Ўзбекистон республикаси ахборот технологиялари ва коммуникацияларини

n

-давридаги популяциялар миқдорлари уларнинг
n -даврдаги миқдорларига ўзаро боғлиқ бўлиши мумкин. Ўзаро таъсирнинг 
бундай турини ифодалаш учун битта айирмали тенглама етарли бўлмайди. 
Бир турнинг ўсишига шу турнинг ва бошқа турнинг иштироки таъсири 
ҳар хил бўлиши мумкин. 
1. 1-турнинг ўсишига 2-турнинг ўсиши салбий, 1-турнинг ўсиши 
ижобий, 2-турнинг ўсишига 1-турнинг ўсиши салбий, 2-турнинг ўсиши 
ижобий таъсир қилиши мумкин. Буни турлараро рақобат модели дейилади. 
2. 1-турнинг ўсишига 2-турнинг ўсиши ижобий, 1-турнинг ўсиши 
ижобий, 2-турнинг ўсишига 1-турнинг ўсиши салбий, 2-турнинг ўсиши 
ижобий таъсир қилиши мумкин. Буни йиртқич - ўлжа модели дейилади. 
3. 1-турнинг ўсишига 2-турнинг ўсиши ижобий, 1-турнинг ўсиши 
салбий, 2-турнинг ўсишига 1-турнинг ўсиши ижобий, 2-турнинг ўсиши салбий 
таъсир қилиши мумкин. Буни турлар биргалиги модели дейилади. 
Турларнинг ўзаро таъсирининг содда моделларига мисоллар 
келтирамиз. 
1
1
n
n
n
n
n
n
x
ax
by
y
cx
dy









(1) 
кўринишдаги иккита 1-тартибли чизиқли, биржинсли айирмали 
тенгламалар системасини ўрганайлик, бу ерда 
, , ,
a b c d
– доимий сонлар. 
Масала бу тенгламаларни қаноатлантирадиган 
n
x
ва 
n
y
функцияларни 
топишдан иборат. Агар 
n
x
ва 
n
y
функциялар мос равишда 
A  ва B  кўринишга 
эга популяцияларнинг n -давр охиридаги сонини ифодаласа, (1) системани бу
популяцияларнинг ўзаро таъсирини тавсифловчи моделъ сифатида қараш 
мумкин.
, , ,
a b c d
сонларнинг мусбат ёки манфийлигига қараб, (1) система 
n
x
ва 
n
y
натурал аргументли функциялар ҳоли учун турли мазмундаги моделларни 
беради.
1. 
0,
0,
0,
0
a
b
c
d




ҳолда турлараро рақобат моделини беради.
2. 
0,
0,
0,
0
a
b
c
d




ҳолда йиртқич-ўлжа моделини беради.
3. 
0,
0,
0,
0
a
b
c
d




ҳолда турлар биргалиги моделини беради.

---

40 
(1) системанинг умумий ечимини топамиз. Системанинг биринчи 
тенгламасидан 


2
1
1
1
1
,
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
ax
by
ax
b cx
dy
ax
bcx
bdy













ўша 1-тенгламага кўра 
1
n
n
n
by
x
ax



. Демак, 

 



2
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
x
ax
bcx
d x
ax
a
d x
ad
bc x












. 
Бундан 
n
x




2
1
n
n
n
x
a
d x
ad
bc x






иккинчи тартибли айирмали тенгламани қаноатлантиради. Бу 
тенгламада 
r
a d
 
ва s
ad
bc
  
деб олсак,
2
1
ï
n
n
õ
rx
sx




2-тартибли чизиқли айирмали тенгламага келамиз. Унинг характеристик 
тенгламаси 
2
0
r
s



 
бўлиб, у 
2
1
4
;
2
r
r
s




2
2
4
2
r
r
s




илдизларга эга. Агар 
2
4
0
r
s


бўлса, у ҳолда умумий ечим 
1 1
2
2
n
n
ï
õ
k
k




 
бўлади. Агар 
2
4
0
r
s


бўлса, у ҳолда 
1
2
 

ва умумий 
ечимни 
1
1 1
2
1
n
n
n
x
k
k n





кўринишда ёзиш мумкин. Агар 
2
4
0
r
s


бўлса, яъни –s  
2
4
0
r
s


шартни қаноатлантирадиган етарлича катта мусбат сон бўлса, у ҳолда умумий 
ечим 
  

2
1
2
cos
sin
n
n
x
s
k
n
k
n


 

 
бўлади, бу ерда


2
4
r
s
tg
r



 
. 
n
x
топилгач, (1) системанинг 1-тенгламасидан 
n
y
ни аниқлаш 
мумкин. 
 

---

41 
Адабиётлар: 
1. 
Гильдерман Ю.И. Лекции по высшей математике для биологов. 
Новосибирск: Наука, 1974. 
2. 
Mo’minov Sh.R., Matematik modellar va usullar. Toshkent: Turon iqbol, 
2006. 
3. 
Холматов Қ., Каримов К., Математик моделлаштириш. Фарғона: 2014. 
ПОПУЛЯЦИЯ СОНИ ДИНАМИКАСИНИНГ ДИФФЕРЕНЦИАЛ 
МОДЕЛИ 
А.М. Шокиров, Ш.А. Орипов, Ҳ. Давронжонов 
Муҳаммад ал-Хоразмий номидаги ТАТУ ФФ, ФарДУ 
Ҳозирги замон фани ва техникасида кўпинча вақт мобайнида ўтаётган 
жараёнларни тадқиқот қилишга тўғри келади. Бу жараёнлар турли характерга 
эга бўлиши мумкин: физик (жисм, суюклик, газ харакати, температура, босим 
ўзгариши ва бошқалар), кимёвий (реакция вақтида бирор модда миқдорининг 
ўзгариши), биологик (рақобатдаги популяциялар сонининг ўзгариши ва бошқалар 
каби). Бундай жараёнларни ўрганишда у ёки бу эволюцион жараённи 
тавсифловчи миқдорлар орасидаги боғланишни бевосита ўрнатиш ҳар вақт 
ҳам мумкин бўлавермайди. Лекин кўп ҳолларда миқдорлар (функциялар) ва 
уларнинг бошқа (эркли) ўзгарувчи миқдорларга нисбатан ўзгариши тезликлари 
орасидаги боғланишни ўрнатиш, яъни номаълум функциялар ҳосила белгиси 
остида қатнашувчи тенгламаларнн топиш мумкин бўлади. Бундай тенгламаларни 
дифференциал тенгламалар дейилади. Бундай жараёнларни тадқикот қилишнинг 
биринчи босқичи кўпинча жараённи тавсифловчи дифференциал тенгламани 
тузишдан иборат, иккинчи босқичи эса бу тенгламанинг ечимини излашдан 
иборат. 
Дифференциал тенгламаларни тузиш учун тўла-тўкис қоидалар йўк. Кўп 
ҳолларда оддий дифференциал тенгламалар назариясини кўллаб масалаларни 
ечиш усули қуйидаги амалларни бажаришга келтирилади: 
1. Масала шартларини батафсил таҳлил қилиш ва унинг мохиятини изоҳловчи 
чизмани тузиш. 
2. Текширилаётган жараённинг дифференциал тенгламасини тузиш. 
3. Тузилган дифференциал тенгламани интеграллаш ва бу 
тенгламанинг умумий ечимини аниқлаш. 
4. Берилган бошланғич шартлар асосида масаланинг хусусий ечимини аниқлаш. 
5. Зарурат бўлишига қараб, масаланинг қўшимча шартларидан 
фойдаланиб, ёрдамчи параметрларни (масалан: пропорционаллик 
коэффициенти ва бошқаларни) аниқлаш. 
6. Қаралаётган жараённинг умумий қонунини келтириб чиқариш ва изланаётган 
миқдорларни сонли аниқлаш. 
7. Жавобни таҳлил қилиш ва масаланинг дастлабки ҳолатини текшириш. 

---

42 
Масала характерига боғлиқ ҳолда бу тавсиялардан баъзилари 
қатнашмаслиги ҳам мумкин. 
Биологияда (популяциялар экологиясида) агар популяция ажратилган, 
озуқа ресурслари чегараланмаган, кўпайиш тезлиги балоғатдаги жонзотлар 
миқдорига пропорционал деб ҳисобланса, у ҳолда популяция сони динамикаси 
dx
kx
dt

(1) 
дифференциал тенглама билан тавсифланади, бу ерда
 
x
x t

вақтнинг 
t
моментидаги популяция сони, k –доимий сон. (1) тенгламанинг ечими 
 
 


0
0
k t t
x t
x t
e


бўлади. (1) тенгламани 1802-йил Мальтус биринчи бўлиб 
олди. Бунда Мальтуснинг адашиши шундан иборатки, бу тенглама 
популяцияларнинг жуда тор синфи учун ўринли бўлади. Мальтус эса уни 
бутун табиат учун универсал: ҳатто одамлар жамияти учун ҳам универсал 
қонун деб ҳисоблади.
Экология тирик организмларнинг ташқи муҳит билан ўзаро 
муносабатини ўрганади. Кўпайиш ёки турли сабабларга кўра нобуд бўлиш билан 
боғлик бўлган популяцияларнинг баъзи дифференциал моделларини келтирамиз. 
 
x t
вақтнинг 
t
моментидаги популяция сони бўлсин, у ҳолда агар 
вақтнинг бир бирлигида популяцияда туғиладиган жонзотлар сонини A , 
нобуд бўладиганларининг сонини B  десак, етарли асос билан x  нинг вақтга 
боғлиқ ўзгариш тезлигини 
dx
A B
dt
 
(2) 
формула билан бериш мумкин. Энди масала A  ва B  нинг x  га 
боғлиқлигини тавсифлашдан иборат. 
а) энг содда ҳол A ax

, B
bx

(3) дан иборат, бу ерда a  ва b –вақтнинг 
бир бирлигида туғилиш ва нобуд бўлиш коэффициентлари. (3) ни ҳисобга 
олинса, (2) ни 


dx
a b x
dt


(4) 
кўринишда ёзиш мумкин. 
 
0
0
x t
x

бўлса, ечим 
 




0
0
a b t t
x t
x e



дан иборат бўлади; 
б) A ax

, 
2
B
bx

ҳол ҳам учрайди. Бунда 
2
dx
ax bx
dt


(5) 

---

43 
тенглама ҳосил бўлиб, агар 
 
0
0
x t
x

бўлса, ечим 
 


0
0
0
0
a t t
a
x
b
x t
a
x
x
e
b











дан иборат бўлади. (5) тенглама 1845-йилда олинган Ферхюльст-Перл 
тенгламасидан иборат бўлиб, унда популяциядаги ички кураш ҳисобга 
олинади. Бу Мальтуснинг (1) тенгламасига нисбатан популяциянинг 
ривожланишини аниқроқ тавсифлайди. (5) модел, одатда, логистик модел, 
унинг ечимини логистик эгри чизиқ тенгламаси деб юритилади. 
Логистик модел бошқа жараёнларни ҳам яхши тавсифлайди.