П-стратегия при движении игроков со



Download 233,35 Kb.
Pdf ko'rish
Sana20.03.2022
Hajmi233,35 Kb.
#503523
TuriЛекция
Bog'liq
2 5384158589810117026



УДК 518.9
П-стратегия при движении игроков со
ускорением
ЛЕКЦИЯ - 1
Аннотация
В настоящей работе исследуется задача преследования-убегания, когда
игроки с течением времени осуществляют свои движения при помощи векторов
ускорения. При этом задача преследования решается посредством стратегии
параллельного преследования, а в задаче убегания устанавливаются нижние
оценки для расстояния между преследователем и убегающим.
Ключевые слова:
дифференциальная игра, задача преследования, задача
убегания,
Π
- стратегия, поимка, уклонения.
1. Постановка задачи
Пусть в пространстве
R
n
управляемый объект
X
, называемый преследователем,
гонится за другим объектом
Y
, называемый убегающим. Обозначим через
x
местоположение преследователя, а через
y
местоположение убегающего в
R
n
. В
настоящей работе рассматривается задача преследования-убегания, когда объекты
двигаются в соответствии с уравнениями
¨
x
=
u,
x
(0) =
x
10
,
˙
x
(0) =
x
11
,
(1)
¨
y
=
v,
y
(0) =
y
10
,
˙
y
(0) =
y
11
,
(2)
где
x, y, u, v

R
n
, n

1;
x
10
, y
10
– начальные положения, а
x
11
, y
11
– начальные
скорости объектов; предполагается
x
10
6
=
y
10
;
u
,
v
– векторы ускорения, которые
служат параметрами управления. При этом временное изменение вектора
u
должно
оказаться измеримой функцией
u
(
·
) : [0
,

)

R
n
, для которого налагается
геометрическое ограничение вида
|
u
(
t
)
| ≤
α
почти для всех
t

0
,
(3)
где
α
– неотрицательное параметрическое число, означающое максимальную
величину ускорения преследователя.
Аналогично, временное изменение вектора
v
должно быть измеримой функцией
v
(
·
) : [0
,

)

R
n
,
для которого налагается так же геометрическое ограничение вида
|
v
(
t
)
| ≤
β
почти для всех
t

0
,
(4)
где
β
– неотрицательное параметрическое число, которое означает максимальную
величину ускорения убегающего.
Измеримую функцию
u
(
·
)
удовлетворяющую условию (3) назовём допустимым
управлением преследователя класса
U
, а измеримую функцию
v
(
·
)
удовлетворяющую
условию (4) допустимым управлением убегающего класса
V
.
1


В силу уравнений (1)-(2) каждые тройки
(
x
10
, x
11
, u
(
·
))
, где
u
(
·
)

U
, и
(
y
10
, y
11
, v
(
·
))
, где
v
(
·
)

V
, порождают траектории движения игроков
X
и
Y
x
(
t
) =
x
10
+
x
11
t
+
t
Z
0
(
t

s
)
u
(
s
)
ds,
(5)
y
(
t
) =
y
10
+
y
11
t
+
t
Z
0
(
t

s
)
v
(
s
)
ds
(6)
соответственно.
Целью преследователя
X
является осуществление поимки, т.е. равенства
x
(
t
) =
y
(
t
)
(7)
за возможно короткое время, убегающий
Y
стремится уклониться от встречи, т.е.
осуществить неравенство
x
(
t
)
6
=
y
(
t
)
для всех
t

0
,
а если это невозможно, то как
можно дольше отодвинуть момент встречи (7). Разумеется, такая постановка задачи
является предварительным.
В соответствии с подходами, положенными в основу теории дифференциальных
игр
Л.С.Понтрягиным
[
]
и
Н.Н.Красовским
[
],
дифференциальная
игра
рассматривается либо с точки зрения преследователя, либо с точки зрения
убегающего как задача управления. В соответствии с этим игра сводится или к задаче
преследования (сближения), или же к задаче убегания (уклонения).
К изучению дифференциальных игр с простыми движениями игроков и с
различными ограничениями на управления посвящены достаточно много работ [
]. При этом для решения игр преследования построены стратегии разнотипного
характера [ ]. Среди них в силу наиболее оптимальности и применяемости особое
место имеет стратегия параллельного сближения (П-стратегия [ ]). П-стратегия
применяется для решения таких известных задач, как "Игра с линией жизни"[
], "Простое преследование несколькими объектами"[ ] и в др. Далее, применая
прямые методы преследования Л.С.Понтрягина [ ], задача Б.Н.Пшеничного [ ]
обобщается в работах [ ] для более общих уравнений движений игроков или объектов
с противоположными целями. Однако в этих обобщениях сближения игроков не
всегда осуществляются наилучшим образом. Поэтому в настоящей работе для
решения задачи преследования при инерционных движениях объектов предлагается
применение П-стратегии специальным образом, т.е. сначала для параллельного
сближения скоростей и затем для сближения объектов.
В дальнейшем, при решении задачи преследования с помощью стратегии
параллельного сближения (скоростей, самих объектов) для сокращения записи
водятся обозначения:
z
=
x

y,
z
10
=
x
10

y
10
,
z
11
=
x
11

y
11
. Тогда система
(1)-(2) приводится к следующему редуцированному виду дифференциальной игры
¨
z
=
u

v,
z
(0) =
z
10
,
˙
z
(0) =
z
11
,
(8)
где здесь
z
10
– разность начальных состояний, а
z
11
– разность начальных скоростей
игроков. В силу этого при выборе допустимых управлений
u
(
·
)

U
и
v
(
·
)

V
2


решение уравнения (8) имеет вид
z
(
t
) =
z
10
+
z
11
t
+
t
Z
0
(
t

s
)(
u
(
s
)

v
(
s
))
ds,
(9)
Теперь при введенных новых обозначениях целью преследователя является
осуществление равенства
z
(
t
) = 0
из заданных начальных состояний
z
10
и
z
11
за
возможно кратчайшее время
t
, а целью убегающего достижения неравенства
z
(
t
)
6
= 0
при всех
t

0
.
Решение задачи преследования конструируем исходя из заданных начальных
состояний
z
10
и
z
11
. Отметим, что здесь возможны только два случая:
С л у ч а й 1.
Векторы
z
10
и
z
11
коллениарны, т.е. существует такое конечное
число
k
, что выполняется равенство
z
11
=
kz
10
.
С л у ч а й 2.
Векторы
z
10
и
z
11
неколлениарны т.е. линейно независимы.
2. Решение задачи преследования в случае 1
Для
достижения
преследователем
своего
цели
недостаточно
ему
одних
программных стратегий, т.е. допустимых управлений зависящих только от времени
t
. Поэтому, аналогично работам [ ], в рассматриваемом случае, стратегию
преследователя также можно определить в зависимости только от текущего
состояния функции ускорения
v
(
t
)
, t

0
и от заданных постоянных
z
10
,
α
.
О п р е д е л е н и е 1.
Пусть
α

β
и
z
11
=
kz
10
. Тогда в игре (1)-(4) функцию
u
(
z
10
, v
) =
v

λ
(
z
10
, v
)
ξ
10
,
(10)
назовем
Π
-стратегией преследователя
, где
λ
(
z
10
, v
) =
h
v, ξ
10
i
+
p
h
v, ξ
10
i
2
+
α
2
− |
v
|
2
, ξ
10
=
z
10
/
|
z
10
|
;
(11)
а
u
(
z
10
, v
(
t
))
, t

0

ее реализацией
для каждого
v
(
·
)

V
.
Нетрудно проверить, что при
α

β
функции (10) и (11) определены и
непрерывны для всех
v,
|
v
| ≤
β
и при этом для функции (10) справедливо равенство
|
u
(
z
10
, v
)
|
=
α.
О п р е д е л е н и е 2.
Π
-стратегия называется
выигрышной для преследователя
в промежутке времени
[0
, T
]
, если для любого
v
(
·
)

V
: а) существует такой момент
времени
t


[0
, T
]
,
что выполнено равенство
z
(
t

) = 0
; б)
u
(
v
(
·
))

U
в промежутке
времени
[0
, t

]
. При этом число
T
принято называть
гарантированным временем
преследования
или
поимки
в случае 1.
Т е о р е м а 1.
Пусть в игре (1)-(4) при случае 1, выполнено хотя бы одно из
условий: а)
α > β
и
k
– произвольное число; или б)
α
=
β
и
k <
0
. Тогда
Π
-стратегия
является выигрышной в промежутке времени
[0
, T
1
]
, где
T
1
=

|
z
0
|
k
+
p
|
z
0
|
2
k
2
+ 2
|
z
0
|
(
α

β
)
/
(
α

β
)
,
если
α > β,

1
/k ,
если
α
=
β
и
k <
0
.
3


Доказательство.
Пусть убегающий выбирает произвольное управление
v
(
·
)

V
,
а преследователь реализует
Π
-стратегию (10), то в силу (9) имеем
z
(
t
) =
z
10
+
z
11
t

t
Z
0
(
t

s
)
λ
(
z
10
, v
(
s
))
ξ
10
ds.
Отсюда и из условия
z
11
=
kz
10
находим
z
(
t
) =
z
10
Λ(
z
10
, t, v
(
·
))
,
(12)
где
Λ(
z
10
, t, v
(
·
)) = 1 +
kt

1
|
z
10
|
t
R
0
(
t

s
)
λ
(
z
10
, v
(
s
))
ds.
Изучим характер
убывания скалярной части функции сближения (12), т.е.
Λ(
z
10
, t, v
(
·
))
по
t
. В силу
определения функции
λ
(
z
10
, v
)
(см.(10)) она является определенной, непрерывной и
положительной для каждого
v,
|
v
| ≤
β
при
α

β
. Тогда по лемме о минимуме в
элементарной задаче оптимального управления ([4], стр.360) получаем
Λ(
z
10
, t, v
(
·
))

1 +
kt

1
|
z
10
|
min
v
(
·
)

V
t
Z
0
(
t

s
)
λ
(
z
10
, v
(
s
))
ds

1 +
kt

t
2
2
|
z
10
|
min
|
v
|≤
β
λ
(
z
10
, v
)
.
Поскольку,
min
|
v
|≤
β
λ
(
z
10
, v
) =
α

β
, то из последнего неравенства находим
Λ(
z
10
, t, v
(
·
))

Λ(
z
10
, t
)
,
(13)
где
Λ(
z
10
, t
) = 1 +
kt

t
2
2
|
z
10
|
(
α

β
)
.
Функция
Λ(
t
)

монотонно убывает по
t
и
обращается в нуль при
t
=
T
1
.
Следовательно , существует такое
t

,
что
Λ(
t

, v
(
·
)) = 0
и это (см. (12)) влечёт
z
(
t

) = 0
,
при этом
t


T
1
,
что завершает доказательство
теоремы 1.
2. Вспомогательные задачи при случае 2
Пусть теперь начальные ненулевые векторы
z
10
и
z
11
неколлениарны и в
дальнейшем всюду будем считать, что
α > β
. Для этих случаев сначала решаем
следующие вспомогательные задачи.
Задача 1.
При произвольном управлении
v
(
·
)

V
убегающего
Y
для
преследователя
X
построить стратегию при помощи которой за некоторое конечное
время
t

было возможно осуществления равенства скоростей, т.е.
˙
x
(
t

) = ˙
y
(
t

)
.
(14)
Задача 2.
В пространстве
R
n
при произвольном управлении убегающего
v
(
·
)

V
,
найти множество точек достижений:
а)
˙
y
(
t
)
– траектории скорости убегающего;
б)
y
(
t
)
– траектории движения убегающего,
при каждом
t

[0
, t

]
.
4


2.1. Решение задачи 1.
Для решении задачи 1 дифференциальная игра второго
порядка (1)-(2) сводится к дифференциальной игре первого порядка. Для этого
выводятся новые переменные
x
1
= ˙
x, y
1
= ˙
y
. Тогда из (1)-(2) имеем уравнения
для изменения скоростей игоков
X
и
Y
˙
x
1
=
u, x
1
(0) =
x
11
,
(15)
˙
y
1
=
v, y
1
(0) =
y
11
,
(16)
соответственно, где
u, v
– скорости изменения векторов
x
1
, y
1
, в зависимости от
времени
t
. Ясно, что
x
11
6
=
y
11
(иначе при
z
10
6
= 0
и
k
= 0
мы возвращаемся к случаю
1), где
x
11
, y
11
– начальные состояния векторов
x
1
, y
1
.
Таким образом мы свели задачу 1 к известной игре простого преследования
с геометрическими ограничениями (3) и (4), которая достаточно полно была
исследована, например, в работах [ ]. Отметим, что в этих работах для решения
задачи преследования применяется стратегия аналогичное к (10), которая позволяет
наилучщое параллельное сближения икроков.
О п р е д е л е н и е 3.
Для задачи 1 функцию
u
1
(
z
11
, v
) =
v

λ
1
(
z
11
, v
)
ξ
11
,
(17)
назовем
Π
1
-стратегией преследователя
, где
λ
1
(
z
11
, v
) =
h
v, ξ
11
i
+
p
h
v, ξ
11
i
2
+
α
2
− |
v
|
2
, ξ
11
=
z
11
/
|
z
11
|
, z
11
=
x
11

y
11
;
(18)
а
u
1
(
z
11
, v
(
t
))
, t

0
- ее
реализацией
для каждого
v
(
·
)

V
.
Т е о р е м а 2.
Если преследователь применяет
Π
1
-стратегию (17), то
при произвольном управлении
v
(
·
)

V
убегающего
Y
возможно осуществления
равенства (14) за некоторое время
t


(0
, T

]
, где
T

=
|
z
11
|
α

β
.
(19)
Доказательство .
Пусть убегающий выбирает произвольное управление
v
(
·
)

V
,
а преследователь реализует
Π
1
-стратегию (17). Тогда вводя обозначение
z
1
=
x
1

y
1
,
из (15)-(16) и (17) находим задачу Коши вида
˙
z
1
=

λ
1
(
z
11
, v
(
t
))
ξ
11
, z
1
(0) =
z
11
.
(20)
Отсюда получаем функцию сближения скоростей игроков
z
1
(
t
) =
z
11
Λ
1
(
z
11
, t, v
(
·
))
,
(21)
где
Λ
1
(
z
11
, t, v
(
·
)) = 1

1
|
z
11
|
t
R
0
λ
1
(
z
11
, v
(
s
))
ds.
Аналогично неравенству (13), из
доказательства теоремы 1, находится оценка вида
Λ
1
(
z
11
, t, v
(
·
))

Λ
1
(
z
11
, t
)
,
5


где здесь
Λ
1
(
z
11
, t
) = 1

t
|
z
11
|
(
α

β
)
.
Поскольку
α > β,
то функция
Λ
1
(
z
11
, t
)
обращается в нуль при
T

=
|
z
11
|
α

β
|
и следовательно, существует такое
t

,
что
Λ
1
(
z
11
, t

, v
(
·
)) = 0
и это влечёт
x
1
(
t

) =
y
1
(
t

)
,
при этом
t


T

,
что завершает
доказательство теоремы 2 и решение задачи А.
2.2. Решение задачи 2.
В работах [ ] для игры простого преследования при
α > β
в пространстве
R
n
при реализации преследователем стратегии параллельного
сближения (
Π
-стратегии) типа (17) выявлено множество достижимости игроков,
граница которого представляет замкнутый шар, ограниченный сферой Апполония.
Аналогично, для состояний
x
1
, y
1
системы игры (15)-(16) можно определить
множество точек "встреч"скоростей в виде
W

(
x
1
, y
1
) =
{
w
:
β
|
w

x
1
| ≥
α
|
w

y
1
|}
,
(21)
что представляет замкнутый шар с центром в точке
c

(
x
1
, y
1
) = (
α
2
y
1

β
2
x
1
)
/
(
α
2

β
2
)
,
и радиусом
R

(
x
1
, y
1
) =
αβ
|
x
1

y
1
|
/
|
α
2

β
2
|
.
Пусть пары
(
y
11
, v
(
·
)
) и
(
x
11
,
u
1
(
z
11
, v
(
·
))
, где
v
(
·
)

V
порождают траектории
изменений скоростей
y
1
(
t
) =
y
11
+
t
Z
0
v
(
s
)
ds,
x
1
(
t
) =
x
11
+
t
Z
0
u
1
(
z
11
, v
(
s
))
ds,
(22)
соответственно. Из вида (21) для каждой пары
(
x
1
(
t
)
, y
1
(
t
))
образуем множество
W

(
t
) =
{
w
:
β
|
w

x
1
(
t
)
| ≥
α
|
w

y
1
(
t
)
|}
,
(23)
где
W

(
t
) =
W

(
x
1
(
t
)
, y
1
(
t
))
, t

0
.
Для дальнейшего развития решения задачи преследования в рассматриваемом
случае, ниже приводятся важные свойства для множества достижимости
W

(
t
)
при
t

[0
, t

]
, где
t

– время выполнения равенства (14).
Т е о р е м а 3
([ ]). Если
α > β
, то в игре (15)-(16) справедлива формула
W

(
t
) =
x
1
(
t
) + Λ
1
(
z
11
, t, v
(
·
))[
W

(0)

x
11
]
(24)
при
t

[0
, t

]
и
W

(0) =
{
w
:
β
|
w

x
11
| ≥
α
|
w

y
11
|}
.
(25)
Т е о р е м а 4
([ ]). Множество
W

(
t
)
является монотонно убывающим
относительно включения, т.е. если
t
1

t
2
,
то
W

(
t
2
)

W

(
t
1
)
,
где
t
1
, t
2

[0
, t

]
.
Из вида (25) нетрудно вычислить, что
W

(0) =
x
11

c
(
z
11
) +
R
(
z
11
)
S,
(26)
6


где
c
(
z
11
) =
α
2
z
11
α
2

β
2
,
R
(
z
11
) =
αβ
|
z
11
|
α
2

β
2
и
S
– единичный шар с центром в нуле пространства
R
n
. Тогда из выше предложенных обозначений
˙
x
=
x
1
,
˙
y
=
y
1
и из теорем 3 и 4
получаем
˙
y
(
t
)

˙
x
(
t
) + Λ
1
(
z
11
, t, v
(
·
))(

c
(
z
11
) +
R
(
z
11
)
S
)

W

(0)
,
(27)
для каждого
t

[0
, t

]
. Поскольку, множество
W

(0)
– замкнутый шар с центром в
точке
x
11

c
(
z
11
)
и радиусом
R
(
z
11
)
, то интегрируя (27) с обоих сторон в промжутке
[0
, t
]
имеем включение вида
y
(
t
)

y
10
+
tW

(0)
,
(28)
которое выполняется при
t

[0
, t

]
. Последное следует из уравнения (16) и свойств
интегрирования выпуклых замкнутых многозначных отоброжений (см.[ ]).
Л е м м а 1.
При произвольном управлении
u
(
·
)

U
преследователя
X
, функция
скорости
˙
y
(
t
)
убегающего
Y
может попасть в любую точку множества
W

(0)
и до
момента достижения
t

этой точки множества выпольняется неравенство
˙
x
(
t
)
6
= ˙
y
(
t
)
,
(29)
при
t

[0
, t

]
.
Доказательство следует из работы [22].
˙
z
(
t
)

Λ
1
(
z
11
, t, v
(
·
))[
c
(
z
11
) +
R
(
z
11
)
S
]
.
Поскольку, правая часть последнего есть замкнутая, непрерывная по
t
многозначная
функция, то в силу свойств интегрирования таких функций (см. ) имеем
z
(
t
)

z
0
+
t
Z
0
Λ
1
(
z
11
, s, v
(
s
))
ds
[
c
(
z
11
) +
R
(
z
11
)
S
]
.
В силу теорем 3 и 4 получаем следующий ответ к решению задачи 2.
Т е о р е м а 5.
Если в игре (15)-(16) при произвольном управлении
убегающего
v
(
·
)

V
преследователь реализует
Π
1
-стратегию (17), то множество
точек достижений:
а) для
˙
y
(
t
)
есть множество
W

(0)
, т.е. выполняется включение
˙
y
(
t
)

W

(0)
в
промежутке времени
[0
, t

]
;
б) для
y
(
t
)
есть множество
y
10
+
tW

(0)
т.е. выполняется включение
y
(
t
)

y
10
+
tW

(0)
в промежутке
[0
, t

]
.
3. Решение задачи преследования в случае 2
Теперь
начиная
с
момента
времени
t

нами
будет
рассматриватся
дифференциальная игра
¨
x
=
u,
x
(
t

) =
x

,
˙
x
(
t

) =
x
∗∗
,
(26)
¨
y
=
v,
y
(
t

) =
y

,
˙
y
(
t

) =
y
∗∗
,
(27)
где
x

, y

– положения игроков в момент времени
t

, предполагается, что
x

6
=
y

и
x
∗∗
, y
∗∗
– положения скоростей игроков в момент времени
t

. Однако, в системе
7


(26)-(27) выполняется равенство (14) или
x

=
y

, т.е. совпадают скорости в момент
времени
t

и игра сводится к случаю 1, когда
k
= 0
.
О п р е д е л е н и е 4.
Пусть
α > β
и
t

t

. Тогда в игре (26)-(27) функцию
u
2
(
z

, v
) =
v

λ
2
(
z

, v
)
ξ

,
(28)
назовем
Π
2
-стратегией преследователя
, где
λ
2
(
z

, v
) =
h
v, ξ

i
+
p
h
v, ξ

i
2
+
α
2
− |
v
|
2
, ξ

=
z

/
|
z

|
, z

=
x


y

;
(29)
а
u
2
(
z

, v
(
t
))

ее реализацией
для каждого
v
(
·
)

V
при
t

t

.
Т е о р е м а 6.
Если
α > β
и
t

t

, то в игре (26)-(27)
Π
2
-стратегия (28) является
выигрышной в промежутке времени
[
t

, T

]
, где
T

=
t

+
s
2
|
z

|
α

β
.
(30)
Доказательство
теоремы проводится аналогично к теореме 1. Только здесь
реализуется стратегия (29) и учитывается, что
k
= 0
.
Теперь для завершения решения задачи преследования в случае 1 остаётся только
оценить расстояние между игроками в момент
t

, т.е.
|
z

|
.
Пусть убегающий выбирает произвольное управление
v
(
·
)

V
, а преследователь
реализует
Π
1
-стратегию (17) в промежутке времени
[0
, t

]
, то в силу (9) имеем
z
(
t
) =
z
10
+
z
11
t

t
Z
0
(
t

s
)
λ
1
(
z
11
, v
(
s
))
ξ
11
ds.
Откуда находим, что
z
(
t
) =
z
10
+
z
11
Λ
2
(
z
11
, t, v
(
·
))
,
(31)
где
Λ
2
(
z
11
, t, v
(
·
)) =
t

1
|
z
11
|
t
R
0
(
t

s
)
λ
1
(
z
11
, v
(
s
))
ds
. Нетрудно проверить, что
d
Λ
2
(
z
11
, t, v
(
·
))
dt
= Λ
1
(
z
11
, t, v
(
·
))
(32)
(см. (21). Так как
Λ
1
(
z
11
, t, v
(
·
))

0
при
t

[0
, t

]
, то из (32) следует, что
Λ
2
(
z
11
, t, v
(
·
))
– монотонно возрастающая функция по
t

[0
, t

]
. Тогда имеем, что
Λ
2
(
z
11
, t, v
(
·
))

Λ
2
(
z
11
, t

, v
(
·
))

t


1
|
z
11
|
t

Z
0
(
α

β
)
sds
=
t


α

β
2
|
z
11
|
(
t

)
2
.
(33)
Поскольку, при
t


[0
, T

]
(см. теоремы 2) получаем, что правая часть последнего в
(33) достигает своего максимального значения при
t

=
|
z
11
|
α

β
. Следовательно, при
произвольном управлении убегающего
v
(
·
)

V
промежуток изменения функции
Λ
2
(
z
11
, t, v
(
·
))
имеет оценку
8


0

Λ
2
(
z
11
, t, v
(
·
))

|
z
11
|
2(
α

β
)
.
(34)
Рассмотрим функцию
w
(
τ
) =
z
10
+
τ z
11
при
τ

[0
, T

]
, где
T

=
|
z
11
|
2(
α

β
)
представляющий отрезок прямой линии с направляющим вектором
z
11
. Из вида этой
функции можно найти легко проверяемые следующие ее свойства.
С в о й с т в о 1.
Если начальные ненулевые векторы
z
10
и
z
11
неколлениарны, то
w
(
τ
)
6
= 0
при
τ

[0
,
|
z
11
|
2(
α

β
)
]
.
С в о й с т в о 2.
Вектор функция
w
(
τ
)

z
10
в промежутке
[0
,
|
z
11
|
2(
α

β
)
]
остаётся
коллениарной к вектору
z
11
.
С в о й с т в о 3.
а) Если
h
z
10
, z
11
i ≥
0
, то при произвольном управлении убегающего
расстояние между игроками т.е. функция
|
z
(
t
)
|
возрастает и имеет оценку
|
z
10
| ≤ |
z
(
t
)
| ≤ |
z
10
+
|
z
11
|
2(
α

β
)
z
11
|
.
(35)
б) Если же
h
z
10
, z
11
i
<
0
, то для расстоянии между игроков в промежутке времени
[0
, t

]
справедлива оценка
min
{|
z
10
|
,
|
z
10

h
z
10
, z
11
i
|
z
11
|
2
z
11
|} ≤ |
z
(
t
)
| ≤
max
{|
z
10
|
,
|
z
10
+
|
z
11
|
2(
α

β
)
z
11
|}
.
(36)
Доказательство следствий 1 - 3 непосредственно следует из (31), (32) и (34).
Список литературы
[1] Азамов А. О задаче качества для игр простого преследования с ограничением//
Сердика. Българско матем. спис. 1986. Т.12. С.38-43.
[2] Азамов А.А., Кучкаров А.Ш., Саматов Б.Т. О связи между разрешимостью
задач преследования, управляемости и устойчивости в целом в линейных
системах с разнотипными ограничениями// ПММ. 2007. Т. 71. вып.2. С.259-263.
[3] Айзекс Р. Дифференциальные игры. -М.: Мир, 1967.
[4] Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. -М.:
Наука, 1979.
[5] Григоренко
Н.Л.
Математические
методы
управления
несколькими
динамическими процессами. -М.: Изд-во МГУ, 1980.
[6] Ким Д.П.Методы поиска и преследования подвижных объектов. -М:Наука, 1989.
[7] Красовский Н.Н. Управление динамической системой. -М.: Наука, 1985.
[8] Петросян Л.А. Об одном семействе дифференциальных игр на выживание в
пространстве
R
n
.// Докл.АН СССР. 1965. Т.161. №1. С.52-54.
9


[9] Петросян Л.А. Дифференциальные игры преследования. Л.: Изд-во ЛГУ, 1977.
[10] Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. -М.: Наука, 1988. ч. II.
[11] Пшеничный Б.Н. Простое преследование несколькими объектами.// Киберн.
1976. №3. С.145-146.
[12] Пшеничный Б.Н., Остапенко В.В. Дифференциальные игры. -Киев: Наукова
думка, 1992.
[13] Рихсиев Б.Б. Дифференциальные игры с простыми движениями. -Т.: Фан, 1989.
[14] Сатимов
Н.Ю.
Методы
решения
задачи
преследования
в
теории
дифференциальных игр. -Т.: Изд-во НУУз, 2003.
[15] Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. -М.:
Наука, 1981.
[16] Ушаков
В.Н.
Экстремальные
стратегии
в
дифференциальных
играх
с
интегральными ограничениями// ПММ. 1972. Т.36. вып.1. С.15-23.
[17] Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. -М.:
Наука, 1985.
[18] Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными
ресурсами. -М.: Наука, 1974.
[19] Черноусько Ф.Л., Меликян А.А. Игровые задачи управления и поиска. -М.:
Наука, 1978.
[20] Чикрий
А.А.,Белоусов
А.А.
О
линейных
дифференциальных
играх
с
интегральными
ограничениями//Труды
инс.мат.и
мех.
УрО
РАН.
2009.
Т.15.№4.С.290-301.
[21] Azamov A.A.,Samatov B.T.
Π
-strategy. Tashkent: National Univ. of Uzb., 2000.
[22] Azamov A.A.,Samatov B.T.The П-Strategy: Analogies and Applications// Contri-
butions to game theory and management.The Fourth International Conference Game
Theory and Management, June 28-30, 2010, St. Petersburg, Russia. 2010. V.IV. Р.33-
47.
[23] Chikrii A.A. Conflict-controlled processes. Boston-London-Dordrecht: Kluwer Aca-
dem. Publ., 1997.
[24] Samatov B.T. The Differential Game with "A Survival Zone"with Different Classes
of Admissiable Control Functions// Game Theory and Applications. Nova Science
Publ. 2008. V.13. P.143-150.
10


Саматов Бахром Таджиахматович, Наманганский государственный университет,
заведующий кафедрой "Прикладная математика и информационные технологии",
г.Наманган, Е-mail: samatov57@inbox.ru
11

Download 233,35 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish