P habibullaev

w(x. x) 
= 
| j | j
: AS(X)  - 
S{x) 
- 
s(x)
(6)  ifodani  Eynshteyn formulasi deyiladi.
Quyidagi bir o'zgaruvchan 
=  .v  bo'lgan holni qarab chiqaylik.
Parametr x  ning  o'rtacha  qiymati  д-  dan  chetlanishi  kichik  boMsin.  By 
holda 
S(x)
 ni qatorga quyidagicha yoyayiik:
140

---

7 
2  
д х 2
х
  =  л- bolganda entropiya 
S(x)
 maksimum qiymatga ega boiadi. Shuning uchun
dS
  I
о,
d2S
dx2
- 
<  0
(8)  ga  asosan
bunda
S{x)
 - 
s(*) 
=  AS(.v) 
= - ^ ( x ~  x j
(8)
(9)
P
d 2S
dX:
>
 0
(9)  ni  nazarda  tutib,  (6)  formulani  quyidagi  ko‘rinishda  yozamiz:
W{x) =  A
 exp
(10)  dagi  A  quyidagi  normallash  sharti
|1У(л>/л-  =  1
( 10)
(H)
dan topiladi.  (10)  ni  (11)  ga  qo‘yib, 
A
  =
( IS '
,2  
n y
ekanini  topamiz  (6. 1-
masalaga qarang).  Shunday qilib, 
x
 kattalikning fluktuatsiyasi  qiymatlari 
uchun  quyidagi  taqsimot  funksiyasini  olamiz:
№ (*) =
'JL
2л
v
Г 
- y l
exp -  -
)
V2 /
(
12)
Bu taqsimot Gauss taqsimoti (yoki normal taqsimot) deyiladi.
 Bu taqsimot 
simmetrikdir va 
x
  = 
x
 da maksimumga ega (6.1  rasm).
Kvadratik fluktuatsiya o ‘rtachasi 
ni  (12)  asosida aniqlaymiz
(6. 1,  6.2-masalalarga qarang):

---

-Y
6. l-rasm.
(л  - 
x j
  =  |(д- - 
x) W(x)dx
Demak,
W(x) =  2n(x - x j
ex p
Iя' ^  
xf
. 
2( x ~ xJ
(13)
(14)
Yuqorida bir parametrning fluktuatsiyasini qaradik. Xuddi shuningdek, 
ko‘p parametrlar fluktuatsiyalarini ko‘rishimiz mumkin.  Bu holda sistema 
entropiyasi  shu  parametrlar  .r,, л \
xri
  ning  funksiyasi  bo‘ladi:
S(.\) =  ^(-x,, 
)
Bu holda parametrlarning o‘rtacha qiymatlaridan chetlanishi ehtimoli 
W(X) 
ni quyidagicha yozamiz:
W (X
]dx\dx,.. ,dxn
  = 
A
 exp[Д5(х)]с/х|
dx2..xixn
 
(15)
bunda
A'  •  A (.v,.v....... v  )
S(X)
  ni  (д-  - .v j darajalar bo'yicha qatorga yoyamiz, 
- .x.)  ni  kichik 
deb,  ikkinchi  tartibli  hadlarni  hisobga  olish  bilan chegaralanamiz,  ya’ni
C:
+
2  , 
,  dx dx
‘ •J 
, 
J
yoki  (8)  ga  asosan
142

---

s(x) =
(16)
(16)  ni (15) ga qo‘yib, aniqlashimiz lozim bo'lgan fluktuatsiya ehtimollari 
taqsimotini  topamiz.
(17)
Bunda A  normallash sharti
W (x ) = 
A
 exp 
;h shart
'^...^W(x)dxldx1...dxii  =
  1
(18)
dan topiladi:
A
  =  (2я ) ^ л/р
/З-matritsa /^.ning  determinanti (6.1, 6.2 - masalalarga qarang). 
Masalalar.
6.1.  (10)  ifodadagi A  ni  aniqlang.
Yechish.  Qulaylik  uchun 
% =
 0  deb,  (10)  ni  (11)  ga  qo‘yamiz
A
  Jexp
yoki
2
dx
  =  1
A
v P y
bundagi  1  Pausson  integralini  topamiz:
+x
I -   je-'dy
— x
Buning  uchun 
P
  ni  yozib,  so‘ng  qutb  koordinata  sistemasiga  o‘tib, 
integrallash  amalini  bajaramiz,  ya’ni
.’  +X- 
2
 rt 
+ x
I 2  =
  | 
j V  
' 
dxdy
  =  Ji/cp jYe  r 
dr =  2n
 •
'>  - 
0 
0
= 
П
Demak, 
I   =  yjn .
  Shunday  qilib, 
A
f J L T
\2tc 
,
143

---

6.2.  (17)  ifodadagi 
A
  ni aniqlang.
Yechish. (18) integral ifodani hisoblash uchun 
x.
 ustida shunday chiziqli 
almashtirish
, = I
a., x
IK
( 1)
ni bajaraylikki, kvadratik forma 
ijfiijxjxj
  natijada  ^   rf   ga aylansin. 
ya’ni
( 1)  ni  (2)  ga  qo'yib,  quyidagini  hosil  qilamiz:
Z P r . A A n   =  5 -»,.
(
2
)
(3)
Bunda chap tomondagi  matritsa determinantlari  (3  =  p. |, 
a =  \a
.m|, o‘ng 
tomondagi matritsa determinanti esa  |5mJ   =  1. Shuning uchun
P a2  =  1 
(4)
tenglikka ega bo‘lamiz.
(18)  integralni  chiziqli  almashtirgandan  keyin,  yakobian doimiy va a ga 
teng  ekanligini  nazarda  tutib,  quyidagini  yozamiz:
j... ja\v(x 
\ixldx2...dxn  =Aa
  j... jexp
- I . * ;
2  i 
'
dx, dx
n.. 
.dx
  =
= 
Aa
\
e
  - 
dx
= 
Аа(2пУ
  =  1
yoki  (4)  ni  e'tiborga  olib,  aniqlanishi  lozim  bo‘lgan  A   ni  quyidagicha 
ekanligini  topamiz:
A  =
  (2 
n)~ -$
6.3. 
Sistema  qismining  holatini  ifodalaydigan  parametr  x  bo‘lsin. 
Entropiya  ifodasi  (3)  asosida X  ning fluktuatsiyalari taqsimotining
W(X,XU) =   Ce**™'  *"
ko'rinishga  ega  ekanligini  ko'rsating.  Bunda 
AAmin
  — sistema  qismining 
muvozanatli  holat 
dan 
X=Xt+AX
 holatga  o‘tishda  bajarilishi  zapyp 
bo‘lgan  minimal  ish.
( X .X 0)
144

---

Yeehish. To'la sistema holati o'zgarganda bajariladigan ish termodinamika 
qonunlariga asosan
dA  >  dU - QdS 
yoki  kvazielastik  (qaytuvchan)  jarayonlar  uchun
dAmm
  = 
dU - QdS
 
(2)
boMadi.  Bunda 
U
va 
S
 sistemaning ichki energiyasi va entropiyasi.  To‘la 
sistema yakkalangan,  ya’ni 
dU=
0  bo‘lsin.  Sistema qismi yetarli darajada 
kichik bo‘lsa, sistema parametri ning o‘zgarishini hisobga olmaslik mumkin. 
Bu  holda  snstemaning 
X{)
  holatdan 
X=X{+AX
 holatga  o ‘tishi  uchun  (2) 
asosida quyidagini yozamiz:
M ,,.  = - e № ) - s ( x J ]  
(3)
(3) ni (6.6) ga qo‘yib, isbot qilinishi lozim bo‘lgan (1) ga ega bo‘lamiz. 
Termodinamik  parametrlarning  o ‘rtacha  qiymatlaridan  chetlanishi, 
ya’ni  fluktuatsiyasi  tegishli  (mos)  ish  bajarilishi  biian  sodir  bo'ladi.
3-§.  Termodinamik  parametrlar fluktuatsiyasi
Termodinamik parametr 
X
 ning 
AX
 ga o‘zgarishi  tufayli sistemaning 
ichki energiyasi 
Ut
 entropiyasi 
S
 va hajmi 
V
 ning o ‘zgarishIari A 
U, AS
 va 
AV
  bo'lsin.  0 ‘zgarmas temperatura va bosimdagi  sistemada fluktuatsiya 
sababli  tashqi  kuchlar  bajargan  ish  termodinamika  asosida  quyidagicha 
aniqlanadi:
dA  > dU + pdV -  TdS 
(bunda 
QdS =  kTdS
 = 
TdS0
  :  qulaylik  uchun  indeks  nol  yozilmaydi). 
Bundan  minimal  ish  uchun
dAnva
  = 
dU +  pdV
 - 
TdS
 
(19)
ifodaga ega bo‘lamiz.  By ifodada 
T
va 
P
 muvozanatdagi qiymatlar. 
Um A il 
va 
AS
 darajalari bo‘yicha qatorga yoyamiz:
. . .  
dU 
dU
 
1 
A 
U
  —  -—  
AS
 н---
dV
 H—
dS
 
a y  
2
^ ( A S f   + ^ ( & v ) !
  +
dS2
  V 
’ 
dV2
+ 2 - ^- A S A V
esev
+
...
(
20
)
M a ’lumki,  bu  ifodada  hosilalar  uchun  ularning  muvozanatdagi 
qiymatlari  olinadi.
10  -   №   276
145

---

dU  _ p   _  dU_ 
dS  ' 
~  dV
T =
  —  
-P
  =  —  
(21)
larni  nazarda tutib, 
T
 va 
P
 parametrlarning o'zgarishini  yozamiz:
AT  =  A
гдЦ_л 
yds 
J
f
 агг \
AP =  A
v
dU
dV
d2U
  AC 
d'U  ...
—
---
AS
 н------A 
V
dS2 
DV8S
d2U
  л1,  , 
d2U
  AC 
- A V  + ----
AS
у
dV2 
dSdV 
(22)  ni 
AS
 ga,  (23)  ni  esa A Kga  quyidagicha  ko‘paytiramiz:
AS AT  =  ^ L {
a s
)2  + ^ S L
a v a s
dS
dVdS
APAV  =
  —
 (A
V)2  + 
ASAV 
V 
’ 
dSdV
(
2 2
)
(23)
(24)
(25)
(21),  (24)  va  (25)  larni  nazarda  tutib,  (20)  tenglikni  quyidagi 
ko'rinishda yozamiz:
A
U  =  TAS
 - 
pAV + ~{ATAS - APAV
)
(26)
X
 ning  chekli  o‘zgarishi  Л'+дЛ' uchun  (19)  ni
A
A  .
  = 
AU-TAS+PAV
mm
ko‘rinishda yozib,  bu  ifodaga (26) dan A
U
 ni olib kelib qo‘ysak,  quyidagi 
munosabat  hosil  bo‘iadi:
M  
=  - (A 7 A 5 -   APAV)
mm 
2
(27)
AA
 
ning  bu  ifodasini
.‘run 
^
W{X, AX)
 =  С expl
АД
kT
ga  quyib,  termodinamik  parametrlar  fluktuatsiyalari  uchun  quyidagini 
olamiz:
W(X,AX)=Ccxp
1
2kJ
-{APAV- ATAS)
(28)
Bu yerda 
Q  =  kT
  deb qabul  qilindi,
i 46

---

Masalalar.
6.4.