Issn 2072-0297 Молодой учёный Международный научный журнал Выходит еженедельно №4 (138) / 2017 р е д а к ц и о н н а я к о л л е г и я : Главный редактор

Решение задачи методом многих масштабов
Фатеев Денис Сергеевич, магистрант; 
Сабурова Виктория Игоревна, бакалавр
Национальный исследовательский университет «Московский институт электронной техники»
Задача: 
Исследовать асимптотическими методами решение с начальными данными 
, 
. Привести соот-
ветствующий численный счет при малом значении , сравнить полученное асимптотическое решение с численным 
решением. 
Решение: 
Дано уравнение: 
 
Разложим искомую функцию u в ряд по степеням 
Сгруппируем слагаемые по степеням : 
Решением получившегося уравнения с начальными условиями 
, 
является функция 
гармонического осциллятора, которую запишем в виде:
,
где 
- время. 

---

115
“Young Scientist” .  # 4 (138) .  January 2017
Mathematics
Правая часть: 
Обозначим:
Упростим правую часть: 
 
Для того чтобы не происходил резонанс, необходимо исключить члены 
и 
той же частоты, что 
и гармонический осциллятор. 
Получаем систему: 
Решаем дифференциальные уравнения: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Итак, выпишем итоговый результат: 
 
 
 
Ответ: 
 

---

116
«Молодой учёный» . № 4 (138)  . Январь 2017 г.
Математика
Ф
АЗОВЫЙ ПОРТРЕТ
 
Для построения фазового портрета используем пакет MatLab для численного решения обыкновенных дифферен-
циальных уравнений. 
Приводим наше уравнение 
к системе: 
Пишем вспомогательную функцию для ode45: 
function
f=system(t,y) 
eps = 0.3; 
f=[y(2); -y(1) - eps*(y(2) - (y(1))^3)]; 
end
Cкрипт Матлаба, строящий фазовый портрет: 
clear; 
eps=0.1; 
grid on 
hold on 
options = odeset('RelTol',10e-10); 
xrange=5; 
yrange=5; 
step=1; 
xx=-xrange:step:xrange; 
yy=-yrange:step:yrange; 
for i=1:length(xx) 
for j=1:length(yy) 
[T,Y]=ode45(@system,[0 50],[xx(i) yy(j)],options); 
hLine2=plot(Y(:,1),Y(:,2),'b-') 
end 
end 
axis([-xrange xrange -yrange yrange]) 
xlabel('U') 
ylabel('V') 
title(['Фазовый портрет при \epsilon =',num2str(eps)]) 
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
U
V
Фазовый портрет при 
ε
=0.1

---