Sonlar nazariyasidan misol va masalalar

Javob: taqqoslama yechimga ega emas. 
4).  Berilgan 
  
 
              taqqoslamani  bosh hadining koeffisiyenti 1 ga 
teng  bo‘lgan  holga  keltiramiz. 
                            bo`lgani  uchun 
  
 
               taqqoslamaning  ikkala  tomonini     ga  ko`paytiramiz.  U  holda 
  
 
                  
 
                        
 
               
       
 
         →                
va 
                      
                      hosil bo‘ladi.   Javob:                 
5)  Berilgan 
  
 
                     taqqoslamani    bosh  hadining 
koeffisiyenti 1 ga teng bo‘lgan holga keltiramiz. 
                             
bo`lgani  uchun 
  
 
                     taqqoslamaning  ikkala  tomonini     ga 
ko`paytiramiz. 
U 
holda 
   
 
                         
 
           
        →       
 
                         
 
          →       
 
 
                                                      
                         hosil bo‘ladi.       Javob:                 
6). 
Berilgan 
  
 
                    
taqqoslamani 
 
  
 
                                
 
                          
 
 
                             
 
                       
                                                        
                           va                 Javob:                   
7). 


2
4
11
3
0 mod13
x
x

 
taqqoslamani  ikkihadli  taqqoslama  ko‘rinishiga 
keltirib, keyin yeching.  

---

 
 
216 
 








2
2
2
4
24
16 0 mod13
6
4 0(mod13)
3
0 mod13
3 mod 13 .
x
x
x
x
x
x

 
   
 

 
8).


2
3
7
8 0 mod17
x
x
  
  taqqoslamani  ikkihadli  taqqoslama  ko‘rinishiga  keltirib, 
keyin yeching. 

 

















2
2
2
2
3
24
9
0(mod17)
8
3 0 mod17
4
19 mod17
4
36 mod17
4
6 mod17  
  
4
6 mod17
 
6 4 mod17
  
10 mod17
2(mod17) 
 
7 mod17 .
x
x
x
x
x
x
x
va x
x
va x
x
va x

 

  
 




  
  
  
 
 

293.1).  Berilgan  kasr  butun  qiymat  qabul  qilishi  uchun  uning  surati  maxrajiga 
bo`limishi  kerak,  ya`ni
  
 
                     bajarilishi  kerak.  Bundan      
  
 
              {
       
 
          
       
 
           
 
 
{
       
 
         
       
 
           
  {
                
                 
  larga  ega  bo‘lamiz.  Keyingi 
sistemadagi  birinchi  taqqoslamaning  yechimlari 
               ,  ikkinchi 
taqqoslamaning  yechimlari 
                  dan  iborat  ekanligi  kelib  chiqadi. 
Bulardan quyidagi taqqoslamalar sistemalarini hosil qilamiz: 
   
 
{
           
                
 
    {
           
                      
 
  {
           
              
 
 
 
) 
{
           
             
 
Bu sistemalarni yechmiz. U holda 
 
 
) dan
{
          
 
      
 
             {
  
 
          
          
 
  {
 
 
          
          
 
  
          
 
 
 
 
     
 
 
) dan 
{
          
 
      
 
           {
  
 
          
          
 
  {
 
 
          
          
 
  
            
 
,  
 
 
     
 
 
 
) dan  
{
          
 
      
 
             {
  
 
          
          
 
  {
 
 
          
          
 
  
            
 
,  
 
 
     
 
 
  dan{
          
 
      
 
           {
  
 
          
          
 
  {
 
 
           
          
 
  
            
 
,  
 
 
     
Javob: 
                                                              
4) 
Berilgan  kasr  butun  qiymat  qabul  qilishi  uchun  uning  surati  maxrajiga 
bo`limishi  kerak,  ya`ni
 
 
                     bajarilishi  kerak.   
 
          
         ni  qaraymiz.    Bu  taqqoslamani     moduli  bo‘yicha  chegirmalarning  to‘la 
sistemasi 
           dagi  sonlarni  sinab  ko‘rish  usuli  bilan  yechsak,              

---

 
 
217 
 
uning  yechimi  ekanligini  topamiz.  Endi 
     moduldan      modulga  o‘tamiz.  Buning 
uchun  290-misoldagi  singari  ish  tutamiz.  U  holda  (7)-formulaga  asosan   
    
 
 
 
 
    
 
           ga ega bo‘lamiz. Bu yerda 
           
 
              va     
 
         bo‘lgani  uchun        
 
           
  
 
          ga ega bo‘lamiz. Bunda          , lekin   soni   ga bo`linmagani 
uchun  bu  taqqoslama  yechimga  ega  emas,  ya`ni  berilgan  ifoda  butun  qiymat  qabul 
qiladigan 
  ning natural qiymatlari mavjud emas.  
Javob:  berilgan  ifoda  butun  qiymat  qabul  qiladigan 
   ning  natural  qiymatlari 
mavjud emas.  
5)  Berilgan  kasr  butun  qiymat  qabul  qilishi  uchun  uning  surati  maxrajiga 
bo`limishi kerak, ya`ni 
 
 
                     bajarilishi kerak.  Bu taqqoslama 
ushbu 
{
 
 
                  
 
 
                  
 
taqqoslamalar sistemasiga teng kuchli. Bu sistemaning 1-taqqoslamasini yechamiz. 
U 
holda 
 
 
                      
 
                         va   
        larni hosil qilamiz. 
Endi 2- taqqoslamasini yechamiz:  
 
 
                     
 
                                
Bularga asoslanib quyidagi sistemalarni tuzib olamiz: 
 
 
)  
{
            
               
 
)  
{
            
               
 
)  
{
           
           
 
 
 
)  
{
           
            
 
Bu sistemalarni yechib, yechimlarini topamiz: 
 
 
) dan 
{
           
 
       
 
            ,
  
 
        
           
  {
 
 
         
           
 
  
           
 
   
 
   . 
 
 
 
) dan    
{
           
 
       
 
            {
  
 
        
           
 
  {
 
 
         
           
 
 
           
 
   
 
     
 
 
 
) dan    
{
          
 
      
 
          {
  
 
          
          
 
  {
 
 
          
          
 
 
            
 
, 
 
 
   . 
 
 
 
) dan    
{
          
 
      
 
            {
  
 
         
          
          
  {
 
 
         
          
 
 

---

 
 
218 
 
           
 
 
 
 
     
 
Javob: 
           
 
             
 
             
 
              
 
   
 
       
294. 
 
 
          taqqoslama yechimga ega bo`lishi uchun Eyler kriteriyasiga 
asosan 
 
   
 
           bajarilishi kerak. Budan       da   
 
          ga ega 
bo`lamiz 
   moduli  bo`yicha               dan  iborat  .  Bularni  Eyler  kriteriyasiga 
qo`yib,  tekshirib  ko`ramiz; 
 
 
      
 
      
 
       
 
   ,         
 
       
 
      
Demak, 
      sonlari     modul  bo`yicha  kvadratik  chegirma,  qolganlari,  ya‘ni        
lar esa kvadratik chegirma emas.  
295.  1). 
        moduli bo‘yicha kvadratik chegirmalar sinflarini aniqlash uchun 
Eyler 
kriteriyasi 
 
   
 
             
 
           
ning 
bajarilishini 
chegirmalarning  keltirilgan  sistemasi 
                         dagi  chegirmalar  uchun 
tekshirib ko‘ramiz. U holda quyidagilarga ega bo‘lamiz: 
 
 
           
 
 
              
 
                      
 
             
                                 
 
                         
            
 
 
                                         
 
                            
             
 
                                             
 
 
                                          Bizga  ma‘lumki,           moduli 
bo‘yicha  chegirmalarning  keltirilgan  sistemasidagi  chegirmalar  yarmi  kvadratik 
chegirma  qolganlari  esa  kvadratik  chegirma  emas  bo‘ladi.  Biz  yuqorida 
          larning           moduli  bo‘yicha  kvadratik  chegirmalar  bo‘lishini  ko‘rdik. 
Demak, 
                                             lar          moduli  bo‘yicha 
kvadratik chegirmalar sinflari bo‘ladi. 
Javob:
                                                     
2). 
       moduli bo‘yicha kvadratik chegirmalar sinflarini aniqlash uchun Eyler 
kiriteryasi 
 
   
 
             
 
            ning  bajarilishini  chegirmalarning 
keltirilgan  sistemasi 
                                 dagi  chegirmalar  uchun  tekshirib  
ko‘ramiz. U holda quyidagilarga ega bo‘lamiz: 
 
 
           
 
 
              
 
                       
 
              
                  
 
                            
 
 
                                                 
 
                     
                           
 
                                     
            
 
                                            
 
                   
                                
 
                               

---

 
 
219 
 
               
 
                              Bizga ma‘lumki,        moduli 
bo‘yicha  chegirmalarning  keltirilgan  sistemasidagi  chegirmalar  yarmi  kvadratik 
chegirma qolganlari esa kvadratik chegirma emas bo‘ladi. Biz yuqorida 
              
larning 
         moduli  bo‘yicha  kvadratik  chegirmalar  bo‘lishini  ko‘rdik.  Demak, 
                                                        lar          moduli 
bo‘yicha kvadratik chegirmalar sinflari bo‘ladi.