Параметрга боғлиқ интеграллар

Параметрга боғлиқ интеграллар


1⁰. Параметрга боғлиқ интеграл тушунчаси. Айтайлик, функция

тўпламда берилган бўлсин. Бу функция ҳар бир тайинланган да ўзгарув­чи­нинг функцияси сифатида да интеграл­ла­нувчи, яъни

мавжуд дейлик. Қаралаётган интегралнинг қиймати тайин-ланган га боғлиқ бўла­ди:
. (1)
Масалан, бўлганда
,
бўлганда

бўлади. Демак,

Одатда (1) интеграл параметрга боғлиқ интеграл, эса параметр дейилади.
Равшанки, функция (параметрга боғлиқ интеграл) берилган функ­ция орқали аниқланиб, унга боғлиқ бўлади.
Параметрга боғлиқ интеграл мавзусида функция-нинг функ­ционал хос­саларига кўра функциянинг функционал хос­салари (лимити, узлук­сиз­лиги, дифферен­циал­ла­нувчилиги, интегралланиши) ўрганилади.
2⁰. функциянинг лимити. Айтайлик, функция

тўпламда берилган бўлиб, эса тўпламнинг лимит нуқтаси бўлсин. Бу функция учун ҳар бир тайин да

мавжуд бўлсин.
1-теорема. Фараз қилайлик, функция қуйидаги шарт­ларни бажарсин:
1) ҳар бир тайин да функция ўзгарувчи-нинг функцияси сифатида да узлуксиз;
2) да функция лимит функция га да текис яқинлашсин.
У ҳолда да функция лимитга эса бўлиб,
(2)
бўлади.
◄ Келтирилган теореманинг шартларини бажарилишидан, қуйидаги теоремага кўра (Теорема. функция учун қуйидаги шартлар бажа­рил­син:
1) ҳар бир тайин да функция да ўзга­рув­чининг функ­ция­си сифатида узлуксиз;
2) да функция да га текис яқин­лашсин.
У ҳолда функция да узлуксиз бўлади.),
лимит функция нинг да узлуксиз бўлиши келиб чиқади. Демак,

интеграл мавжуд.
Айни пайтда, да функциянинг да функцияга текис яқинлашувчи бўлишидан, таърифга биноан,

бўлишини топамиз. Ушбу

айирмани қарайлик.
Равшанки, тенгсизликни қаноатлантирувчи ихтиёрий учун

бўлади.
Кейинги муносабатдан

бўлиши келиб чиқади. ►
(2) муносабатни қуйидагича

ҳам ёзиш мумкин. Бу интеграл белгиси остида лимитга ўтиш қоидасини ифо­да­лай­ди.
3⁰. функциянинг узлуксизлиги. функциянинг узлук­сиз­ли­гини қуйидаги теорема ифодалайди.
2-теорема. Агар функция

тўпламда узлуксиз бўлса, функция да узлуксиз бўлади.
◄ Ихтиёрий ва нуқталарни олиб, функ­ция­нинг орттирмасини топамиз:
.
функция тўпламда текис узлуксиз. Унда учун шундай топиладики, бўлганда, учун

бўлади. Демак, бўлганда

бўлади. Кейинги муносабатдан

бўлиши келиб чиқади. Бу эса функцияни ихтиёрий нуқ­та­да, бинобарин да узлуксиз бўлишини билдиради.►
4⁰. функцияни дифференциаллаш. Айтайлик, функция тўп­лам­да берилган бўлсин.
3-теорема. Фараз қилайлик, функция қуйидаги шартларни бажарсин:
1) ҳар бир тайин да функция да ўзга­рувчи­нинг функцияси сифатида узлуксиз;
2) функция тўпламда хусусий ҳосилага эга ва функция да узлуксиз.
У ҳолда функция да ҳосилага эга ва
(3)
бўлади.
◄ , нуқталарни олиб, топамиз:
.
Лагранж теоремасига кўра

бўлиб,
(4)
бўлади.
функция тўпламда текис узлуксиз бўлганлиги сабабли

тенгсизлик бажарилади. (4) мунособатдан фойдаланиб

бўлишини топамиз. Демак,
.
Бу эса

эканини билдиради. ►
(3) муносабатни қуйидагича

ҳам ёзиш мумкин. Бу дифференциаллаш амалини интеграл белги­си остига ўтказиш қоидасини ифодалайди.
5⁰. функцияни интеграллаш. Фараз қилайлик, функция тўпламда берилган ва узлуксиз бўлсин. У ҳолда 2-теоремага кўра

функция да узлуксиз бўлади. Бинобарин, бу функция да интегралланувчи, яъни

мавжуд бўлади.
4-теорема. Агар функция тўпламда узлуксиз бўлса, у ҳолда

бўлади.
◄ нуқтани олиб, ушбу

функцияларни қараймиз.
Равшанки,

Демак,

бўлиб, ундан

бўлиши келиб чиқади.
Агар дейилса,

бўлади ва кейинги тенг­лик­дан бўлишини топамиз.
Демак,
.
Хусусан, бўлганда бўлиб,

бўлади. ►