|
Лемма. Число
0
=
z
является бесконечно кратным собственным значением оператора
H
.
Доказательство. Рассмотрим уравнение
zf
Hf =
.
Оно эквивалентно уравнению
∫
=
b
a
ds
s
sf
x
0
)
(
. (1)
121
“Young Scientist” . # 4 (138) . January 2017
Mathematics
Положим
x
C
x
f
−
=
1
1
)
(
.
Здесь число
1
C
выбирается из условия
∫
=
b
a
ds
s
sf
0
)
(
1
.
Простые вычисления показывают, что
)
(
3
)
(
2
2
2
3
3
1
a
b
a
b
C
−
−
=
.
Таким образом, функция
x
a
b
a
b
x
f
−
−
−
=
)
(
3
)
(
2
)
(
2
2
3
3
1
удовлетворяет условию (1). Положим
2
2
2
)
(
x
C
x
f
−
=
.
Здесь число
2
C
выбирается из условия
∫
=
b
a
ds
s
sf
0
)
(
2
.
Простые вычисления показывают, что
)
(
2
2
2
4
4
2
a
b
a
b
C
−
−
=
.
Следовательно, функция
2
2
2
4
4
2
)
(
2
)
(
x
a
b
a
b
x
f
−
−
−
=
удовлетворяет условию (1). Далее, для любого натурального числа
n
положим
n
n
n
x
C
x
f
−
=
)
(
,
где константа
n
C
найдется из условия
∫
=
b
a
n
ds
s
sf
0
)
(
.
Обсуждая аналогично, имеем
)
)(
2
(
)
(
2
2
2
2
2
a
b
n
a
b
C
n
n
n
−
+
−
=
+
+
.
Полученная последовательность функций
}
{
n
f
линейно независимо. Это означает, что число
0
=
z
является
бесконечно кратным собственным значением оператора
H
. Лемма доказана.
Теперь изучаем дискретный спектр оператора
H
. С этой целью рассмотрим уравнение для собственных значений,
т. е.
zf
Hf =
.
Это уравнение записывается в следующем виде:
∫
=
b
a
x
zf
ds
s
sf
x
)
(
)
(
. (2)
Так как
0
≠
z
из равенства (2) для
f
находим
122
«Молодой учёный» . № 4 (138) . Январь 2017 г.
Математика
Литература:
1. O. Toeplitz. Das algebraische Analogon zu einem Satze von Fejer // Math. Z., — 1918, — V. 2, — no. 1–2, — P.
187–197.
2. H. Langer, A. S. Markus, V. I. Matsaev, C. Tretter. A new concept for block operator matrices: the quadratic numerical
range // Linear Algebra Appl., — 2001, — V. 330, — no. 1–3, P. 89–112.
3. L. Rodman, I. M. Spitkovsky. Ratio numerical ranges of operators // Integr. Equ. Oper. Theory, — 2011, V. 71, —
P. 245–257.
x
z
C
x
f
f
=
)
(
, (3)
где
∫
=
b
a
f
ds
s
sf
С
)
(
. (4)
Подставляя полученное выражение (3) в равенства (4) имеем, что число
3
3
3
a
b
z
−
=
является простым собственным значением оператора
H
.
Отсюда следует, что
}
3
,
0
{
)
(
3
3
a
b
H
−
=
σ
.
Верна следующая теорема.
Теорема. Для числового образа
)
(H
W
оператора
H
имеет место равенство
]
3
,
0
[
)
(
3
3
a
b
H
W
−
=
.
123
“Young Scientist” . # 4 (138) . January 2017
Physics
Ф И З И К А
Математическая модель асинхронного двигателя с переменными i
r
– ψ
r
на выходе
интегрирующих звеньев в Simulink
Емельянов Александр Александрович, доцент;
Бесклеткин Виктор Викторович, ассистент;
Устинов Артем Павлович, студент;
Патерило Александр Сергеевич, студент;
Орлов Евгений Сергеевич, студент;
Романов Александр Андреевич, студент;
Строкова Татьяна Александровна, студент
Российский государственный профессионально-педагогический университет (г. Екатеринбург)
Габзалилов Эльвир Фиргатович, студент;
Аюпов Вадим Илхамович, студент
Уральский государственный горный университет (г. Екатеринбург)
Д
анная работа является продолжением статьи [1]. Проекции векторов
r
i
и
r
ψ
выведены на основе интегрирующих
звеньев с моделированием в Simulink.
В работе [1] было получено уравнение (7') для расчета ψ
rx
в Script-Simulink:
Выразим потокосцепление ψ
rx
по оси (+1):
Структурная схема для определения ψ
rx
приведена на рис. 1.
–
+
б
Ω
ry
ψ
rx
ψ
rx
i
1
s
×
rк
r
1
2
+ –
к
ω
p
z
ω
Рис.
1. Структурная схема для определения потокосцепления ψ
rx
в Script-Simulink
Преобразуем структурную схему на рис. 1 в оболочку, позволяющую производить расчет коэффициентов в отдельном
блоке Subsystem. Для этого вместо операторов с коэффициентами, рассчитываемыми в Script, установим блоки перем-
ножения, к которым подведены сигналы с результатами расчетов в Simulink, как показано на рис. 2.
124
«Молодой учёный» . № 4 (138) . Январь 2017 г.
Физика
б
ry
rx
rx
i
1
s
rк
r
к
p
z
Рис. 2.
Структурная схема для определения потокосцепления
ψ
rx
в Simulink
Для расчета тока i
rx
приведем уравнение (8’) из работы [1]:
1
1
1
.
p
s
s
rк
sx
rx
rx
rx
к
ry
ry
э
rx
к
ry
э
к ry
m
r
s
s
s
б
s
z
r
r
r
u
i
i
l
s i
l
i
l
k
k
k
k
k
Перенесем
1
э
rx
б
l
s i
в левую часть:
3
1
.
p
s
s
rк
э
rx
sx
rx
rx
ry
э
к
ry
б
m
r
s
s
r
r
z
r
r
r
l
s i
u
i
l
i
l
k
k
k
Отсюда определим ток i
rx
по оси (+1):
3
4
1
5
2
3
1.
p
s
б
rx
sx
rx
r
rx
ry
э
к
ry
m
s
э
z
r
i
u
r i
l
i
l
k
l
s
Структурная схема для определения тока i
rx
дана на рис. 3.
э
l
ry
rx
sx
u
к
rx
i
p
s
z
k
s
m
r
l
ry
i
б
э
l
1
s
3
r
r
rx
i
Рис. 3.
Структурная схема для определения тока i
rx
в Script-Simulink
Расчет коэффициентов будем производить в отдельном блоке Subsystem, поэтому вносим в структурную схему на
рис. 3 блоки перемножения (рис. 4).
125
“Young Scientist” . # 4 (138) . January 2017
Physics
э
l
ry
rx
sx
u
к
rx
i
p
s
z
k
s
m
r
l
ry
i
б
э
l
1
s
3
r
r
rx
i
Рис. 4.
Структурная схема для определения тока i
rx
в Simulink
Аналогично, определим потокосцепление
ψ
ry
и ток i
ry
по оси (+j).
Из уравнения (7”) работы [1] выразим
ψ
ry
:
1
;
ry
rк
ry
к
p
rx
б
s
r i
z
2
1
1.
rк
ry
к
p
rx
ry
б
r i
z
s
Структурная схема для определения потокосцепления
ψ
ry
приведена на рис. 5.
б
rx
ry
ry
i
1
s
rк
r
к
p
z
Рис. 5.
Структурная схема для определения потокосцепления
ψ
ry
в Script-Simulink
Подготовим эту схему для расчета в Simulink (рис. 6).
126
«Молодой учёный» . № 4 (138) . Январь 2017 г.
Физика
б
rx
ry
ry
i
1
s
rк
r
к
p
z
Рис. 6.
Структурная схема для определения потокосцепления
ψ
ry
в Simulink
Приведем уравнение (8”) из работы [1]:
1
1
1
.
p
s
s
rк
sy
ry
ry
ry
к
rx
rx
э
ry
к
rx
э
к rx
m
r
s
s
s
б
s
z
r
r
r
u
i
i
l
s i
l
i
l
k
k
k
k
k
Перенесем
1
э
ry
б
l
s i
в левую часть:
3
1
.
p
s
s
rк
э
ry
sy
ry
ry
rx
э
к
rx
б
m
r
s
s
r
r
z
r
r
r
l
s i
u
i
l
i
l
k
k
k
Тогда ток i
ry
определится в следующей форме:
3
5
2
1
4
3
1.
p
s
б
ry
sy
ry
r
ry
rx
э
к
rx
m
s
э
z
r
i
u
r i
l
i
l
k
l
s
Структурная схема для определения i
ry
дана на рис. 7.
э
l
ry
rx
sy
u
к
rx
i
p
s
z
k
s
m
r
l
ry
i
б
э
l
1
s
3
r
r
ry
i
Рис. 7.
Do'stlaringiz bilan baham: |
