Fan: Chiziqli algebra va analitik geometriya 2 – amaliy mashg’ulot

---

Fan: Chiziqli algebra va analitik geometriya 

2 – amaliy mashg’ulot. 

2-, 3- tartibli determinantlar. Determinantlarning xossalari. Minorlar va algebraik 

to`ldiruvchilar. n – tartibli determinantlar va ularni hisoblash.. 

 

Ikkinchi  tartibli  determinantni  hisoblash  uchun  uning  bosh  diagonali  elementlari 

ko`paytmasidan yordamchi diagonali elementlari ko`paytmasini ayirish kerak. 

1 - misol. 2 – tartibli determinantni hisoblang: 

|    

 

 

|           (  )                    

Javob: 22 

Uchinchi tartibli determinant uchun 

   |

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

|   

   

  

 

  

 

  

   

  

 

  

 

  

   

  

 

  

 

  

  ( 

  

 

  

 

  

   

  

 

  

 

  

   

  

 

  

 

  

) 

uning qiymati deyiladi. 

2 – misol.  3 – tartibli determinantni hisoblang: 

|

    

 

 

 

  

 

 

 

| 

 

|

    

 

 

 

  

 

 

 

|               (  )   (  )                   

 (                (  )       (  )        )   

               (          )               

Javob: 25 

3 – misol. 

   |

         

         

   

   

 

 

 

 

 

 

| determinantni xossalaridan foydalanib 

hisoblang. 

 

Yechish. 4 – xossadan foydalangan holda, determinantni yig’indi ko`rinishda 

yozamiz: 

 

   |

        

     

        

     

        

         

 

 

 

 

 

 

|   |

         

         

   

   

 

 

 

 

 

 

|   |

  

     

  

     

  

   

 

 

 

 

 

 

| 

3 – xossaga binoan umumiy ko`paytuvchilarni determinant oldiga chiqaramiz: 

---

         |

       

       

 

 

 

 

 

 

 

 

|        |

       

       

 

 

 

 

 

 

 

 

| 

Yig’indidagi 2 – determinantning ikkita ustun elementlari bir xil 6(a) – xossaga 

asosan uning qiymati nolga teng: 

         |

       

       

 

 

 

 

 

 

 

 

|                  |

       

       

 

 

 

 

 

 

 

 

| 

Ikkinchi  ustun  elementlaridan  mos  ravishda  birinchi  ustun  elementlarini 

ayiramiz  va  natijani  2  –  ustunga  yozamiz.  Birinchi  ustun  elementlarini  2  ga 

ko`paytiramiz  va  mos  ravishda  uchinchi  ustun  elementlaridan  ayiramiz.  Olingan 

natijani  uchinchi  ustunga  yozamiz.  Natijada  determinantning  2  ta  ustuni  elementlari 

bir xil bo`ladi. 6 (a)– xossaga ko`ra determinant qiymati nolga teng. 

         |

       

       

 

 

 

 

 

 

 

 

|     

Javob: 0 

 

1  –  ta’rif.  Determinant  berilgan  elementining  minori  deb,  shu  element  turgan 

satr va ustunni bir vaqtda o`chirishdan hosil bo`lgan determinantga aytiladi. 

Masalan,  

   |

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

| 

determinant 

 

  

 turgan satr va ustunni o`cherish natijasida hosil bo`lgan  

|

 

  

 

  

 

  

 

  

| 

2  –  tartibli  determinant

 

 

  

  elementning  minoridan  iborat  bo`ladi  va 

 

  

  deb 

belgilanadi: 

  

  

  |

 

  

 

  

 

  

 

  

|

 

Shunday  qilib  yuqorida  tuzilgan  uchinchi  tartibli 

   determinantning  har  bir 

 

  

(            ) elementiga mos minori  

  

 bo`lib, ular ikkinchi tartibli va hammasi 

9 ta bo`ladi. 

4 – misol. 

|    

 

 

| determinantning minorlarini toping. 

Yechish. Determinantning elementlari soni to`rtta bo`lgani uchun minorlar soni 

ham to`rtta bo`ladi: 

 

  

      

  

      

  

       

  

    

---

Fan: Chiziqli algebra va analitik geometriya 

 

2 - ta’rif. Determinant biror elementining algebraik to`ldiruvchisi deb uning bu 

determinantda  juft  yoki  toq  joy  egallaganiga  bog`liq  ravishda  musbat  yoki  manfiy 

ishora bilan olingan minoriga aytiladi: 

 

  

  (  )

   

 

  

 

Masalan 

 

  

 elementning algebraik to`ldiruvchisi 

 

 

  

  (  )

   

|

 

  

 

  

 

  

 

  

|   (  )

   

 

  

   

  

  |

 

  

 

  

 

  

 

  

| 

 

son bo`ladi, chunki 

 

  

 juft joyda turibdi, 

 

  

 element algebraik to`ldiruvchisi 

 

 

  

  (  )

   

|

 

  

 

  

 

  

 

  

|   (  )

   

 

  

    

  

    |

 

  

 

  

 

  

 

  

|  

   ( 

  

 

  

   

  

 

  

) 

son bo`ladi, chunki 

 

  

 toq o`rinda turibdi. 

 

5 – misol. Determinantni birinchi ustun elementlari bo`yicha yoyish yordamida 

hisoblang: 

|

 

 

  

       

 

 

 

| 

Yechish: 

 

|

 

 

  

       

 

 

 

|       |     

 

 

|       |    

 

 

|       |  

  

     

|       (       )   

     (      )               

 

6 – misol. Ushbu 

|

 

 

   

         

 

 

 

 

 

  

 

 

|  

determinantni  2  –  tartibli  minorlar  bo`yicha  yoyaylik.  Masalan,  birinchi  va  ikkinchi 

satrlarni  ajratib,  bu  ikki  satr  va  to`rt  ustundan 

 

 

 

 

  

     

    ta minor tuzamiz. Ular 

quyidagilardan iborat: 

    

|  

 

    

|    ;                   |  

 

     

|     ;          |  

 

    

|      ; 

| 

 

    

|      ;                 |   

   

|     ;               |  

 

    

|      

 

Bularga mos algebraik to`ldiruvchilar quyidagilarga teng: 

(  )

       

|  

 

    

|     ;             (  )

       

|   

   

|     ; 

---

(  )

       

| 

 

    

|      ;           (  )

       

|   

   

|     ; 

(  )

       

| 

 

    

|     ;              (  )

       

|   

   

|     ; 

Demak, 

 

             (  )   (  )        (   )   (   )   (  )   (  )            (  )  

                                      

 

Laplas  teoremasi.  Determinant  qiymati  uning  biror  satri(yoki  ustun) 

elementlarini  bu  elementlarning  mos  algebraik  to`ldiruvchilariga  ko`paytirilgan 

yig`indisiga teng. 

7 – misol.  

a) 

|

      

 

 

 

 

 

 

|   (  )

   

      |   

   

|   (  )

   

      |    

 

 

|   (  )

   

 

                            |    

 

 

|    (     )   (     )    (     )                     

b) 

|

      

 

 

 

 

 

 

|   (  )

   

      |   

   

|   (  )

   

  (  )   |   

   

|   (  )

   

 

                          |   

   

|    (     )   (  )(     )    (     )