 shartlar bajarilib 2 shart o’rinli bo’lmasa, u

holda

{

funksiya uchun 2 shart bajariladi va bu funksiya original bo’ladi.

(3) tenglikda

ko’paytuvchini ko’paytuvchini tushirib qolamiz va

funksiyani

da nolga teng deb hisoblaymiz. Bu holda

Bu integral

demak da yaqinlashuvchi va

ya’ni

bu yerda ixtiyoriy haqiqiy son.

Ma’lumki,

[

]

Shuning uchun ta’rif bo’yicha

Shunday qilib

bu yerda

c) Xuddi yuqoridagi kabi amallarni bajarsak

munosabatni hosil qilamiz (tekshiring).

, kompleks son.

Ta’rifga ko’ra

(

)

Shunday qilib

e) Xuddi shu singari

munosabat o’rinli bo’ladi (mashq sifatida tekshiring);

, kompleks son

Shuning uchun

bu yerda

| |

Demak,

| | (mashq sifatida tekshiring).◄

Endi har qanday original uchun tasvir mos kelishi haqidagi teoremaga

o’tamiz. Quyidagi teorema o’rinli:

1-Teorema. Har qanday

original funksiya uchun,

yarim

tekislikda (1) tenglik bilan aniqlanuvchi

tasvir funksiya mavjud va ushbu

yarim tekislikda

analitik funksiyadan iborat, bu yerda

original

funksiyaning o’sish ko’rsatgichi.

► Original funksiya ta’rifining 3-shartiga ko’ra |

. Agar

bo’lsa |

shuning uchun

Bu yerdan

Shunday qilib

| | |

Bu yerdan (1) integralning mutlaq yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi, ya’ni

tasvir funksiya mavjud. ◄

Natija. Agar

original bo’lsa, u holda

► Agar

ning o’sish ko’rsatgichi

bo’lsa yuqorida

isbotlanganiga ko’ra

| |

Agar bu tengsizlikda

da limitga o’tsak

.◄

Operatsion hisobning asosiy teoremalari

Bevosita ta’rif yordamida tasvirni topish har doim ham mumkin

bo’lavermaydi, chunki hisoblanishi kerak bo’lgan integral murakkablashib ketishi

mumkin. Biz Laplas almashtirishining shunday xossalariga to’xtalamizki, ular bir

qancha sinfdagi funksiyalarning tasvirini topish imkonini beradi. Bundan tashqari

ular tasvir ma’lum bo’lsa, originalni tiklash usullarini ifodalaydi.

2-Teorema. (Originalning yagonaligi) Agar

funksiyalarning

tasvirlari o’zaro teng bo’lsa, bu funksiyalar uzluksiz bo’ladigan barcha

nuqtalarda ustma ust tushadi.

3-Teorema. (Chiziqlilik) Agar

va bo’lsa, u

holda ixtiyoriy

va kompleks sonlari uchun

(4)

►Ta’rif bo’yicha

funksiyaning originalini integralning

chiziqliligidan foydalanib topamiz

[ ]

◄

Chiziqlilik teoremasiga misol tariqasida

funksiyaning tasvirini

topamiz.

(

)

(

)

4-Teorema. (O’xshashlik) Agar

bo’lsa, u holda ixtiyoriy

uchun

(

)

(5)

►

funksiyaning tasvirini hisoblash uchun, integralda

almashtirish bajaramiz:

[ ]

(

)

(5) munosabatni hosil qoldik.◄

5-Teorema. (Siljish) Agar

bo’lsa, u holda

(6)

►Ta’rif bo’yicha

ning tasvirini topamiz

[

]

[

]

◄

Demak, siljish teoremasiga ko’ra originalni

ga ko’paytirish, tasvir

argumentining

qiymatga siljishiga olib kelar ekan. Bu teorema yordamida, agar

funksiyaning tasviri ma’lum bo’lsa,

funksiyaning tasvirini topish

mumkin. Masalan,

6-Teorema.

(Originalni

differensiallash)

Agar

bu originalning hosilalari bo’lsa, u holda

(7)

►Ta’rifga ko’ra

[

]

Bu integralni bo’laklab integrallaymiz:

, demak

[

]

funksiyaning o’sish tezligi dan katta bo’lganligi uchun da

| . Shuning uchun

ning tasvirini topish uchun bu usulni ikki marta qo’llaymiz. Agar

tasviri uchun bu usulni marta qo’llasak (7) formula kelib chiqadi. ◄

Agar

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ bo’lsa, (7) formula soddalashib

ko’rinishga keladi. Xususan

2-Misol.

funksiyaning tasvirini toping.

► Ma’lumki,

. Agar bu yerda originalni

differensiallash teoremasini qo’llasak

yoki

. ◄

7-Teorema. (Originalni integrallash) Agar

bo’lsa, u holda

(8)

► Agar

original bo’lsa,

ham original bo’lib

, tengliklar o’rinli. Agar

bo’lsa,

ni differensiallab, originalni differensiallash teoremasiga asosan

, ya’ni ga ega bo’lamiz. Demak

◄

8-Teorema. (Tasvirni differensiallash) Agar

bo’lsa, u holda

(9)

►

funksiya

(

funksiyaning o’sish tezligi) yarim

tekislikda analitik bo’lganligi uchun, uning ixtiyoriy tartibdagi hosilasi mavjud.

Shunga asosan

funksiyadan hosila olsak,

(

)

( )

demak,

(9) formulani keltirib chiqarish uchun induktsiya usulini qo’llash mumkin. ◄

3-Misol.

funksiyaning tasvirini toping

► Buning uchun

funksiyalarning tasvirlarini yuqoridagi teoremaga

asosan topamiz

(

)

(

)

va hokazo bu jarayonni

marta takrorlasak

ni hosil qilamiz. Agar bu yerda siljish teoremasini qo’llasak

bo’ladi.◄

4-Misol. Quyidagi funksiyalarning tasvirlarini tasvirni differensiallash

teoremasidan foydalanib hisoblang.

►a)

. Tasvirni differensiallash teoremasiga asosan

(

)

(

)

(

)

(

)

munosabatlarni hosil qilamiz. ◄

9-Teorema. (Tasvirni integrallash) Agar

va original

bo’lsa, u holda

(10)

►

bo’lsin. funksiyani ( yarim tekislikda

analitik) differensiallab topamiz

Bu tenglikni

da integrallasak

1-Teoremaning natijasiga ko’ra

ya’ni

◄

5-Misol. Integral sinus

ning tasvirini toping:

►9-Teoremaga asosan

Oxirgi munosabatga originalni integrallash teoremasini qo’llaymiz, u holda

(

)

munosabatga ega bo’lamiz.◄

10-Teorema. (Originalning kechikish teoremasi)

Agar

va bo’lsa, u holda

(11)

►

ning tasvirini topish uchun integralda o’zgaruvchini

almashtiramiz

[ ]

. ◄

Bu teoremada kechikish so’zining ma’nosi quyidagicha:

bir xil funksiyalar bo’lib, farq shundaki,

funksiya grafigi ga

gisbatan

birlik o’ngga surilgan (1 rasm).

Demak, fizik jihatdan

va funksiyalar bir xil jarayonni ifodalaydi

faqatgina

funksiya ifodalaydigan jarayon vaqtga kechikib boshlanadi.

2-Ta’rif.

va funksiyalarning ko’rinishda belgilanadigan o’ramasi

deb

(12)

tenglik bilan aniqlanadigan funksiyaga aytiladi.

6-Misol.

funksiyalarning o’ramasini toping.

► Bu funksiyalarning (12) o’ramasini bo’laklab integrallaymiz

Demak,

◄

11-Teorema (Tasvirlar ko’paytmasi) Agar

, , u

holda

funksiyalar o’ramasining tasviri tasvirlar ko’paytmasiga teng:

(13)

►

o’ramaning tasvirini hisoblaymiz

[ ]

(

)

Bu ikki karrali integralning integrallash sohasini qaraymiz:

(2 rasm). Agar integrallash tartibini o’zgartirsak

. Demak

1- rasm

t=𝜏

𝜏

t

2- расм

[ ]

Ichki integralda

ko’rinishda almashtirish bajaramiz, u holda

[ ]

O’ng tomondagi ifoda ikkita integralning ko’paytmasi bo’lib, ular mos ravishda

va funksiyalarning tasvirlaridan iborat.

Demak

. ◄

7-Misol. Funksiyaning originalini toping:

► Tasvirni ko’paytma shaklida yozamiz:

Bu yerdagi ikkita ko’paytuvchi mos ravishda

va funksiyalarning

tasvirlari. Tasvirlar ko’paytmasi formulasiga asosan

(

)

[ ]

[

] |

Demak

bo’lar ekan.◄

Tasvirlar ko’paytmasining maxsus ko’rinishi, ya’ni

ning

originalini topish formulasini keltirib chiqaramiz. Quyidagicha almashtirish

bajaramiz

Originalni differensiallash teoremasiga ko’ra

Demak, tasvirlar ko’paytmasi va Laplas almashtirishining chiziqliligiga ko’ra

yoki

(14)

(14) tenglik Dyuamel formulasi deb ataladi.

Endi Laplas almashtirishining bu bo’limda o’rganilgan xossalari, ular

yordamida hosil qilingan ba’zi elementar va tadbiqlarda ko’p uchraydigan maxsus

funksiyalarning tasvirlari jadvalini keltiramiz.

Original- tasvirlar jadvali

Original

Tasvir

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

Download 0,64 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:

1 2