|
2.
Nazarov R., Toshpo’latov B.T. Algebra va sonlar nazariyasi, I qism, – T.,
O’qituvchi, 1993.
3.
James Stewart. Calculus. – Brooks/Cole Pablishing Company, 1999
n
-DARAJALI BIR JINSLI KO‘PHADLAR YORDAMIDA BA’ZI BIR
TENGLAMALARNI YECHISH
A.M. Shokirov, Sh.A. Oripov
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU FF, FarDU
Agar
,
f x y
ko‘phadning har bir hadi x va y ga nisbatan n –darajali had
bo‘lsa,
,
f x y
ikki o‘zgaruvchili ko‘phad n –darajali bir jinsli ko‘phad deyiladi va
u quyidagi ko‘rinishga ega
1
2
2
0
1
2
( , )
....
n
n
n
n
n
f x y
a x
a x
y
a x
y
a y
.
Masalan,
4
2
2
2
3
4
( , )
f x y
x
x y
x y
xy
y
ko‘phad 4-darajali ko‘phaddir.
3
2
2
2
3
( , )
2
9
7
13
f x y
x
x y
xy
x
y
ko‘phad 3-darajali ko‘phaddir.
Ta’rif. Agar
,
f x y
ko‘phad n –darajali bir jinsli ko‘phad bo‘lsa, u holda
,
0
f x y
tenglama n –darajali bir jinsli tenglama deyiladi.
Ikki o’zgaruvchili n –darajali va bir jinsli tenglama quyidagicha belgilanadi:
1
2
2
0
1
2
....
0
n
n
n
n
n
a x
a x
y
a x
y
a y
(1)
Bu yerda
0
0
a
, agar
0
0
a
bo‘lib qolsa, u holda tenglamaning darajasi
pasayib qoladi. Chunki, tenglamadan u noma’lumning eng kichik darajasini
qavsdan tashqariga chiqarib, qavs ichida pastroq darajali bir jinsli ko‘phad hosil
qilamiz.
48
Masalan,
7
2
5
4
9
3
5
0
x y
x y
y
9-darajali
bir
jinsli
tenglamada
2
7
5
2
7
(
3
5
)
0
y x
x y
y
bo’lib, qavs ichida
7
5
2
7
3
5
x
x y
y
7- darajali bir jinsli
ko‘phad hosil bo’ladi.
6
2
5
4
8
3
6
7
0
x y
x y
y
8-darajali bir jinsli tenglamada
2
6
5
2
6
(3
6
7
)
0
y
x
x y
y
bo’lib, qavs ichida
6
5
2
6
3
6
7
x
x y
y
6-darajali bir jinsli
ko‘phad hosil bo’ladi.
Biz tekshirayotgan (1) tenglama har doim
0
x
,
0
y
yechimga ega, lekin
0
x
,
0
y
yoki
0
x
,
0
y
ya’ni noma’lumlarning biri nol, ikkinchisi noldan
farqli bo‘lgan yechimga ega bo‘la olmaydi.
Endi (1) ko’rinishdagi tenglamalarni yechishni ko‘rib chiqamiz. Yuqoridagi
mulohazalarga asosan
0
y
demak
1
2
2
0
1
2
....
0
n
n
n
n
n
a x
a x
y
a x
y
a y
tenglamaning har ikki tomonini
n
y
ga bo’lamiz va
x
y
o‘rniga
t
belgilash
kiritamiz. Natijada quyidagi
1
2
0
1
2
1
...
0
n
n
n
n
n
a t
a t
a t
a t
a
(2)
ko‘rinishdagi bir noma’lumli algebraik tenglamalarni yechishga kelamiz.
(2) tenglamaning yechimlar soni bilan qiziqamiz. Algebraning asosiy
teoremasining natijasiga asosan (2) ning yechimlar soni (kompleks ildizlarni hisobga
olganda) roppa-rosa n ta ildizi mavjud bo’ladi.
Bir jinsli tenglamalarning (2) formulasidan foydalanib quyida keltirilgan
tenglamalarni yechamiz.
2
2
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
0
x a
x a
x
a
a
b
c
x b
x b
x
b
(3)
ko’rinishdagi tenglama yechilsin.
Yechish. Bu yerda quyidagicha almashtirish bajaramiz:
1
1
1
1
x
a
x
a
u
x
b
x
b
(4)
va
2
2
0
au
b
cu
ko‘rinishga kelamiz. Tenglamaning ikkala tomonini
2
ga bo’lib,
2
0
u
u
a
c
b
(5)
ni hosil qilamiz. Bu yerda
u
t
,
u
t
belgilashlar kiritamiz va
49
2
0
at
ct
b
(6)
ko’rinishdagi kvadrat tenglamaga kelamiz. Bu tenglamaning yechimlari
2
1,2
4
2
c
c
ab
t
a
ekanligi bizga ma’lum.
1
1
1
1
1
(
)(
)
(
)(
)
x
a
x
b
t
x
b
x
a
,
1
1
2
1
1
(
)(
)
(
)(
)
x
a
x
b
t
x
b
x
a
lardan foydalanib,
1
2
3
4
,
, ,
x x x x
larni
aniqlaymiz.
Ushbu
2
2
2
2
2
2
4
20
5
48
0
1
1
1
x
x
x
x
x
x
tenglamani yeching.
Yechish. Bu yerda
2
1
x
u
x
va
2
1
x
x
belgilash kiritamiz. Natijada
2
2
20
5
48
0
u
u
bir jinsli tenglamani hosil qilamiz. Uni
2
ga bo‘lib
2
2
20
5
48
0
u
u
ni hosil qilamiz. Bu yerda
u
t
almashtirish bajarsak,
2
20
48
5
0
t
t
kvadrat tenglama hosil bo‘ladi. Uni yechib
1
2
5
1
,
2
10
t
t
larni
aniqlaymiz. Dastlabki belgilashimizga qaytsak:
1-hol.
2
1
5
2
2
5
:
7
9
14
0
0
2
1
1
2
u
x
x
t
x
x
D
x
x
2-hol.
2
2
2
2
1
3
2
1
3
11
6
0
10
3
2
10
u
x
x
t
x
x
x
x
,
1
2
2
3,
3
x
x
Javob.
1
2
2
3
3
x
x
Adabiyotlar:
1.
Е.В.Хорошилова, Элементарная математика, – МГУ, 2010
2.
Abduhamidov, H.Nasimov, Algebra va analiz asoslari, – Toshkent,
O‘qituvchi, 2008
50
ПРИМЕНЕНИЕ СКМ MAPLE ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
А.М. Шокиров
Ферганский филиал ТУИТ
В курсе аналитической геометрии рассматриваются такие задачи:
нахождение длины отрезка, угла между заданными векторами, площади
треугольника или параллелограмма, построенными на векторах, отложенными
из одной точки, вычисление объемов призм и пирамид. Вычисление угла
между векторами базируется на нахождении скалярного произведения
векторов и их длин, вычисление площадей - на нахождении векторного
произведения, а вычисление объемов пространственных тел сводится к
вычислению смешанных произведений трех векторов. Все эти операции
можно производить с помощью несложных процедур, прописанных в системе
компьютерной математики Maple.
Рассмотрим использование процедуры в Maple для решения следующей
задачи: Даны четыре точки S, A, B, C, заданные своими координатами.
Вычислить длину высоты пирамиды SABC, опущенной из вершины S. Пусть
Visota - название нашей процедуры. Введем следующие локальные
переменные, которые будут использоваться в теле процедуры: Opr - для
вычисления определителя третьего порядка, каждая строка которого будет
содержать координаты векторов AS, AC и AB, x - для нахождения абсолютной
величины переменной Opr, так как объем пирамиды не может выражаться
отрицательным значением, V - для вычисления объема пирамиды и Plosh - для
вычисления площади треугольника ABC. Тогда, зная из школьного курса
геометрии, что объем пирамиды равен 1/3 произведения площади основания
на высоту, проведенную к нему, можно выразить H = 3V
S , и записать процедуру вычисления длины высоты в следующем виде:
> restart;
> V isota := proc(S, A,B,C)localOpr, x, V, Plosh :
Opr := (C[1] − A[1]) * (B[2] − A[2]) * (S[3] − A[3]) + (B[1] − A[1]) * (S[2]
− A[2]) * (C[3] − A[3])+(S[1] − A[1]) * (C[2] − A[2]) * (B[3] − A[3]) − (S[1] −
A[1]) * (B[2] − A[2]) * (C[3] − A[3])− (C[1] − A[1]) * (S[2] − A[2]) * (B[3] − A[3])
− (B[1] − A[1]) * (C[2] − A[2]) * (S[3] − A[3]) :
x := abs(Opr) :
V := (1/6) * x :
Plosh := sqrt(((C[2] − A[2]) * (B[3] − A[3]) − (C[3] − A[3]) * (B[2] −
A[2]))2+
((C[1] − A[1]) * (B[3] − A[3]) − (C[3] − A[3]) * (B[1] − A[1]))2+
((C[1] − A[1]) * (B[2] − A[2]) − (C[2] − A[2]) * (B[1] − A[1]))2) :
H := (3 * V )/Plosh :
endproc :
После описания процедуры к ней можно обратиться по имени, задав
координаты точек S, A,B,C, соблюдая их порядок, в виде:
51
> V isota({1, 2, 0}, {−2, 3, 5}, {0, 3, 2}, {−1, 4, 3});
В данной процедуре выписана формула для нахождения смешанного
произведения, как определителя третьего порядка, которое используется для
нахождения объема пирамиды, и формула для вычисления векторного
произведения, а также длины полученного вектора, что позволяет вычислить
площадь основания пирамиды. Таким образом, для решения задач по
аналитической геометрии удобно использовать процедуры, прописанные с
СКМ Maple, что позволяет вычислять десятки подобных задач.
Do'stlaringiz bilan baham: |
