O’zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differensial tenglamalar

Bir jinsli tenglamalarga keltiriladigan differensial tenglamalar

(5)
ko’rinishdagi tenglamalarni bir jinsli tenglamalarga keltirish mumkin. Agar s₁q 0, sq0 bo’lsa, tenglama bir jinsli bo’lishini ko’rish qiyin emas.Faraz qilaylik, s va s₁ larni birortasi noldan farqli bo’lsin. xqx₁Qh, yqy₁Qk almashtirish bajaramiz. U holda
.
x,u va ifodalarni (5) tenglamalarga qo’yib
(6)
tenglamaga ega bo’lamiz. h va k larni shunday tanlab olamizki,
(7)
tenglamalar o’rinli bo’lsin, ya’ni h va k larni (7) tenglamalar sistemasining yechimi sifatida olamiz. Bu holda (6) tenglamadan bir jinsli tenglamani hosil qilamiz. Tenglamani yechib va x hamda u larga x₁qx-h, y₁qy-h formulalar yordamida qaytib, berilgan (5) tenglamaning yechimini topamiz. Agar

bo’lsa, ya’ni ab₁qa₁b bo’lganda, ma’lumki, (7) sistema yechimga ega bo’lmaydi. Ammo, bu o’olda , ya’ni a₁qa, b₁qb bo’ladi.

Bundan kelib chiqadiki (5) tenglamani

(8)
ko’rinishga keltirish mumkin bo’ladi. Bu holda
zqaxQby (9)
almashtirish yordamida tenglama o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamaga aylanadi, haqiqatdan, tenglikdan
(10)
munosabatni hosil qilamiz, hamda (9) va (10) ifodalarni (8) tenglamaga qo’yib, o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamani hosil qilamiz.
Yuqorida (5) tenglamaga qo’llanilgan usulni tenglamaga ham qo’llash mumkin, bu yerda f qandaydir uzluksiz funksiya.
282-misol. tenglamani yeching.
Echish. Tenglamani bir jinsli tenglamaga aylantirish uchun xqx₁Qh, yqy₁Qk almashtirishni bajaramiz. U holda tenglama ko’rinishni oladi. hQk-3q0, h-k-1q0 tenglamalar sistemasini yechib hq2, kq1 ekanligini topamiz. Natijada bir jinsli tenglmani hosil qilamiz. almashtirishni bajarsak, u holda y₁qux₁, , bo’ladi va natijada o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga ega bo’lamiz. O’zgaruvchilarni ajratamiz: integrallab
,
yoki ekanligini topamiz.u o’rniga ifodani qo’yib, ekanligini, va nihoyat, x va u o’zgaruvchilarga o’tib natijani hosil qilamiz.