Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги андижон давлат университети

1. 
Abbildungen  
2. 
In einer Maschinenhalle einer Maschinenfabrik, in der funf Maschinen 
stehen, seine funf Arbeiter beschaftigt. Von diesen funf arbeitern verrichtet einer 
Nebenarbeiten, wahrend vier Maschinen bedienen. Eine Maschine werde gerade 
repariert. Durch diese Festlegung sind zwei Mengen bestimmt, die Menge M = 
{a,b,c,d,e} der in der Maschinenhalle beschaftigten Arbeiter und die Menge N = 
{1,2,3,4,5}der in der Halle stehenden Maschinen. Jetzt werden diese Mengen 
zueinander in Beziehung gebracht, indem eine Zuordung der Elemente der einem 
Menge zu den Elementen der anderen Menge vorgenommen wird. Diese Zuordung 
soll durch das Bedienen einer Maschine durch einen Arbeiter hergestellt werden. Der 
Arbeiter a bedine die Maschine 1, der Arbeiter b die Maschinen 2 und 3, die Arbeiter 
d und e die Maschine 4. der Arbeiter c bedine keine Maschine, die Maschine 5 stehe 
still. Durch diese Festlegunge sieht folgende Zuordung:
M N 
a → 1
2 
b < 
3
c 
d 
> 4 
e

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5 
Dem Element c € M (gelessen : c aus M) ist demnach kein Element aus N 
zugeordnet, und das Element 5 € N steht mit keinem Element aus M in Beziehung. 
Man erhalt durch die gegebene Zuordnung eine Menge f von geordneten Paaren: 
f = {[a, 1]}, [b, 2] [b, 3], [d, 4] [e 4] 
Eine solche Menge von geordneten Paaren, deren erste Glieder einer Menge M und 
deren zweite Hlieder einer Menge N angehoren, heiB eine Abbildung aus M in N. 
Vergleich man die Menge f mit der aus M und N geblideten Produktmenge 
(Kreuzmenge) M × N, die die Menge aller moglichen geordneten Paare ist, deren 
erste Glieder aus M und deren zweite Glieder aus N sind, so stellt man fest, dab M × 
N mehr Elemente als ƒ enthalt. Zum Beispiel die geordneten Paare [e, 1], [c, 3], [c,5], 
[a,4] usw. Sind Elemente der Menge M × N, aber nicht der Menge f. Demnach 
bedeutet ,, f ist eine Abbildung aus der Menge M in die Menge N”. daB f eine 
Teilmenge von M × N ist (f C M × N). 
Die Tatsachen, daB bei einer Abbildung weder alle Elemente der Menge M, 
noch alle Elemente der Menge N in den geordneten Paaren aufzutreten brauchen (im 
Beispiel fehlen c und 5), fuhrt zur Einfuhrung der Begriffe Definitionsbereich 
(Urbildbereich, Argumenbereich) und Wertebereich (Wertevorrat, Bildbereich). 
Der Definitionsbereich von  f (in Zeichen D (f)) ist die Menge aller Elemente x є M, 
fur die es ein Elemente y є N gibt, so daB [x y] є f. 
Der Werteberreich von f (in Zeiche W (f)) ist die Menge aller Elemente y є N, fur die 
es ein Elemente x є M gibt, so daB [x,y] є f. 
9Im gegebenen Beispielist der Deginitionsbereich D (f) = { a, b, d, e} und der 
Wertebereich W (f) = {1, 2, 3, 4}. 
Entsprechend der obigen Definition einer Abbildung aus M in N definiert man noch
f ist Abbildung von M in N bedeutet, D (f) = M; 
f ist Abbildung von M auf N bedeutet, D (f)  = M; 
f ist Abbildung von M auf N bedeutet, D (f)  = M und W (f)  = N; 
in jedem Falle ist f c M × N. 
Ist [x,y] є ƒ,so nennt man y ein Bild von x bzw. x ein Urbild von y bei der Abbildung 
ƒ. Die Gesamtheit aller Bilder von x bei der Abbilubg ƒ heiBt das volle Bild von x 
(bezeichnet mit ƒ (x)) und die Menge aller Urbilder von y das volle Urbild von y. in 
dem gewahlten Beispiel der Arbeiter und Maschine ist u.a. 4 ein Bild von d und 1 
das Bild von a. das volle Bild von b, f (b), ist gleich der Menge {2 3}. Ein Urbild von 
4 ist e ein (in diesem Falle das einzige) Urbild von 1 ist a. das volle Urbild von 4 ist 
die Menge {d, e}. 
3. 
FunktionenMit Hilfe des Abbildungsbegriffs definiert man den Begriff 
“Funktion” Eine Funktion ƒ ist eine eindeutige Abbildung von M auf N. 

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Dabei ist M = D (ƒ) und N = W (ƒ). 
Eine Funktion ordnet also jedem Element des definitionsbereichs genan ein Element 
des Wertebereichs zu. Fur [x, y]є ƒ schreibt man auch y = f (x) da jetzt das volle Bild 
von x grundsatzlich nur ein Element y UmfaBt. Es sei noch darauf hingewiesen, daB