|
2.2 Halqa tushunchasi
K to`plamda ikkita binar amal aniqlangan bo`lsin. Ularning bittasini qo`shish amali
deb ataymiz va
elementlarning yig`indisini orqali
belgilaymiz. Ikkinchisini ko`paytirish amali deb ataymiz va
elementlarining ko`paytmasini
orqali belgilaymiz.
K to`plamda aniqlangan qo`shish va ko`paytirish amallari quydagi shartlarni
qanoatlantirsa, u halqa deyiladi:
I.
K to`plam qo`shish amaliga nisbatan kommutativ guruh hosil qiladi.
II.
K to`plam ko`paytirish amaliga nisbatan yarimguruh hosil qiladi.
III.
Qo`shish va ko`paytirish amallari distirbutivlik qounlari bilan bog`langan:
( )
( )
Misollar: 1)Z, Q, R to`plamlar sonlarni qo`shish va ko`paytirish amaliga nisbatan
halqa hosil qiladi.
2) [a,b] oraliqdagi barcha uzluksiz funksiyalardan iborat C [a,b] to`plam
funksiyalarning qo`shish va ko`paytirish amaliga nisbatan halqa hosil qiladi.
3) Berilgan m(m
) natural songa bo`linuvchi barcha butun sonlardan iborat mZ
to`plam sonlarni qo`shish va ko`paytirish amaliga nisbatan halqa hosil qiladi.
4) Elementlarni mos ravishda Z, Q, R halqalarda yotuvchi barcha n-tartibli kvadrat
matritsalardan iborat M
n
(Z), M
n
(Q), M
n
(R) to`plamlar matritsalarni qo`shish va
ko`paytirish amallariga nisbatan halqa hosil qiladi.
Agar K halqada ko`paytirish amali kommutativ bo`lsa, u kommutativ halqa
deyiladi. Yuqorida keltirilgan Z, Q, R C[a,b], mZ halqalarkommutativ, ammo
M
n
(Z), M
n
(Q), M
n
(R) ( n
) halqalar esa kommutativ emas.
Agar K halqada ko`paytirish amali uchun l
birlik element mavjud (ya`ni har
qanday
uchun ) bo`lsa, element halqaning birlik elementi va
K esa birlik elementli halqa deyiladi. Ba`zan K halqaning birlik elementi 1 orqali
ham belgilanadi.
Yuqorida keltirilgan Z, Q, R C[a,b], M
n
(Z), M
n
(Q), M
n
(R) halqalar birlik elementga
ega,
mZ halqa esa ega emas. Z, Q, R da birlik elementi rolini 1 soni o`ynaydi. C[ a,b]
birlik element rolini [a,b] da aynan 1 ga teng bo`lgan funksiya o`ynaydi. M
n
(Z),
M
n
(Q), M
n
(R) halqalarda birlik element rolini birlik matritsa o`ynaydi.
Halqa qo`shish amaliga nisbatan guruh bo`lgani sababli unda qo`shish amaliga
nisbatan umumlashgan assotsiativ qonun o`rinli . halqa ko`paytirish amaliga nisbatan
yarim guruh bo`lgani sababli unda ko`paytirish amaliga nisbatan ham umumlashgan
assotsiativ qonun o`rinli.
Qo`shish va ko`paytirish amallarining distirbutivlik qonunlaridan n bo`yicha
matematik induksiya yordamida har qanday
elementlar uchun
bevosita quyidagi tengliklar olinadi:
(
)
,
(
)
.
Bulardan esa har qanday
elementlar uchun bevosita
quyidagi tenglik kelib chiqadi:
(∑
∑
) ∑
∑
Bu yig`indida qo`shiluvchilarning qanday tartibda yozilishini ahamiyati yo`q (ya`nni
yig`indi o`zgarmaydi), ammo kommutativ bo`lmagan halqada ko`paytuvchilarning
qanday tartibda yozilishi muhim.
Har qanday halqada ayirish va ko`paytirish amallari distirbutivlik qonuni bilan
bog`langan, ya`ni har qanday a,b,c
elementlar uchun
(a-b)c=ac-bc, a(b-c)=ab-ac.
Bularning, masalan, birinchisini isbotlaymiz. Ushbu
(a-b)c+bc=((a-b)+b)c
tenglikdan
((a-b)c+bc)-bc=ac-bc,
ya`ni
(a-b)c=ac-bc
kelib chiqadi.
Bu distirbutivlik qonunida har qanday
elementlar uchun quyidagi tenglik
kelib chiqadi:
= ,
bu yerda 0-halqadagi qo`shish amalining nol elementi.
Haqiqatan,
= ( ) shunga o`xshash
( )
Agar K halqa yagona elementdan iborat bo`lsa, u faqat noldan iborat bo`ladi. Bu
halqa nol halqa deyiladi. Nol halqada 1=0
Birlik elementli K halqada bittadan ortiq element bo`lsin. U holda unda noldan farqli
element mavjud. Bu halqada 1
, chunki aks holda 1=0 bo`lib,
tenglik olinardi. Bu qarama-qarshilik 1 ekanini ko`rsatadi.
Bunday halqada 0 element teskarilanuvchi emas, chunki har qanday b
element
uchun
.
elementlar nolning bo`luvchilari deyiladi. Bunday elementlarga ega bo`lgan halqa
nolning bo`luvchisiga ega halqa deyiladi. Z, mZ , Q, R halqalar nolning
bo`luvchilariga egaemas. C (
) halqada f(t)=|t|+t va g(t)= |t|-t funksiyalar
nolning bo`luvchilaridir. M
n
(Z), M
n
(Q) va M
n
(R) halqalar ham nolning
bo`luvchilariga ega. Masalan,
(
) (
) (
)
Barcha butun sonlar to`plami kommutativ halqa bo`ladi, chunki bu to`plam
qo`shish amaliga ko`ra abel gruppasidan iborat bo`lib, unda ko`paytirish amali yopiq
va butun sonlarni ko`paytirish assotsiativlik hamda bu amal qo`shishga nisbatan
distirbutivdir.
Barcha juft sonlar to`plami halqa bo`ladi.
Barcha toq sonlar to`plami halqa bo`lmaydi, chunki ikkita toq son yig`indisi bu
to`plamga tegishli emas.
Kompleks sonlar to`plami kommutativ halqa bo`ladi, chunki bu to`plamda ham
halqaning barcha aksiomalari o`rinli bo`ladi.
Bu halqalarni odatda sonli halqalar deb ataymiz. Sonli halqalarning birortasi ham
nolning bo`luvchilariga ega emas.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
