Pedagogika universiteti a. A. Normatov matematika tarixi

q

q

p

q

q

p

q

q

p

q

q

p

q

q

p

q

q

p

q

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

x

a

a

x

y

x

a

a

x

a

a

x

a

x

a

x

a

x

x

a

a

x

a

a

x

a

1

1

...

,

)

1

(

,

)

1

(

,

)

1

(

....

,

,

,

....

,

)

1

(

,

)

1

(

,

)

1

(

2

2

2

 

---

 

62 

Polosalar kichrayganda 

q

q

p

x

aniqmas bo’lishini yo’qotish uchun 

q

b

a

 almash-

tirish bajaradi. Natijada  

)

...

1

)(

1

(

)

...

1

)(

1

(

1

1

1

1

1

2

1

2

q

p

q

q

b

q

q

q

p

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

a

a

 

Limit xolatida 

1

1

b

a

 bo’lib, 

q

q

p

x

q

p

q

x

y

 

Xuddi shunga o’xshash 

x

n

x

x

 hisoblanadi. 

Cheksiz  kichiklar  ustida  algebrik  muxokama  usulida  foydalangan  yana  bir 

olim London qirollik jamiyatining asoschisi Oksford universitetining professori  Djon 

Vallis (1616-1703). 1655 yili “Cheksizlar arifmetikasi” asarini e’lon qiladi. Bu asarida u 

Kavalьeri  erishgan  natijasini  to’liqmas  matematik  induktsiya  yordamida  ixtiyoriy 

butun k uchun chiqaradi, ya’ni: 

                            

1

0

1

1

m

dx

x

m

 

Umuman Vallis algebradan analiz tomonga qadam qo’ygan birinchi matema-

tikdir.  U  cheksiz  qatorlar  va  cheksiz  ko’paytmalar  bilan  bemalol  ish  yurita  olgan: 

mavxum  ifodalar,  manfiy  va  kasr  ko’rsatkichlar, 

0

1

  o’rniga 

  belgini  ishlatish  va 

boshqalar. 

...

9

9

7

7

5

5

3

3

1

...

8

8

6

6

4

4

2

2

2

 ko’rinishni olgan. 

Umuman 1630-1660 yillar orasida ishlagan barcha matematiklar a

t

 u

n

 = b

n

 x

t

 

ko’rinishdagi algebrik chiziq bilan bog’liq bo’lgan masalalar bilan shug’ullanganlar. 

Xar biri t butun musbat, so’ng manfiy va kasr hollar uchun 

a

m

m

m

a

dx

x

0

1

1

 formulani 

chiqarishgan (turli usullar bilan). 

Ba’zan  algebrik  bo’lmagan  chiziqlar  ham  paydo  bo’la  boshlagan  (Dekart, 

Paskalь – “ruletta”). 

Endi  differentsial  metodlar  bilan  tanishaylik.  Differentsiallash  yordamida 

echiladigan masalalar:  

1)  egri chiziqqa urinma o’tkazish; 

2)  funktsiyaning ekstremumlarini topish; 

3)  algebrik tenglamalarning karrali ildizlarini mavjudlik shartlarini topish; 

4)  Xarakat  traektoriyasining  istalgan  nuqtasida  tezlikni  topish  (mexanika 

masalasi). 

Bu  borada  ko’p  ishlar  qilgan  olimlardan:  o’aliley,  Torichelli,  Dekart,  Ferma 

0

)

(

)

(

h

x

f

h

x

f

  Vallis,  Borrou  va  boshqalar.  Oxirgisining  ishi  bilan  tanishaylik. 

Vallisning  shogirdi  Isaak  Borrou  (1630-1677)  Kembridj  universitetining  professori 

,1669 yilda “o’eometriya va optikadan lektsiyalar” asarini e’lon qildi. Bunda u yuza-

---

 

63 

larga  oid  masalalar  bilan  o’rinma  o’tkazish  masalalari  o’zaro  teskari  aloqadorlikda 

ekanligini geometrik faktlar asosida bayon etadi.Buning mazmuni quyidagicha:                            

  

 

                                                                                                                       L 

   

I       K

   

OF va OE egri chiziqlar berilgan bo’lsin.   

E va F nuqtalar umumiy abstsissaga ega.  

Egri chiziqlar DF x R = S

ODE

 yoki Ry=

х

x

v

0

         

   

    

 F  

shart bilan bog’langan. U holda urinma osti         

 I  

K

     4

y

       

DT uchun yoki DT=R

DE

DF

 yoki R

DT

DГ

=DE,     

O

    

T          P       D      P        x 

ya’ni, R

v

dx

dv

. Bu teoremani Borrou ikki                 

V   E 

xil usulda isbotlaydi.                                 

o’          

  

1- kinematik usul.                         7-rasm                          

o’

 

2- geometrik  usulda:  DT=R

DE

DF

  shartni  qanoatlantiruvchi  FT  to’g’ri  chiziq 

o’tkazilgan. Shu FT to’g’ri chiziq urinma ekanligi isbotlanishi kerak, ya’ni to’g’ri chi-

ziqning F atrofidagi nuqtalari egri chiziqdan bir tarafda yotishini ko’rsatishimiz ke-

rak. Egri chiziqning I nuqtasi orqali LJK va JKL to’g’ri chiziqlari OX o’qiga parallel qi-

lib o’tkazamiz. U holda S

PDEG

 = R x LF.  

Shakldan  (yasalishiga  ko’ra) 

DE

R

DF

DT

LF

LК

  bundan  LKxDF=RxLF=S

PDEG

xOE 

egri  chiziqning  monotonligini  e’tiborga  olsak,  u  holda  S

PDEG

x>/belgi u nuqtaning F nuqtaga nisbatan joylanishini aniqlaydi. Demak FT urinma ekan. 

Shu natijaga asoslanib Borrou urinma masalasiga teskari bo’lgan masalalarni 

ko’plab  echadi.  Bularning  hammasi  differentsial  va  integral  tushunchalarni  o’zaro 

teskari bog’lanishida ekanligini ko’rsatadi (kiyin geometrik formada bayon etilgan). 

Bu fikrni rivoji tez orada Nьyuton va Leybnits asarlarida o’z ifodasini topadi. 

o’reklarning  va  Kfvalьerining  geometrik  metodlari  hamda  Dekart  va  Vallisning  al-

gebrik  metodi    bilan  qurollangan  Nьyuton  va  Leybnitslar  differentsiallash  va  inte-

grallashning  umumiy  metodini  va  ularni  o’zaro  teskari  munosabatda  ekanligini 

ochishdi.